附加系统参数平差在高速铁路CPⅢ控制网数据处理中的应用

曹成度 王 鹏

(中铁第四勘察设计院集团有限公司,湖北武汉 430063)

在高速铁路CPⅢ控制网测量中,观测误差按性质包括三种成分：粗差Δg、系统误差Δs、偶然误差Δn,即Δ=Δg+Δs+Δn。目前CPⅢ控制网数据处理通常按经典平差的方法进行,经典平差的前提是观测值中仅包含偶然误差,即Δg=0、Δs=0、Δ=Δn,事实上在平差前完全剔除粗差和消除系统误差的影响是不可能的。在平差中,系统误差对每一个观测元素都有影响。系统误差不像粗差那样事先一无所知,可预先估计可能存在那些类型的系统误差,通过引入附加参数进行自动补偿。如果观测值中存在系统误差,在平差中不考虑其影响,按最小二乘原理估计平差参数,则所得的平差估计参数不是最优线性无偏估计量。

CPⅢ控制网水平角测量采用盘左盘右全圆方向观测法,可消除水平度盘和照准部偏心差、视准轴误差和横轴误差等系统误差,而距离观测则没有较好的观测方法来消除其系统误差(测距固定误差、比例误差)。

1 附加系统参数平差的数学模型

对经典高斯-马尔柯夫模型加以扩展,得

(1)

(2)

或写为

(3)

随机模型为

E(Δ)=BS

(4)

E(L)=AX+BS

(5)

(6)

上式(3)就是附加系统参数的函数模型,其误差方程可写为

(7)

式中P为观测值的权阵,按最小二乘原理,得法方程为

(8)

设ATPA=N11满秩,N12=ATPB,N21=BTPA,N22=BTPB

则法方程系数阵N为

(9)

解法方程得

(10)

2 附加系统参数平差模型的选择

系统误差一般是服从某一函数规律的误差,如果在平差前对系统误差的出现规律有所了解,则可以顾及其特点,将系统参数附加到函数模型中。对于CPⅢ控制网而言,使用全站仪和配套棱镜进行距离观测,则系统误差一般呈现为测距固定误差和测距比例误差的特点。

2.1 顾及测距固定误差的附加参数模型

在CPⅢ控制网测量中,用全站仪测量的距离存在明显的系统性固定误差,平差时可设立固定误差改正数来减弱或消除系统性长度差影响。固定误差改正数设立可根据全站仪使用的台数,设立一个或几个。

由距离观测值S及其改正数vS和待定点坐标近似值x0、y0及其未知改正量δx、δy,可建立以下关系式

Sij+vSij=

(11)

因δxi、δyi……等为未知小量,上式按泰勒级数展开,并仅取一次小量,经移项归纳后,边长误差方程式为

(12)

(13)

i、j两点间设立固定误差改正数的边长误差方程式为

(14)

式中,δD=D-D0,取边长固定误差D的近似值D0=0,则δD=D。

2.2 顾及测距比例误差的附加参数模型

在CPⅢ控制网测量中,用全站仪测量的距离存在明显的系统性长度差,并且总是按边长比例的偏短或偏长,平差时可设立比例误差(尺度误差)改正数来减弱或消除系统性长度差影响。

i、j两点间设立比例误差改正数的边长误差方程式为

(15)

3 附加系统参数的统计检验

CPⅢ控制网平差中,引入附加固定误差参数或比例误差参数后改变了原平差模型,附加参数是否需要引入则需要进行统计检验。附加参数的统计检验可以采用基于残差平方和的检验方法,这种检验方法的思路是对附加参数的函数模型和原函数模型进行比较检验,来判断两种模型是否有显著性差异,如无显著性差异,表明附加系统参数模型是不必要的,原模型是正确的。具体做法如下。

(1)模型合理性检验

检验的原假设为

(16)

备选假设为

(17)

用χ2统计量

(18)

拒绝域为

(19)

(2)附加参数必要性检验

(20)

用F统计量

(21)

拒绝域为

F>Fα,r2,r1

(22)

这个检验的意义是,引入附加系统误差参数后平差结果是否比原平差模型有显著性差异,接受H0,表示引入并比一定必要,接受H1,表示要引入。

4 算例分析

以下将以一个实际高速铁路CPⅢ控制网进行试算分析,对该控制网的边长观测值加入固定误差、比例误差,并尝试采用附加系统参数的平差方法进行平差计算,比较附加系统参数的平差方法与经典约束平差方法的差异。

试算数据采用某段高速铁路CPⅢ平面控制网数据，该段CPⅢ控制网全长约8.65 km,呈东北西南走向。

4.1 附加固定误差的计算比较

准备两套试算数据,一套为原始CPⅢ平面观测数据,另一套为对原始CPⅢ平面观测数据距离观测值加入2 mm的固定误差的数据。分别采用经典约束平差方法和附加参数平差方法对两套数据进行平差。

加入固定误差的数据采用约束平差方法和附加参数平差方法的平差结果比较如图1所示。

加入固定误差的数据采用附加参数平差,原始CPⅢ观测数据采用约束平差,平差结果比较如图2所示。

图2 不同方法的比较(二)

加入固定误差的数据采用约束平差,原始CPⅢ观测数据采用约束平差,平差结果比较如图3所示。

图3 不同方法的比较(三)

从以上比较结果可以看出,加入固定误差的数据采用附加参数平差与原始CPⅢ观测数据采用约束平差的平差结果极为相近,而加入固定误差的数据采用约束平差与原始CPⅢ观测数据采用约束平差的平差结果相差较大,特别是CPⅢ控制网的两端相差较大；并且加入固定误差的数据采用附加参数平差求得的固定误差参数为2.09 mm,与设计加入的2 mm固定误差接近。对平差模型中附加的参数进行统计检验,结果表明引入的附加参数合理。

4.2 附加比例误差的计算比较

准备两套试算数据,一套为原始CPⅢ平面观测数据,另一套为对原始CPⅢ平面观测数据加入5pp m的比例误差的数据。分别采用经典约束平差方法和附加参数平差方法对两套数据进行平差,平差结果比较分析如下。

加入比例误差的数据采用约束平差方法和附加参数平差方法的平差结果比较如图4所示。

图4 不同方法的比较(四)

加入比例误差的数据采用附加参数平差,原始CPⅢ观测数据采用约束平差,平差结果比较如图5所示。

图5 不同方法的比较(五)

加入比例误差的数据采用约束平差,原始CPⅢ观测数据采用约束平差,平差结果比较如图6所示。

图6 不同方法的比较(六)

从以上比较结果可以看出,加入比例误差的数据采用附加参数平差与原始CPⅢ观测数据采用约束平差的平差结果相近,而加入比例误差的数据采用约束平差与原始CPⅢ观测数据采用约束平差的平差结果在CPⅢ控制网的两端相差较大；并且加入比例误差的数据采用附加参数平差求得的比例误差参数为5.8×10-6,与设计加入的5×10-6比例误差接近。对平差模型中附加的参数进行统计检验,结果表明引入的附加参数合理。

5 结论

在高速铁路CPⅢ控制网测量中,全站仪的距离观测值不可避免的存在系统误差,如果CPⅢ控制网距离观测值存在系统性的固定误差或比例误差,在平差中不考虑其影响,按经典约束平差的方法进行平差,则所得的平差估计参数不是最优线性无偏估计量。对于存在系统误差的CPⅢ控制网,可预先估计可能存在那些类型的系统误差,通过引入附加参数进行自动补偿,则平差结果更为可靠。

[1]TB10601—2009 高速铁路工程测量规范[S]

[2]黄维彬.近代平差理论及其应用[M].北京:解放军出版社,1992

[3]武汉测绘科技大学测量平差教研室.测量平差基础[M].北京:测绘出版社,1996

[4]崔希璋,於宗俦,陶本藻，等.广义测量平差[M]. 北京:测绘出版社,1982