B-样条曲面的保凸拼接*

金席卷 ，姚 杰 ，方 逵

(1.长沙大学 电子与通信工程系，湖南 长沙 410003；2.湖南农业大学 信息科学技术学院，湖南 长沙 410128)

对于参数曲线曲面的凸性问题，国内外已有很多学者研究。参数Bezier曲线的凸性问题，Liu C和刘鼎元等已基本解决[1-2]。参数曲面的凸性研究一直是人们感兴趣的问题，常庚哲等得到了三角域上非参数Bezier曲面的凸性条件[3]，Zhi L等导出了三角域上参数 Bezier曲面的凸性条件[4]。KORAS G D和KAKLIS P D得到了一般矩形域上参数曲面凸的充要条件[5]。

工业产品形状的数学描述重在解决曲面的数学描述。由于实际形状的复杂性，用单一曲面往往难以实现，很多时候都采用拼接曲面。由于B-样条曲面本身是组合曲面，构造一个k×l次拼接曲面只需增加一排 k个或l个控制点，且拼接曲面能保持比次数低一阶的导数连续。根据B-样条曲面的局部性质，可以完成任意多张曲面片的保凸拼接，将一张小的曲面片扩张成较大的曲面。最后用几个实验实现了多张三次曲B-样条面片的保凸拼接，达到了较为理想的效果。

1 参数曲面的凸性

设有参数曲面Σ：r=r(u，v)，对曲面Σ上任何一点P，设曲面在点P的法向量为n，过点P的切平面为π。切平面π将欧氏空间R3分成两个半空间，沿点P的法向量n的正向指向的半空间为切平面的上半空间，另一个半个空间为下半空间，包含切平面π的半空间称为闭半空间。

定义1 设有参数曲面Σ：r(u，v)，(u，v)⊂D∈R2，如果∀(u，v)∈D，若 ru×rv≠0，则称Σ是正则曲面。

从全局凸的角度，WILHELM K[6]给出了凸曲面的原始几何定义。

定义2 一个正则曲面Σ：r(u，v)，(u，v)⊂D∈R2，如果∀(u，v)∈D，曲面Σ完整地处在P点的切平面的闭上半空间(闭下半空间)，则称该曲面是全局凸曲面。

平面是一个特殊的全局凸曲面。全局凸曲面的判别是十分困难的，至今还没有代数判别方法，只能用原始的几何定义。

定义3 设有正则曲面Σ：r(u，v)，(u，v)⊂D∈R2，P是曲面Σ上的任意一点，如果对于过P点的任一条法截线都存在P点的某个邻域，在该邻域内，法截线对应的曲线段完整地处在P点切平面的上半空间 (下半空间)，则Σ称是局部凸曲面。

显然，全局凸曲面是局部凸曲面。

KORAS G D和KAKLIS P D[5]给出了局部凸曲面的充分必要条件：

引理1[6]正则曲面Σ：r(u，v)，(r(u，v)∈C2(D)，D∈R2)为局部凸的充要条件是：L≥0，N≥0，LN-M2≥0或L≤0，N≤0，LN-M2≥0。

2 B-样条曲面的凸性分析

给 定(m+1)×(n+1)个 控 制 顶 点 di，j(i=0，1，… ，m；j=0，1，…，n)的阵列，构成一张控制网格。又分别给定参数u与v的次数k与l和两个节点矢量U=[u0，u1，…，um+k+1]与 V=[v0，v1，…，vn+l+1]。

k×l次张量积B-样条曲面为

其 中 ，B-样 条 基 Ni，k(u)(i=0，1， … ，m)与 Nj，l(v)(j=0，1，…，n)分别由节点矢量U与V按de Boor-Cox递推公式决定。B-样条曲线的局部性质可以推广到曲面。因此定义在子矩形域 ue≤u≤ue+1，vf≤v≤vf+1上那块 B-样条子曲面片仅和控制点阵中的部分顶点 di，j(i=e-k，e-k+1，…，e；j=f-l，f-l+1，…，f)有关，而与其他顶点无关。 相应地，式(1)就可改写为分片表示形式：

k×l次张量积B-样条曲面的一阶偏导矢和二阶偏导矢分别为：

由引理1易得到下面的结论。

推论1 B-样条曲面为局部凸，当且仅当下列不等式成立：

或

接下来主要研究均匀和准均匀B-样条曲面的凸性。因为(准)均匀B-样条的端点外所有节点区间长度Δi=ui+1-ui=常数>0，所以上式中的与可化简为：

根据推论1及上面的公式，可得到B-样条曲面片局部凸的一个充分条件。

定理1(准)均匀 k×l次 B-样条曲面片(式(2))局部凸的充分条件是

其中 ，i，γ=e-k，e-k+1，… ，e-1；j，t=f-1，f-l+1，… ，f；δ，α=e-k+1， …，e；η，ξ=f-l，f-l+1， …，f-1；s=e-k，ek+1，…，e-2；β=f-l，f-l+1，f-2。

当 k×l次(准)均匀 B-样条曲面(式(2))的控制网格是凸的，且控制子网格是平行四边形时，有：

于是，由上面的定理有以下推论。

推论2 当 k×l次(准)均匀 B-样条曲面(式(2))的控制网格是凸的，且控制子网格是平行四边形，则(准)均匀B-样条曲面是局部凸的。

但 对 于(m+1)×(n+1)个 控 制 顶 点 di，j(i=0，1，… ，m；j=0，1，…，n)组成的一张 B-样条曲面来说，情况与Bézier曲面略有区别。因为B-样条曲面是一类组合样条曲面，由多张B-样条曲面片组成，具有局部性质。因此，B-样条曲面为凸的条件除了要求每张曲面片为凸外，还要求每相邻两张曲面片间的连接仍然保持凸性。根据两相邻B-样条曲面片间可达到至少一阶倒数连续的性质，只需要各相邻曲面片同向凸即可保证曲面的凸性，即 保 证 (m+1)×(n+1)个 控 制 顶 点 di，j(i=0，1， … ，m；j=0，1，…，n)构成的网格是凸的。

3 B-样条曲面的保凸拼接条件

工业产品形状的数学描述重在解决曲面的数学描述。由于实际形状的复杂性，用单一曲面往往难以实现，很多时候都采用拼接曲面。根据推论2.2控制网格与B-样条曲面凸性的关系，可以得到B-样条曲面的保凸拼接条件。B样条曲面本身就是组合曲面，本节主要讨论怎样组合才使得曲面是凸的。

设有一个凸的k×l次B-样条曲面片：

对于该曲面来说，只要在网格u向或v向增加一排顶点，那么就增加了一个曲面片，并且增加的曲面仍然具有原来的连续性。所以，如何构造这一排顶点使生成的曲面与原曲面完成保凸拼接是解决问题的重点。

由推论2知道，当控制子网为平行四边形时，网格凸则B-样条曲面凸。于是就得到B-样条曲面保凸拼接的条件：

推 论 3 构 造 的 u 向 顶 点 de+1，j和 v 向 顶 点 di，f+1分 别要满足：

和

注意，若原 B-样条曲面上凸，则式(5)和式(6)都取≤0；若为下凸，则都取≥0。

4 保凸拼接的B-样条曲面实例

已知一凸得到B-样条曲面片如图1所示，而沿v向的保凸拼接曲面如图2所示，沿u向的保凸拼接曲面如图3所示，面四片三次B-样条曲面片的拼接如图4所示。

本文重点讨论了B-样条的凸性和保凸拼接，但只研究均匀与准均匀B样条，而对于非均匀B样条以及非均匀有理B样条有待进一步深入探讨。

[1]Liu C，TRASS C R，On convexity of planar curves and its application in CAGD[J].CAGD， 1997，14(6)：653-669.

[2]刘鼎元.平面 n次 Bézier曲线的凸性定理[J].数学年刊，1982，3(1)：45-55.

[3]王国瑾，汪国昭，郑建民，等.计算机辅助几何设计[M].北京：高等教育出版社，2001.

[4]Liu Zhi， Tan Jieqing， Chen Xiaoyan， et al.The conditions of convexity for Bernstein-Bézier surfaces over triangles[J].Computer Aided Geometric Design， 2010，27(6)：421-427.

[5]KORAS G D， KAKLIS P D.Convex conditionsfor parametric tensor-product B-spline surfaces[J].Advances in Computational Mathematics， 1999(10)：291-309.

[6]WILHELM K.A course in differential geometry[M].New York： Spring-Verlag， 1978.

[7]DAHMEN W，MICCHELLI C A.Convexity of multivariate Bernstein polynomial and Bos spline surface[J].Studa Sci.Math.Hungar， 1998， 23：265-287.

[8]梅向明，黄敬之.微分几何[M].北京：高等教育出版社，1998.

[9]苏步青.微分几何五讲[M].上海：上海科技出版社，1979.

[10]方逵.计算机辅助几何设计中的保形插值理论及算法[M].长沙：湖南人民出版社，2003.