一种基于除余法的数制转换方法

程铁良 常巧霞

(郑州职业技术学院，郑州 410121)

数制是人们利用符号进行计数的科学方法。日常生活中，我们用到的大都是十进制的数。其实数制有很多种，在计算机中，常要用到二进制、八进制、十六进制的数，所以计算机的许多基础学科中都涉及到了进制转换的问题。在实际教学过程中，笔者发现，好多学生不能正确、熟练地进行进制转换，或对进制转换的概念比较模糊。笔者根据多年的教学经验，就进制转换问题，提出一些思考或建议。

1 传统的数制转换方法

在许多教材中，关于进制的转换，一般是这样的：

1.1 二进制数、十六进制数转换为十进制数(按权求和)

二进制数、十六进制数转换为十进制数的规律是相同的：把二进制数(或十六进制数)按位权形式展开多项式和的形式，求其最后的和，就是其对应的十进制数——简称“按权求和”。例如:

(1)把(1001.01)2转换为十进制数

解：(1001.01)2

=1×23+0×22+0×21+1×20+0×2-1+1×2-2

=8+0+0+1+0.5+0.25

=9.75

(2)把(38A.11)16转换为十进制数

解:(38A.11)16

=3×162+8×161+10×160+1×16-1+1×16-2

=768+128+10+0.0625+0.0039

=906.0664

1.2 十进制数转换为二进制数 (除二取余法)

整数转换。一个十进制整数转换为二进制整数通常采用除二取余法,即用2连续除十进制数，直到商为0,逆序排列余数即可得到――简称除二取余法。

例：(1)将25转换为二进制数

解: 25÷2=12 余数1

12÷2=6 余数0

6÷2=3 余数0

3÷2=1 余数1

1÷2=0 余数1

所以25=(11001)2

1.3 二进制数与十六进制数之间的转换

由于4位二进制数恰好有16个组合状态,即1位十六进制数与4位二进制数是一一对应的。所以,十六进制数与二进制数的转换是十分简单的。

(1)十六进制数转换成二进制数,只要将每一位十六进制数用对应的4位二进制数替代即可，简称位分四位。

例:将(4AF8B)16转换为二进制数。

解: 4 A F 8 B

0100 1010 1111 1000 1011

所以(4AF8B)16=(1001010111110001011)2

(2)二进制数转换为十六进制数,分别向左,向右每四位一组,依次写出每组4位二进制数所对应的十六进制数――简称四位合一位。

例:将二进制数(111010110)2转换为十六进制数

解: 0001 1101 0110

1 D 6

所以(111010110)2=1D6H

转换时注意最后一组不足4位时必须加0补齐4位。

2 数制转换分析

2.1 数制的概念

首先，要理解数制的概念。数制是用一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法。其基本术语有：数码：数制中表示基本数值大小的不同数字符号。基数：数制所使用数码的个数。位权：数制中某一位上的1所表示数值的大小。

对于十进制来说，是以10为基数，有10个数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。小于10的是个位，从0～9，一位数，然后是十位，从10到99，2位数，依此类推百位、千位...对于二进制、八进制、十六进制来说基数分别是2、8、16，它们的个位数不同，二进制0～1是个位，八进制0～7，十六进制0～F(15)，超过这些才能进位到下一位。十进制逢十进一，八进制逢八进一，这样八进制里只能出现0～7，如果个位到8了，就会自动进位，这样第二位变成1，第一位的数都进上去了，就变成0了，因此八进制超过8的数用两位表示。

2.2 按权展开式

对于任何一个数来说，都可以表示成加法的形式：

例如：256=2×100+5×10+6×1

这种方法叫按权展开，意思就是从高到低一级一级展开成加法的形式；对于一个八进制的数来说也是这样，只是在基数那儿有些区别，八进制是1、8、64、…

例如：271=2×64+7×8+1×1

对于十六进制来说，基数是1、16、256、4096…

例如：35=3×16+5×1

对于二进制来说，基数是1、2、4、8、16…

例如：110=1×4+1×2+0×1

总结一下基数，就是从0次方开始，然后一次方、二次方…相当于个位、十位、百位…。

2.3 数制转换的实质

数制转换相当于把数重新排一下，一般情况下我们是用十进制，对于一个数来说，个位表示几个、十位表示几十，百位表示几百，这样就很方便地知道一个数有多大。

例如255，我们知道这个数有二百、五十、五个，也就是右边起，第一位是个位表示有几个，这儿有五个；第二位是十位表示有几十，这儿有五十；第三位是百位，表示有几百，这儿有二百，总数共是255个。

对于八进制来说，总数是255个的时候，写成八进制的数是377，分析一下是怎么回事： 从右边开始，第一位是个位，这儿是7个。由于是八进制，第二位就不是十位了，而是八了，这儿有7个八也就是五十六。同样第三位也不是百位，而是六十四，这儿有3个六十四也就是一百九十二，总数仍然是255。

从这儿可以看出，总数相同的时候，表示成不同数制，数也不一样，关键是每个数位上的基数不同，例如对于十进制来说，第二位是十位，这个位置上的数一个顶十个，而对于八进制的第二位，这个位置上的数一个只能顶八个。

数制转换的时候只是把数按要求重新排列一下，比如转成八进制，就按八进制的要求排列，二进制就按二进制的要求排列。

八进制各个数位是：1、8、64、512…相当于十进制的个、十、百、千，按照8的n次方往后排；二进制各个数位是：1、2、4、8、16…相当于十进制的个、十、百、千、万，按照2的n次方往后排；十六进制的分别是：1、16、256…

3 另一种数制转换方法

转换的时候，必须要按照上面的要求来重新排列数字，基本方法是找出最近的一个数位，然后用除余法找出各个位置上的数。比如：

3.1 十进制转为八进制

以255为例。离255最近的数是第三位64，用255除以64，得3余63，第三位上求出来是3；用余数63除以第二位8，得7余7，第二位上求出来是7；用余数7除以第一位1，得7余0，第一位上是7；所有的数都摆好了，结果是377。

3.2 十进制转化为二进制

以15为例。跟数位表对一下，最近的是8，除一下得1余7，第四位是1；用余数7除以4，得1余3，第三位是1；用余数3除以2，得1余1，第二位是1；用余数1除以1，得1余0，第一位是1；所有的数位都排好，结果是1111。

当然，在实际操作中，两种数制转换方法不是截然分开的，而是相互结合、取长补短的。总之，学无定法，贵在动脑。只要勤动手，肯动脑，一切问题都可以迎刃而解。

[1]孟林.计算机文化基础教程[M].成都:电子科技大学出版社，2004.

[2]北大数学力学系.高等代数[M].北京:高等教育出版社，2000.