径向谐和激励下圆形隧道衬砌的动力稳定性＊

刘齐建，赵跃宇

（湖南大学 土木工程学院，湖南 长沙 410082）

随着城市人口的增加和城市现代化对环境的要求，地下铁道建筑结构如区间隧道和车站结构的建设也显著增多.1994年美国Northridge地震和1995年日本Kobe地震震害表明，地震时地下结构可能出现横向动力失稳.地下结构地震动失稳的本质是结构在动力荷载下的限制失稳[1]，此时地下结构周围土体的反应依赖于结构的变形，而地下结构的变形又受周围土体约束，因此地下结构的动力失稳是结构－土动力相互作用问题.目前关于地下结构的横向静力稳定性和纵向动力稳定性研究已有一些文献[2－6]，但针对地下结构地震动横向失稳的研究还极少，对其失稳机理研究还不深入，同时也没有相应的评价方法.

当隧道－土体系的参数作周期性变动时，可能造成系统出现参数共振.此时，参数共振发生在参数空间的若干个连续区域内，参数共振的响应频率与外激励频率不一致，且参数共振方向与激励方向正交[7－9].因为可能存在参数激励频率的一个完整区域，该区域对应于参数激振，所以研究地下结构的动力稳定性并寻找其临界频率显得非常重要.

目前关于地下结构动力稳定性研究成果不多.Davis等在全面分析了1994年Northridge地震时大直径管道的破坏形式和原因后，指出地震（特别是近场地震）时地下结构完全可能出现横断面内动力失稳，并给出了一种基于场地峰值加速度的拟静力方法来计算横断面动力屈曲荷载[10].而后Davis等进一步研究了这类问题，他们针对地震时不同直径埋管进行了震后调查，并建立了一种基于地震时场地应变破坏机制的地下埋管结构横向动力稳定性分析的拟静力方法[11].Genis针对某具体隧道的动力稳定性进行了数值计算[12].但由于影响地下结构地震动稳定性的原因很多，以上这些拟静力方法对地下结构横向动力稳定性研究还存在许多局限性.

本文拟结合圆形隧道衬砌的振动方程，分析径向谐和激励下隧道的动力稳定性，并分析激振参数对其动力稳定性的影响，以探讨其动力失稳机理.

1 解析模型

本文考虑受径向谐和激振荷载N＝N0＋Ntcos（θt）作用下的圆形隧道砌衬，如图1所示，其半径为R，衬砌厚度为t，衬砌单位长度上的质量为m.并假定：（a）隧道周围地基为线弹性各向同性体；（b）隧道的弹性模量为Et；（c）隧道与周围土体之间没有滑动；（d）隧道与土体之间没有脱空；（e）考虑平面应变问题.

图1 弹性地基中的圆形隧道衬砌Fig.1 Circular tunnel linings in elastic foundations

根据文献[8]和[13]关于圆环结构的振动方程，考虑隧道周围土体的阻尼与约束作用，得圆形隧道衬砌的振动微分方程：

式中It为隧道的抗弯刚度，It＝πR3t；Et为隧道衬砌弹性模量；φ为从某点起计的转角；K＝krR，kr为隧道周围土体的径向弹性抗力系数；c为阻尼系数.

计算隧道周围土体的径向弹性抗力系数kr时，应该考虑隧道发生失稳时的模态构形，故采用单一的Winkler地基弹性系数已经不能满足要求，可采用以下计算公式计算[4]：

式中Es为土的弹性模量；n为发生动力失稳时圆形衬砌屈曲构形的波数；vs为土的泊松比.

2 求解方法

设衬砌的径向位移u（φ；t）＝ff（t）sin（nφ），将之代入式（1），得：

式中

方程（3）已为众多研究者所分析[8，14]，可以寻求其周期解.按形式寻求周期为2T的周期解，将级数代入式（3），令的同类项系数相等，可得关于ak和bk的线性齐次代数方程组，令其系数行列式为零，即得临界频率方程，解之得各阶不稳定区域的边界.求解临界频率方程一阶行列式，即得隧道的第一振动频率近似值：

其中λ＝ε／Ω.

同理，为决定由周期T的周期解所包围的区域，可取代入式（3），令其系数行列式为零可得临界频率方程，解之得隧道衬砌的第二临界振动频率近似值：

3 方法验证

为验证本文关于圆形隧道动力稳定性的正确性，现将本文结果与文献[8]对比，图2为无阻尼情况下本文解答与文献[8]关于隧道衬砌的不稳定区域对比.

图2 无阻尼情况下圆形衬砌的不稳定区域Fig.2 Unstable zone of the circular linings with no damping

图2显示，无阻尼情况下按本文理论得到的圆形隧道衬砌的失稳区域与文献[8]的解析解答吻合.这也表明，文献[8]的解答是本文解答的特例.

应该指出的是，本文建模时，将土体简化为线弹性各向同性体，其原因主要是为建模简单.实际上，隧道周围土体为各向异性体，并且在动力荷载作用下岩土材料表现出一定程度的塑性累积和滞胀性.但是在结构的非线性动力学分析时，如果考虑材料的各向异性和其动力特性弱化的话，所研究的问题将异常复杂[9].因此，本文仅考虑土体为弹性各向同性材料，以其从解析的角度，对径向谐和荷载下圆形隧道衬砌的动力稳定性进行定性研究.

4 参数分析

从以上分析可看出，当圆形隧道衬砌在径向谐和载荷下出现动力失稳时，其失稳特性将依赖于隧道－地基体系的各参数特性，以下分析隧道－地基体系各参数对隧道衬砌动力稳定性的影响.

4.1 隧道周围土刚度对衬砌动力稳定性的影响

不同地基无量纲刚度Es／Et下隧道衬砌的动力曲线如图3所示.图3表明，随着地基无量纲刚度Es／Et的增加，动力不稳定区域的宽度几乎不会发生变化.这说明谐和激励下隧道周围土体的弹性模量对衬砌动力稳定性的加强作用有限，也表明通过加固隧道衬砌周围土体的刚度几乎不能改善衬砌的动力稳定性.

图3 不同地基刚度下衬砌的动力曲线（vs＝0.1，R／t＝30，N0／Et＝0.08，Nt／Et＝0.05）Fig.3 Dynamic curve of the linings with different soil stiffness

4.2 地基泊松比对衬砌动力稳定性的影响

图4给出了不同地基泊松比时隧道的动力曲线.可看出，随着地基泊松比增加，不稳定区域不会发生明显的变化，因此，地基泊松比对衬砌的动力稳定性影响不大.

图4 不同地基泊松比时衬砌的动力曲线（Es／Et＝10－4，R／t＝30，N0／Et＝0.08，Nt／Et＝0.05）Fig.4 Dynamic curve of the linings with different Poisson’s ratio of the foundations

4.3 隧道径厚比对衬砌动力稳定性的影响

图5给出了隧道衬砌的动力失稳临界频率随其径厚比R／t的变化情况.可见，随着径厚比的增加，衬砌的不稳定区域的宽度开始基本不变，然后开始迅速增加.这表明，随着衬砌半径增加或厚度减小，其动力稳定性将降低.因此，对于大直径的圆形隧道，有必要在满足强度和静力稳定性的同时，使衬砌保持一定厚度，以使其免于动力失稳.

图5 不同径厚比时衬砌的稳定图（vs＝0.1，Es／Et＝10－4，N0／Et＝0.08，Nt／Et＝0.05）Fig.5 Stability figure of the linings with different radius－thickness ratio

4.4 激振荷载对衬砌动力稳定性的影响

图6，图7给出了隧道的动力失稳临界频率随外激励的变化情况.从图中可看出，随着外激励N0的增加，隧道的不稳定区域宽度增大；当N0达到某值（如0.32），动力部稳定区域的宽度将无限大，此时无论体系和外激励各参数如何，衬砌都将出现失稳；而后随着N0的继续增加，不稳定区域宽度减小，这说明随着外加静荷载的增加，将增加动力失稳的可能性；但是，当其超过某临界值后，该荷载又将限制衬砌的动力失稳，而且该荷载越大，对动力失稳的限制效应就越强.

图6 激振荷载N0对衬砌稳定性的影响（vs＝0.1，Es／Et＝10－4，R／t＝30，Nt／Et＝0.05）Fig.6 Effect of exciting loadsN0on the stability figure of the linings

随着Nt的增加，不稳定区域的宽度增大，这表明周期激励的振动幅值将增加衬砌的动力失稳可能.

综合看来，外激励对衬砌的动力稳定性影响较大.

4.5 阻尼对衬砌动力稳定性的影响

图8给出了不同阻尼参数ε时隧道的稳定图.可看出，随着ε的增加，隧道的动力不稳定区域几乎没有变化.这说明隧道－地基系统的阻尼不能显著增加衬砌动力稳定性，在工程实际中通过增加隧道－地基系统的阻尼不能改善衬砌的动力稳定性.

图7 激振荷载Nt对衬砌稳定性的影响（vs＝0.1，Es／Et＝10－4，R／t＝30，N0／Et＝0.8）Fig.7 Effect of exciting loadsNton the stability figure of the linings

图8 不同阻尼参数ε时衬砌的稳定图（Es／Et＝10－4，R／t＝30，N0／Et＝0.2，Nt／Et＝0.05）Fig.8 Stability figure of the linings with different damp of the system

5 结 语

本文对径向谐和激励下圆形隧道衬砌的动力稳定性进行了研究，得到了隧道衬砌动力失稳时临界频率计算公式，对可能影响隧道衬砌动力稳定性的因素进行了参数分析，其结果表明：① 隧道周围土体的性质，如弹性模量和泊松比，对衬砌的动力稳定性影响不大；②衬砌径厚比对其动力不稳定区域的影响较大.在设计大直径圆形隧道时，有必要在满足强度和静力稳定性的同时，使衬砌保持一定厚度，以使其免于动力失稳；③外激励的大小将影响隧道的动力不稳定区域.随着外激励N0的增加，隧道的不稳定区域宽度将先增大，后减小.这说明，随着外加静荷载的增加，将先增加动力失稳的可能性，但是，当其超过某临界值后，该荷载又将限制衬砌的动力失稳.周期激励的振动幅值Nt将增加衬砌的动力失稳可能；④隧道－地基系统的阻尼不能显著增加衬砌动力稳定性.

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