缩减弹性模量有限元法计算加肋轴对称组合壳的极限载荷

吕岩松，郭日修

（海军工程大学，武汉 430033）

缩减弹性模量有限元法计算加肋轴对称组合壳的极限载荷

吕岩松，郭日修

（海军工程大学，武汉 430033）

将缩减弹性模量的思想融入基于轴对称壳单元的有限元分析，建立缩减弹性模量有限元法，计算加肋轴对称组合壳的极限载荷。建立壳单元“弹性状态”、“局部屈服状态”和“截面屈服状态”的判断条件；提出弹性模量调整策略和组合壳极限状态的判断方法，实现对加肋轴对称组合壳的塑性极限分析。编制了计算程序，算例表明该方法计算时间省，计算精度较高。

极限分析；有限元法；缩减弹性模量；迭代计算；加肋轴对称组合壳

1 引 言

加肋轴对称组合壳在航空、造船等领域被广泛应用，对这种结构的极限载荷，设计人员很关注。近年来，在计算结构极限载荷的各种方法中，基于缩减弹性模量的弹性迭代有限元方法[1-4]，以其形式简单、计算速度快、精度较高的优点，得到广泛应用。根据加肋轴对称组合壳的结构形式和受力特点，本文将缩减弹性模量的理念与基于轴对称壳单元的有限元法结合起来，建立基于轴对称壳单元的缩减弹性模量有限元法。在弹性有限元计算的基础上，本文提出弹性模量的调整策略，极限状态的判断条件；以逐步加载的方法求解加肋轴对称组合壳的极限载荷。本文编制了计算程序，并通过典型算例验证本文方法的正确性。

2 缩减弹性模量有限元法简介

缩减弹性模量有限元法的计算思路是：将加肋轴对称组合壳沿子午线分成若干轴对称截锥壳单元，并将肋骨设置在单元的结点处，如图1所示。将外载荷P分成若干载荷步，从 0 开始依次为 P1、P2…Pj-1、Pj、Pj+1…，分步加载。假设载荷从 P1加载至Pj，由于材料的弹性性质，加肋轴对称组合壳的所有单元均处于“弹性状态”，这一加载过程的应力计算是弹性有限元计算。从载荷步Pj以后，组合壳高应力区某个或若干个壳单元出现“局部屈服”，组合壳的应力状态开始进入弹-塑性，各单元的应力状态必须进行弹塑性计算，这使计算趋于复杂。为简化计算过程，本文采取“缩减弹性模量”进行弹性计算的方法，计算Pj以后各载荷步作用下单元的应力状态，以一系列缩减弹性模量的弹性计算模拟在载荷步Pj+1、Pj+2…作用下组合壳的弹塑性应力计算。在这一加载过程中，当组合壳受力最严重的壳单元出现“截面屈服”，则认为组合壳达到“极限状态”，对应的载荷步即为“极限载荷”PL。

具体的计算过程是：载荷步从P1至Pj，采用弹性有限元计算，各单元均处于“弹性状态”。对载荷步Pj+1进行计算，开始进行弹性计算（第一次计算），各单元的弹性模量取初始弹性模量Eo

图1 轴对称截锥壳单元及肋骨示意图Fig.1 Axisymmetric truncated conical shell element and stiffener

式中，左上标1表示第一次计算，N为壳单元总数。第一次弹性计算后，分析每个壳单元的应力状态，其中组合壳高应力区的单元处于“局部屈服状态”，而其他部分的单元仍处于“弹性状态”。若单元i满足“局部屈服状态”条件（见第2节），则修正该单元的弹性模量

其中“局部屈服”单元的“缩减系数”1kij+1是一个大于0小于1的参数，如何计算，下文将作介绍。上式表示对满足“局部屈服状态”条件的单元，其弹性模量进行了缩减。若单元i满足“弹性状态”条件，令

上式表示对满足“弹性状态”条件的单元，其弹性模量没有缩减。判断所有壳单元的应力状态并缩减“局部屈服”单元的弹性模量后，组合壳各单元的弹性模量取，进行Pj+1载荷步下的第二次弹性计算。计算后，再次对组合壳所有壳单元的应力状态进行分析判断，如组合壳中仍有壳单元处于“局部屈服状态”，则对满足“局部屈服状态”条件的单元，进一步缩减其弹性模量

对满足“弹性状态”条件的单元，令

判断所有壳单元的应力状态并缩减“局部屈服”单元的弹性模量后，组合壳各单元的弹性模量取，进行第三次弹性计算。假设如此迭代m次后，组合壳所有壳单元的应力状态均满足“弹性状态”条件，则在载荷步Pj+1作用下的迭代计算可以中止，此时各单元的弹性模量为。然后进行下一载荷步Pj+2的应力计算。当进行载荷步Pj+2的第一次计算时，各单元的弹性模量取

以后各次计算与上面介绍的Pj+1载荷步的计算相同。

对Pj+1以后的每一载荷步，各单元的应力状态都按“缩减弹性模量”进行弹性计算，并按“局部屈服”条件及“截面屈服”条件进行检查。若组合壳中所有单元均未出现“截面屈服”，则进行下一载荷步的计算；若组合壳受力最严重的单元出现“截面屈服”，则组合壳达到“极限状态”，此时的载荷步Pj+x即为极限载荷PL。图2表示某一结点的P-δ曲线，描述了本文方法的计算过程。

下面介绍缩减弹性模量有限元法的几个要点。

图2 计算加肋轴对称组合壳极限载荷的“缩减弹性模量有限元法”示意图Fig.2 The process of finite element method based on elastic modulus reduction to calculate the limit load of ring-stiffened axisymmetrical combination shell

3 壳单元应力状态的判断条件

在每一载荷步作用下，按照弹性有限元或缩减弹性模量的有限元进行计算，得到组合壳每个壳单元的应力后，都需要对各单元的应力状态进行判断。为便于判断，将壳单元横截面沿厚度方向分为若干层l=1,2,3…f，f为截面的总层数，l为层次。壳单元可能的应力状态有“弹性状态”、“局部屈服状态”和“截面屈服状态”。

① 单元“弹性状态”的判断条件：在载荷步Pr作用下，单元i内任一层的Mises应力不超过材料的屈服极限 σso，即

式中，lσr

Mises-i为壳单元i在载荷步Pr作用下，其横截面上第l层的Mises应力，可以根据壳单元的应力按下式求得：

②单元“局部屈服状态”的判断条件：在载荷步Pr作用下，单元内最大的Mises应力超过材料的屈服极限，即

③单元“截面屈服状态”的判断条件：壳单元出现“局部屈服”时，其横截面上仍有处于弹性状态的部分，单元仍可继续承载。缩减单元弹性模量后，继续加大载荷步，单元横截面的屈服范围将逐步扩大，直到某个载荷步Pj+x，单元截面全部屈服，本文称该单元“截面屈服”。其判断条件是：

4 壳单元弹性模量缩减系数

载荷步Pj+1、Pj+2……以后，对进入“局部屈服状态”的壳单元，需对其弹性模量进行缩减，弹性模量缩减系数按下述公式确定。假设在载荷步Pj+r作用下，经过m-1次迭代计算后，壳单元i的应力状态不满足“弹性状态”条件，需要缩减其弹性模量，进行第m次迭代计算（弹性计算）。第m次迭代计算时单元i的弹性模量为

缩减系数m-1kj+ri为

5 对求得的极限载荷的分析

本文定义组合壳达到“极限状态”是根据受力最严重壳单元出现“截面屈服”，这时组合壳的应力场满足平衡方程和力的边界条件，屈服截面的Ilyushin广义应力等于材料的屈服极限，因此“极限状态”满足极限分析理论中“静力容许场”的要求[7]，故本文定义的加肋轴对称组合壳“极限状态”的应力场是“静力容许场”，由极限分析的下限定理，本文求出的极限载荷是下极限解。

6 计算程序框图

笔者根据“缩减弹性模量有限元法”的格式，编制了有限元计算程序，计算程序的框图见图3。

图3 有限元计算程序的运行框图Fig.3 The block diagram of the finite element process

7 算 例

加肋凸锥—柱结合壳模型如图4所示，模型壳板厚度1.32 mm，圆柱壳肋骨间距l=24 mm，圆锥壳肋骨间距l1=20 mm，锥柱结合部的肋骨间距l0=22 mm，肋骨的尺寸为4×1.2 mm2。模型材料为#45优质碳素钢，材料的弹性模量Eo=2.1×105MPa，泊松比ν=0.3，屈服极限为423.7 MPa。模型承受静水外压作用。

按照本文方法和MSC/MARC通用有限元软件对该模型进行极限分析，计算结果如表1所示。应用MSC/MARC软件进行计算时，采用的是弹塑性增量有限元法，其计算结果接近真实解。

图4 加肋凸锥—柱结合壳模型Fig.4 A convex ring-stiffened cone-cylinder combination shell

表1 极限载荷的对比Tab.1 Comparison of limit load

由表1可以看出，应用本文方法计算得到的极限载荷，略低于MSC/MARC软件的计算结果，这是因为本文方法得到的极限载荷是下极限解。本文方法计算得到的模型破坏位置与MSC/MARC软件的计算结果一致。本文方法的计算时间省。

8 结 论

本文提出一种计算加肋轴对称组合壳极限载荷的“缩减弹性模量有限元法”。该方法通过缩减“局部屈服”壳单元的弹性模量，用一系列缩减弹性模量的弹性计算，模拟加肋轴对称组合壳屈服破坏的弹塑性过程，以组合壳受力最严重单元的Ilyushin广义应力等于材料的屈服极限作为判断条件，确定加肋轴对称组合壳的极限载荷。本文方法求解的极限载荷是按“塑性极限分析下限定理”获得的解。

算例表明：在计算时间上，本文方法较传统的弹塑性增量有限元法有较大的优势；在计算精度上，本文方法的计算结果与弹塑性增量有限元法的计算结果相当。本文方法适用于工程计算。

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[2]Ponter A R S,Carter K F.Limit state solutions,based upon linear elastic solutions with a spatially varying elastic modulus[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,1997,140:237-258.

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[7]陈 钢,刘应华.结构塑性极限与安定分析理论及工程方法[M].北京:科学出版社,2006.

Limit analysis of ring-stiffened axisymmetric combination shell by finite element method based on elastic modulus reduction

LÜ Yan-song,GUO Ri-xiu
(Naval Engineering University,Wuhan 430033,China)

A finite element method based on elastic modulus reduction is proposed to compute the limit load of ring-stiffened axisymmetric combination shell.The criteria for ‘elastic state’, ‘local yield state’and ‘section yield state’ of shell element are established.The method of elastic modulus reduction and the criterion for plastic limit state of ring-stiffened axisymmetric combination shell are presented.The computer program is developed.Numerical example shows that the proposed method is effective and the computed result is accurate.

limit analysis;finite element method;elastic modulus reduction;iterative calculation;ring-stiffened axisymmetric combination shell

U661.43

A

1007-7294（2011）08-0892-06

2011-02-12

吕岩松（1976-），男，海军工程大学博士研究生，E-mail:navylys@163.com；郭日修（1924-），男，教授，博士生导师。