基于加权最小二乘的宽带波束形成算法

白春惠,赵红训

(1.中国人民解放军91404部队,河北秦皇岛066001;2.中国电子科技集团公司第五十四研究所,河北石家庄050081)

0 引言

经典的宽带波束形成器通过对阵列中各阵元输出信号进行时延、加权、求和来实现。宽带信号通过一个指定基阵时,会有高频能量的损失[1]。当宽带信号通过此波束形成器时,不同频率所形成的波束图形状不同。只有当目标正处于波束指向方向上时,具有相同的响应,波束输出的信号不会失真。但当目标在主波束宽度内的其他方向入射时,不同频率信号的波束输出就会出现失真,目标信号的带宽越大,失真就越严重。这种失真现象不但对信号处理中能量接收、信号波形分析和信号识别等有影响[2],而且对侦察机、通讯机和目标识别设备的性能发挥也有很大的影响,就需要设计恒定束宽波束形成器。时域恒定束宽宽带波束形成器设计的任务就是寻找一组不同频率下的加权系数,使得基阵的响应函数或波束图在一定的频率范围内基本保持不变。

1 模型建立

假设空间存在M个阵元在空间内按一定规则排列放置,选择空间某一点为参考点作为坐标原点,各阵元位置用三维坐标表示为:

假设入射到阵列的平面波点源信号入射角度θ=(ϑ,φ),ϑ和φ分别表示水平方位角和垂直俯仰角,则定义信号传播方向的单位向量为:

则原点和阵元m接收到的信号之间的时间延迟为:

信号s(t)经过传播时间延迟,在第m号阵元位置观察的信号波形为:

信号通过阵列后输出是各阵元上的输出及其对应的复数权系数W乘积的累加。定义阵列在θ方向的响应为:

基阵波束图定义为基阵响应函数的模值:

基阵的响应函数定义为基阵对于频率为fk、方向为θ、单位幅值的平面波的响应为:

基阵的波束图定义为基阵响应函数的模值:

由式(6)可见,由于基阵的阵列流形是频率和方位的函数,如果要使波束图在一定的频率范围内保持不变或基本不变[4],就需要权系数能随频率的改变而变化,且满足:

为了衡量恒定束宽波束形成性能,定义了波束宽度变化量和相对波束误差2个性能指标,用来表达主瓣内恒定响应效果。波束宽度变化量表示对于确定阵型和工作频率,最低频率波束宽度与最高频率波束主瓣之间差值的1/2为波束宽度变化量。相对波束误差为在观察方位内绝对波束误差平方的积分与期望方向图幅度的平方,即功率方向图的比值,表示为:

2 加权最小二乘恒定束宽波束形成

研究恒定束宽宽带波束形成一般的处理方法是首先将工作频带划分为K个子带,按要求在参考频率f0设计窄带波束形成器,然后再对工作频带内的频点聚焦来实现恒定束宽波束形成器。根据需要在参考频率进行波束形成,假设其对应波束响应向量pd,待设计频率波束响应p。综上就是要设计工作频率范围内其他频率的加权系数,使其满足 δ=上式变形为:

最优权系数表达式为:

在恒定束宽波束形成设计中,主瓣范围内阵列响应的变化大小情况非常重要,上节中的最小二乘法要求在全部观察方位内响应恒定,显然增加了冗余的等式约束,造成合成波束与期望波束在主瓣区域拟合误差增大。本节在最小二乘法[3]的基础上,在误差范数上添加一个非负的误差加权因子λ(θ),用于调节不同方位的拟合紧密程度。于是代价函数变形为:

对上式取q=2,则

M×1维全1列向量,则约束问题变为:

可得加权最小二乘最优解为:

3 特定响应FIR滤波器设计

对于时域宽带波束形成器,当设计出加权系数矩阵后,其实现是通过每个阵元传感器后的FIR滤波器完成。加权系数矩阵只是给出了一些离散频率点上的幅相加权,利用FIR滤波器可以拟合整个频段上的恒定束宽加权所对应的幅相响应[5]。

将Hm(f)和 φm作为FIR滤波器设计中期望的幅频响应和相频响应。在输入端输入频率为f1,f2,…,fM的正弦信号xi=sin(2πfin),i=1,…,K,根据设计指标构造伪滤波器输出。希望设计的滤波器在某些确定的频率上比另一些频率上满足得更加严格些,对输入正弦信号乘以一个代价因子ci,该值越大,期望设计的滤波器在该频率满足得越好,于是伪滤波器的输出可表示为:

式中,Hm(fi)为频率为fi时所要求的滤波器的幅度增益;φm(i)为该频率的输出相对于输入信号的相移。滤波器输入为:

令X=[x(n),x(n-1),…,x(n-L+1)]T,L为滤波器阶数,滤波器权系数为hm,则输出y=XThm。根据Wiener-Hopf方程,可以得到该滤波器的系数为:每个阵元传感器通道经过式(13)得到对应的FIR滤波器系数。

4 仿真分析

根据以上介绍的恒定束宽FIR波束形成器设计方法,下面设计仿真试验来验证基于加权最小二乘恒定束宽波束形成及FIR滤波器对应的幅频响应得到的波束图是恒定束宽效果。

4.1 最小二乘恒定束宽波束形成

仿真试验阵型为15阵元等距线阵,射频频率范围[980MHz,1 180 MHz],参考频率为f0=980 MHz,阵元间距d=λ0/2,λ0为频率f0对应的波长。利用直接加权的方法得到参考频率点阵列响应,步进10 MHz选取为仿真频率点,利用式(10)和式(12)得到所有频率点对应权值。波束图如图1和图2所示。

图1 最小二乘法波束图

图2 加权最小二乘法波束图

从波束图可以看到,2种方法都得到了恒定束宽波束,但是仅通过波束图不易分析2种方法的效果。利用恒定束宽波束形成指标比较2种方法可以看到,加权最小二乘法主瓣的恒定束宽效果得到了提高。由于主瓣添加了一个非负的误差加权因子λ(θ),主瓣波束畸变明显减小,同时带来的影响是旁瓣的变化增加。恒定束宽波束形成性能比较如表1所示。

表1 恒定束宽波束形成性能比较

4.2 FIR滤波器实现恒定束宽波束形成

仿真试验阵列及频率等参数同上,设计中频频率范围为[180MHz,380 MHz],采样频率1 800 MHz,频率间隔20 MHz。采用特定频率响应滤波器设计各阵元传感器后的滤波器,利用式(13)得到各组滤波器系数,滤波器阶数L=42。为检验此时所设计滤波器的恒定束宽效果,画出波束图如图3所示。

图3 恒定束宽FIR波束形成器

由图3可以看到,滤波器取得了恒定束宽的效果。波束宽度变化量由 0.05°变为0.30°,旁瓣也略有变化,这是由于设计滤波器幅相响应与期望滤波器幅相响应误差引起的。

5 结束语

基于加权最小二乘法恒定束宽波束形成可以实现在信号带宽内,基阵波束图主瓣宽度保持恒定。仿真表明其恒定束宽效果好,稳健性强,可以适用于任意阵型。所设计滤波器对应的波束图接近原恒定束宽波束图,得到了主瓣内响应恒定的效果,可应用于具体工程设计。

[1]鄢社峰,马远良.传感器阵列波束优化设计及应用[M].北京科学出版社,2008.

[2]唐建生.时域宽带波束形成方法及实验研究[D].陕西:西北工业大学(硕士论文),2004:43-44.

[3]瞿孟虹,吴 瑛.基于最小二乘自适应迭代的宽带波束形成算法[J].数据采集与处理,2009,26(1):95-99.

[4]朱维杰.宽带波束形成器的自适应综合[J].声学学报,2003,28(3):283-287.

[5]WARD D B,KENNEDY R A,WILLIAMSON R C.FIR Filter Designfor Frequency Invariant Beamformers[J].IEEE Signal Processing Lett,1996,3(3):69-71.