关于kβ 空间的相关研究

于正文

(山东建筑大学 理学院，山东 济南 250101)

0 引言

Nagata－空间，k-半分层空间，σ-空间和半分层空间是一类非常重重要的广义度量空间，作为它们的自然推广，人们分别引入了wN-空间，kβ-空间，wσ-空间和β-空间，它们在广义度量空间之间的关系和度量化定理中起着重要作用，但是它们之间的关系并不明确。众所周知，Nagata-空间⇒k-半分层空间⇒σ-空间⇒半分层空间，且上述关系没有一个是可逆的。文章探讨了wN-空间，kβ-空间，wσ-空间和β-空间之间的关系，并得到类似的结果。

1 定义

定义1［1］空间(X，τ)称为wN-空间，如果存在映射g:N × X →τ 满足下列条件:

(1)x ∈g(n，x)，x ∈X，n ∈N;

(2)如果对每个n ∈N，g(n，p)∩g(n，xn)≠∅，则{xn}有聚点。

映射g 称为X 的wN-函数。

定义2［2］空间(X，τ)称为kβ-空间，如果存在映射g:N × X →τ 满足下列条件:

(1)x ∈g(n，x)，g(n +1，x)⊂g(n，x)，x ∈X，n ∈N;

(2)如果对每个n ∈N，K ∩g(n，xn)≠∅，这里K 是紧子集，则{xn}有聚点。

映射g 称为X 的kβ-函数。

定义3［3］空间(X，τ)称为wσ-空间，如果存在g:N × X →τ 映射使得对每个n ∈N，p ∈g(n，yn)，yn∈g(n，xn)，则{xn}有聚点。

映射g 称为X 的wσ-函数。

定义4［1］空间(X，τ)称为β-空间，如果存在映射g:N ×X →τ 使得对每个n ∈N，p ∈g(n，xn)，则{xn}有聚点。

映射g 称为X 的β-函数。

定义5［4］空间(X，τ)称为弱子序列式的(weakly subsequential)，如果X 的每个有聚点的序列都有子序列具有紧闭包。

2 主要定理

定理1 每个wN-空间是kβ-空间。

定理2 每个弱子序列式kβ-空间是wσ-空间。

定理3 每个wσ-空间是β-空间。

证明:由wσ-空间和β-空间的定义易验证定理成立。

3 例子

例1 存在一个kβ-空间不是wN-空间。

设X 是对所有的n ∈N，由［0，∞)粘合1/n 和n 得到的空间，则X 不是wN-空间(见文［5］)。如文［2］所证，X 是k-半分层空间，因此，X 是kβ-空间。

例2 存在一个wσ-空间不是kβ-空间。

空间S 的定义如下:S 的点集是复平面上满足如下条件的点构成。(1)Imz=0 且Rez 是无理数;或(2)Imz ＞0 且Imz 和Rez 均为有理数。对S 的每个1型的点z(即Imz=0)，定义B(n，z)={x ∈S:Imx＜| Re(x－z)| ＜1/n 或z=x}，n ∈N，为S 的子基元素;对S 的每个2 型的点z，定义以z为中心，半径为1/n(n ∈N)的开圆盘是S 的子基元素。已知空间S 是正则Lindelöf，第一可数的cosmic 空间，但是，S不是M3-空间［6］，即S 不是Nagata－空间。S 是σ-空间，因此S 是wσ-空间。由命题3.8［7］知，第一可数的kβ-空间是wN-空间，由命题3.6［3］知，正则半分层的wN-空间是Nagata-空间，由此可知，S 不是kβ-空间。

例3 存在一个β-空间不是wσ-空间。

用R2表示平面，令Uε(x)={x}∪{y ∈R2:0＜| y1－x1| ＜ε，| m(x，y)| ＜ε}，这里x ∈R2，ε ＞0，m(x，y)表示通过x，y 直线的斜率。由上述所有水平蝴蝶结邻域Uε(x)组成的基所生成的拓扑记为τ1，由类似的垂直蝴蝶结邻域所生成的拓扑记为τ2。

(a)(R2，τ1)，(R2，τ2)是同胚的，它们是完全正则的半度量空间。

(b)如果Q2⊂Z ⊂R2且cardZ=2χ0，则(Z，τ1)× (Z，τ2)是非正规的。

(c)(CH)存在R2的不可数子集Z 包含Q2使得(Z，τ1)，(Z，τ2)是同胚的，且是遗传Lindelöf 的(见例3.6［8］)。

设X 是(Z，τ1)，则X 是完全正则Lindelöf 的半度量空间。X 不是σ-空间［9］，由命题2.3［3］，X 不是wσ-空间。

4 结论

(1)文章探讨了wN-空间，kβ-空间，wσ-空间和β-空间之间的关系，得到了它们之间的蕴含关系定理:wN-空间⇒kβ-空间，弱子序列kβ-空间⇒wσ-空间并且wσ-空间⇒β-空间。

(2)举例说明了上述逆关系不成立，这不仅明确了这几类广义度量空间的关系，而且对广义度量空间的度量化起着积极的作用。

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