深海采矿扬矿管几何非线性静力分析

徐海良，周刚，吴万荣，吴波

(中南大学 机电工程学院 高性能复杂制造国家重点实验室，湖南 长沙，410083)

大洋蕴藏着丰富的矿产资源，陆地资源的日益贫乏使人类将目光转向海底资源[1−3]。世界主要发达国家在20世纪初就开始对5 000 m深海采矿技术进行研究和开发[4]。经过理论和实验研究，普遍认为通过管道将矿石输送到海面采矿船上的水力输送方法最具工业应用前景[5−6]。根据国内外研究和试验情况，我国多金属结核开采采用自行式集矿机加水力管道输送系统[7]。采矿系统扬矿管一般采用高强度钢管，用螺纹连接。管道在自重、泵组和中继仓等重力的作用下，扬矿管承受很大的轴向载荷，同时受到波浪、海流和采矿船的拖航等动载荷的作用，加剧了管道的轴向负荷。Shaw[8]通过研究后认为，由于扬矿管的轴向载荷很大，无论采用何种截面的N80扬矿钢管，当长度超过3 000 m后，管道都会被拉断。针对扬矿管轴向力过大的情况，各国学者对扬矿管结构和连接方式进行了研究，通常把扬矿管设计成自上而下递减的阶梯钢管。凌胜等[9]采用伽辽金(Galerkin)方法对带有集中质量的阶梯式扬矿管的横向偏移进行建模，发现刚性连接的扬矿系统承受很大的弯曲应力，连接部位容易出现应力集中、应力腐蚀，影响管道系统的强度。阶梯钢管采用管接头通过螺纹连接，管接头作为阶梯管的重要部位，如果某一接头处受到破坏，将直接影响到整个采矿系统的作业安全[10]。为此，本文作者提出了一种低密度，高强度的碳纤维复合管应用于深海采矿系统，并结合深海采矿矿石输送管道的受力特点，对碳纤维复合管和阶梯扬矿管进行几何非线性静力分析。

1 碳纤维复合管

碳纤维是一种强度高、密度小的新型材料，橡胶具有很强的弹性和良好的耐磨性能和抗腐蚀性，根据复合材料混合定理，将碳纤维和橡胶复合可得到一种密度小，强度高和耐磨性能好的材料，制成输送管道，可应用于深海采矿系统中。碳纤维复合管结构如图1所示。

图1 碳纤维复合管结构示意图Fig.1 Structure diagram of carbon fiber composite pipe

碳纤维的密度为1.5～2.0 g/cm3，不到钢的1/4，而其抗拉强度是钢的2倍，模量是钢材的7倍。橡胶的密度为900 kg/m3。根据混合定理，复合材料的密度为：

式中：ρf为碳纤维的密度；ρm为基体的密度；ϕf为碳纤维的体积分数，一般取60%～70%；ϕm为基体的体积分数。

采用密度为1 800 kg/m3的碳纤维与橡胶复合，可以得到一种密度介于1 440～1 530 kg/m3，强度高、耐磨性能好的输送管道。

碳纤维复合管的材料可视为正交各向异性材料，目前主要使用等效弹性模量来表示正交各向异性材料的性能[11]，其中等效拉伸弹性模量 Eg为 1010～1011N/m2，等效抗弯弹性模量Ew为108～109N/m2。

2 扬矿管几何非线性有限元分析理论

深海采矿系统工作时，输送系统在波浪海流、船拖航和采矿车牵引的作用下，出现大的挠度，属于小应变大位移几何非线性问题。由虚功原理，得到非线性问题的一般平衡方程为：

式中：B0为线性的应变插值函数；Bl为依赖于位移eδ的应变插值函数；D为材料的弹性矩阵；ε为单元应变向量；ε0为初应变矩阵；σ0为初应力矩阵；Be为单元节点力向量；dV为扬矿管单元体积。

对上式求微分并整理可得：

式中：KT为切线刚度矩阵；Kσ为初应力矩阵或几何矩为初始位移矩阵或大位移矩阵，其中只含eδ的一次或单元应力向量；为整体单元刚度矩阵。

采用牛顿−拉斐逊迭代方法可以对上述非线性平衡方程求解。

3 输送管道载荷分析

管道在海水中运动，受到自身的重力、浮力和管内流体的重力作用。

管单元m所受重力Wm为：

式中：gρ为管单元材料密度；Do为管单元外径；Di为管单元内径；Lm为管单元长度。

管内流体的重力FMW为：

式中：Vm为管单元体积。

管单元m在海水中的浮力FB为：

式中：lρ为管单元内流体密度。

对于柱杆直径 D与波浪的波长λw之比满足D/λw≤0.2的小直径构件，目前主要采用莫里森(Morison)方程来计算波浪对输送系统的液动力[12−14]。

根据Morison方程，任意深度z处取一微元长度柱体d z，可得液动力的水平分量为：

式中：d Fx为微元长度柱体受到的水平液动力，N；CD为法向阻力系数；CM为惯性阻力系数；Do为柱体直径，m；ρl为海水密度，kg/m3；vx为水质点速度的水平分量，m/s；vx′为水质点加速度的水平分量，m/s2。d z为柱体微元长度，m。

同理，液动力的垂直分量为：

式中：d Fz为微元长度柱体受到的垂直液动力，N；CT为切向阻力系数；vz为水质点速度的垂直分量，m/s；v′z为水质点加速度的垂直分量，m/s2。

作用在输送系统水深 Z2−Z1上的液动力的水平和垂直分量可通过对式(7)和(8)进行积分得到。

4 矿石输送系统力学模型

矿石输送系统的坐标空间定义为：X轴的正方向为沿海流方向，X−Y平面为水平面，Z轴垂直水平面，以采矿船与扬矿管的连接处为坐标原点，向上方向为正。

将中继仓简化为扬矿管下端的一个质量单元mp，其质量为50 t，扬矿管和软管分别简化为一根管梁，得到如图2所示的矿石输送系统力学模型。

图2 输送系统力学模型Fig.2 Transporting system mechanical model

5 扬矿管几何非线性静力分析

为了保证系统正常工作，根据系统的外部载荷和运动情况，采用有限元分析方法，对输送管道进行计算分析。ANSYS中的pipe59单元是一种可承受拉、压、弯作用，并且能够模拟海洋波浪和水流的单轴单元。pipe59单元的单元力包括水动力和浮力效应，单元质量包括附连水质量和内部水质量，此外这个单元还适合刚度硬化和非线性大应变问题，适合于对输送管道进行分析。本文分别针对矿石输送系统在静止和拖航运动状态下，采用碳纤维复合管和阶梯钢管作为扬矿管的2种情况进行几何非线性静力分析，并将它们的结果进行对比分析。碳纤维复合管和阶梯钢管的参数如表1所示，阶梯钢管的尺寸参数如表2所示。

表1 碳纤维复合管和阶梯钢管的参数Table1 Parameters of carbon fiber composite pipe and steel ladder pipe

表2 阶梯钢管的尺寸Table2 Size of steel ladder pipe

5.1 采矿船静止时扬矿管的静力分析

对在船静止时2种扬矿管进行有限元分析，得到扬矿管的横向偏移、轴向力、弯矩和弯曲应力如图3～6所示。

从图3可知：横向偏移随着深度的增加而增大，在扬矿管的底端达到最大。阶梯管的最大横向偏移量为 13.975 m，而碳纤维复合管的最大横向偏移量为43.461 m，比阶梯钢管大。图4所示为扬矿管在泵组中继仓重力和波流作用下轴向力随水深变化。由图3及计算结果可知：扬矿管的轴向力最大值出现在扬矿管的上端，即扬矿管与采矿船的连接处，随着海水深度的增加轴向力减小。在扬矿管与采矿船的连接处，阶梯管的轴向力为4.2837×106N，而碳纤维复合管的轴向力只有1.067 4×106N，不到阶梯管的1/4。

图3 采矿车静止时扬矿管的横向偏移Fig.3 Lateral offset of transporting pipe when mining ship is motionless

图4 采矿车静止时扬矿管的轴向力Fig.4 Axial force of transporting pipe when mining ship is motionless

由图5和6可知：扬矿管的弯矩和弯曲应力都是上部比较大，下部很小。除了上部少数几个单元，碳纤维复合管的弯矩和弯曲应力与阶梯钢管的差别很小，因此，它们相应的曲线重叠在一起。在扬矿管与采矿船连接处，阶梯管的弯矩和弯曲应力分别为−2.873 5×105N·m 和 2.471 0×108N/m2，碳纤维复合管的弯矩和弯曲应力分别为−2.174 1×105N·m 和1.028 3×108N/m2，其数值均比阶梯管小。

5.2 采矿船等速拖航时扬矿管的静力分析

当采矿系统需要更换工作场合时，由采矿船拖动整个系统一起运动，此时扬矿管在水平方向不但受到波浪和海流引起的液动力，而且受到由于船拖航扬矿管与海水质点之间产生相对速度和加速度而引起的液动力。

图5 采矿车静止时扬矿管的弯矩Fig.5 Bending moment of transporting pipe when mining ship is motionless

图6 采矿车静止时扬矿管的弯曲Fig.6 Bending stress of transporting pipe when mining ship is motionless

保持以上参数和条件不变，对阶梯管和碳纤维复合管在船以 0.5 m/s等速拖航情况下进行非线性静力分析，得到扬矿管的横向偏移、轴向力、弯矩和弯曲应力如图7～10所示。

从图7可知：在管道的下端，阶梯钢管的横向偏移量约为300 m，碳纤维复合管的横向偏移量接近900 m，约为阶梯钢管的3倍，相比5 000 m钢管摆动幅度达到1 600 m[15]小得很多，因此，900 m的横向偏移不会影响系统的正常工作。

图7 采矿船等速拖航时扬矿管的横向偏移Fig.7 Lateral offset of transporting pipe when mining ship moves with constant speed

图8 采矿船等速拖航时扬矿管的轴向力Fig.8 Axial force of transporting pipe when mining ship moves with constant speed

对比图8和图4可知：扬矿管在船匀速拖航和波流联合作用下所受到的轴向力几乎相等，这是因为扬矿管在竖直方向受到的载荷主要是管道和中继仓的重力和浮力，其他作用力相对较小。

当船以0.5 m/s等速逆海流方向运动时，在波浪海流和船拖航作用下，扬矿管的弯矩和弯曲应力与只有波浪海流作用下的结果相差不大，阶梯钢管最大弯矩和弯曲应力分别为−1.120 3×106N·m和2.483 6×108N/m2，碳纤维复合管分别为−1.423 6×106N·m和1.091 5×108N/m2，最大弯矩比阶梯钢管稍大，而最大弯曲应力则比阶梯钢管的小了一半多。

图9 采矿船等速拖航时扬矿管的弯矩Fig.9 Bending moment of transporting pipe when mining ship moves with constant speed

图10 采矿船等速拖航时扬矿管的弯曲应力Fig.10 Bending stress of transporting pipe when mining ship moves with constant speed

将图9和10与图5和6进行对比，可以发现船匀速拖航时扬矿管的弯矩增加较多，弯曲应力则变化很小。

经上述比较分析可知：碳纤维复合管的最大轴向力比阶梯管小很多，大大提高了其承载能力；在波浪海流以及船拖航作用下，碳纤维复合管底端出现的偏移大于阶梯管的偏移，可以通过减少采矿船的运动速度，适当增加中继仓重量来补偿；碳纤维复合管的弯曲应力比阶梯管小一半，采用碳纤维复合管可以解决阶梯管刚性连接弯曲应力过大，应力集中和应力腐蚀等问题。

6 结论

(1)提出了在深海采矿矿石输送系统采用一种由碳纤维和橡胶复合得到的管道，该种管道具有密度小、强度高、耐磨损和耐腐蚀等优点。碳纤维复合管是一条整体长管，不需要采用管接头通过螺栓连接，不存在应力集中和应力腐蚀而发生断裂的情况。

(2)对扬矿管分别采用碳纤维复合管和阶梯钢管2种情况进行了有限元软件分析，研究表明：采用碳纤维复合管作为扬矿管时的轴向力不到阶梯钢管的1/4, 相比阶梯钢管，能承受更大的轴向载荷，可以解决超过3 000 m时矿石输送管道容易断裂的问题。

(3)采用碳纤维复合管作为扬矿管时的弯矩与采用阶梯钢管时的弯矩差别不大，但其弯曲应力比阶梯管小一半以上，可以克服阶梯管钢刚性连接弯曲应力过大的缺点。

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