圆锥截交线上特殊点的求法

田福润， 陈 光， 刘玉洁

（长春工程学院机电学院，吉林长春 130012）

1 截交线上各特殊点的位置

平面与圆锥相交，截交线是平面与圆锥表面的共有线［1－3］。根据截交线是平面上的线这一性质，我们把平面和截交线单独画出。分析一下截交线上各特殊点在平面上的位置。一平面和平面上一条曲线（椭圆）的两个投影如图1所示。

平面ABCD可认为是一个截平面，椭圆可认为是截平面ABCD与圆锥的截交线。从图1水平投影分析，椭圆上的最前点Ⅰ和最后点Ⅱ，一定是平面上与椭圆相切的两条正平线与椭圆的两个切点。同样道理，椭圆的最左点Ⅲ和最右点Ⅳ，一定是平面上与椭圆相切的两条侧平线与椭圆的两个切点。椭圆的最高点Ⅴ和最低点Ⅵ，一定是平面上与椭圆相切的两条水平线与椭圆的两个切点。

图1 特殊点的位置

由以上分析可知，椭圆上的最前、最后、最左、最右、最高、最低等特殊点，都是平面上与椭圆相切的各投影面平行线与椭圆的切点。根据这一特性，则可以通过作图求出这些特殊点。

2 确定截交线上各特殊点作图方法

2.1 辅助切平面法

特殊点作图方法如图2所示。

图2 特殊点作图方法

从图中可见，圆锥被平面P所截切，截交线为一椭圆。我们先分析椭圆上最前点（或最后点）的确定方法。

椭圆上的最前点K一定在平面P与椭圆相切的正平线上［4］。如果平行与平面P上的正平线作一个与圆锥相切的平面，如图中平面SAB，则有：

1）圆锥的切平面SAB与平面P相交，交线为一条正平线ⅠⅡ。

2）圆锥的切平面SAB与圆锥相切为一条素线SK1。

3）由于ⅠⅡ，SK1都是SAB平面上的直线，所以ⅠⅡ与SK1有唯一的一个交点K。

根据上述结果可推理出：

1）点K即在平面P上（在ⅠⅡ上），又在圆锥表面上（在SK1上），所以K点是平面P与圆锥表面的共有点，即截交线上的点。

2）由于ⅠⅡ线是圆锥切平面SAB上一条直线，所以ⅠⅡ线与圆锥表面相切，切点即是K点。

3）由于ⅠⅡ线又是平面P上一条正平线，它与圆锥表面的切点K，即为平面P上的一条正平线与截交线的切点，也就是截交线上的最前点。

通过以上论证，可以得出求解截交线上的最前点（或最后点）的作图方法：平行于平面P上的一条正平线MN作圆锥面的切平面SAB（可作两个），求出切平面SAB与圆锥面的切线SK1，切线SK1与平面P的交点K就是截交线上的最前点（或最后点）。

对于最左、最右、最高、最低点的确定方法［5－6］，与最前、最后点的方法基本相同，不同之处只是切平面的位置不同，方法如下：

1）确定最左、最右点，是平行与平面P上侧平线作圆锥面的相切平面。

2）确定最高、最低点，是平行与平面P上水平线作圆锥面的相切平面。

2.2 辅助投影法

确定截交线上的各特殊点，除了辅助切平面法外，还可以采用辅助投影的方法［7］（见图2）。要确定截交线上最前点K，可以用中心投影的方法，即以锥顶S为投影中心，把锥面和平面P向锥底面所在平面进行投影。投影结果使锥面的投影都聚在锥底面的曲线上，平面P的投影成为P1（双点划线表示），平面P上与截交线相切的正平线ⅠⅡ投影成Ⅰ1Ⅱ1，Ⅰ1Ⅱ1与锥底面曲线相切K1点，K1点即是截交线的最前点K的中心投影。K1确定之后，返回投影即可以确定出K点，具体作图方法如下：

1）以锥顶S为投影中心，把锥面投影到锥底面上，投影积聚成锥底曲线。

2）以锥顶S为投影中心，把平面P上的任意一条正平线MN投影到锥底面所在平面，投影成M1N1。

3）根据两条平行直线的中心投影交于同一灭点的特性，求出M1N1的灭点F（图中未画出），然后过F点作锥底面曲线的切线，此切线就是平面P上与截交线相切的正平线ⅠⅡ的中心投影Ⅰ1Ⅱ1，切点K1就是线与截交线的切点K的中心投影。

4）把K1反投影回去，即连接K1S，求出K1S与平面P的交点K，K点就是截交线的最前点。

上面是用辅助投影的方法确定截交线上最前点（或最后点）的作图方法。最左、最右、最高、最低等各点的确定方法基本相同。不同之处只是把平面P上的不同投影面平行线进行中心投影。

3 作图举例

求平面P与斜椭圆锥的截交线，如图3所示。

1）用变换投影面X1使平面P积聚成P1。

2）求特殊点。

①求最前点、最后点（辅助切面法）：

a．过锥顶S平行与平面P的正面迹线PV作斜椭圆锥的两个切面SAB，方法如下：

过锥顶S作一条平行PV的直线SA，求出SA的水平迹点a。

过a作锥底面曲线的切线ab（两条），则SAB就是平行PV直线，并与锥面相切的平面（两个）。

b．求出切平面SAB与斜椭圆锥的切线SB，SB的水平投影为sb（两条）。

c．利用变换投影面X1，求出sb与平面P的交点1，2，这两点即是截交线上的最前点和最后点的水平投影。

②求最左点、最右点［8］（辅助投影法）：

a．采用中心投影法，把平面P上的任意一条侧平线MN投影到水平面上得M0N0。

b．连接M0N0，求出其灭点F。

c．过灭点F作斜椭圆锥底面的切线Fd（两条），d为切点。

d．连接Sd，利用变换投影面X1，求出Sd与平面P的交点3，4，这两点即是截交线上的最左点和最右点的水平投影。

③求最高点、最低点：

利用变换投影面X1，可直接求出截交线上的最高点和最低点的水平投影5，6。

3）连线。

把以上各点连接起来，就可以准确作出截交线的投影形状。图中截交线的正面投影未画。

4 结 语

文中只讨论了圆锥截交线特殊点的求法，其它曲面体截交线特殊点的求法还有待探讨。

［1］ 张华铀．截交线和相贯线的控制要点：求特殊点［J］．机械研究与应用，2005（5）：37－45．

［2］ 刘朝儒，彭福荫，高政一．机械制图［M］．北京：高等教育出版社，2001．

［3］ 大连理工大学工程画教研室．机械制图［M］．北京：高等教育出版社，1999．

［4］ 彭志广，鲍卫芳．求相贯线特殊点问题一例的探讨［J］．中国民航学院学报，2000（4）：95－98．

［5］ 李冰，薛颂菊．圆柱与圆锥相贯时相贯线上特殊点的讨论［J］．北京建筑工程学院学报，2001（4）：213－220．

［6］ 龙子勇，刘雯．相贯线上两个特殊点投影的求法［J］．太原科技，2002（2）：45－47．

［7］ 苏步青，华宣积．空间解析几何［M］．上海：上海科技出版社，1984．

［8］ 刘铁禄．准确求解圆锥、圆柱正交相贯最右点［J］．东华大学学报，2006（5）：77－85．