余世群
(1.北京师范大学 数学科学学院,北京 100875;2.湖北民族学院 理学院,湖北 恩施 445000)
作为代数学领域研究的一个重要课题,矩阵和线性空间的分解理论与方法在工程技术中有重要的应用价值.本文主要研究了一类线性变换的值域分解问题,这对于线性变换空间的分解、矩阵的准对角形分解等问题的研究提供了理论依据.
为方便计,本文用V表示数域F上的线性空间(不一定是有限维的);f(x)为数域F上的多项式;f(σ)V为线性变换f(σ)的值域,即f(σ)V={f(σ)α|α∈V},ε表示线性空间的恒等变换.其它未经说明的术 语和记号参考文献[1].
定理1 设σ为数域F上线性空间V的一个线性变换,f(x)、g(x)和h(x)都是数域F上的多项式.若h(x)=f(x)g(x),且(f,g)=1,则h(x)为σ的零化多项式,即:h(σ)=0⟺V=f(σ)V⊕g(σ)V.
证明必要性:设h(σ)=0,即f(σ)g(σ)=0.由于(f,g)=1,所以∃u(x),v(x)使得:
f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.
于是有:
f(σ)u(σ)+g(σ)v(σ)=ε.
从而,∀α∈V,有:
a=[f(σ)u(σ)+g(σ)v(σ)]α=f(σ)u(σ)α+g(σ)v(σ)α.
因为f(σ)u(σ)α∈f(σ)V,且g(σ)v(σ)α∈g(σ)V,又由α的任意性,可得:
V=f(σ)V+g(σ)V.
进一步,若∃β∈f(σ)V∩g(σ)V,则必有:β1,β2∈V,使得:β=f(σ)β1=g(σ)β2.从而:
β=f(σ)u(σ)β+g(σ)u(σ)β=f(σ)u(σ)g(σ)β2+g(σ)v(σ)f(σ)β1=
u(σ)h(σ)β2+v(σ)h(σ)β1=0.
这表明f(σ)V∩g(σ)V={0},即:
V=f(σ)v⊕g(σ)V.
充分性:设V=f(σ)V⊕g(σ)V,则有:f(σ)V∩g(σ)V={0}.
从而:∀α∈V,有:
h(σ)α=f(σ)g(σ)α=f(σ)[g(σ)α]∈f(σ)V,
h(σ)α=f(σ)g(σ)α=f(σ)[g(σ)α]∈g(σ)V.
于是,h(σ)α∈f(σ)V∩g(σ)V={0},即h(σ)α=0,再由α的任意性可知:h(σ)=0,证毕.
显然,由定理1直接可得下列推论:
推论1[2]设σ是数域F上线性空间V的一个线性变换,则:σ2=σ⟺V=σV⊕(ε-σ)V,
其中ε是恒等换变.
推论2[2-6]设σ是数域上线性空间V的一个线性变换,则:σ2=ε⟺V=(ε-σ)V⊕(ε+σ)V,
其中ε是恒等换变.
如果考虑到线性空间的维数,那么,还可得下面的推论:
推论3 设f(x)、g(x)都是数域F上的多项式,且(f,g)=1,σ是数域F上n维线性空间V的一个线性变换,则f(σ)g(σ)=0的充要条件是r(f(σ))+r(g(σ))=n,其中r(f(σ))表示线性变换f(σ)的秩.
证明由定理1得:f(σ)g(σ)=0⟺V=f(σ)V⊕g(σ)V⟺r(f(σ))+r(g(σ))=n.
定理2 设σ是数域F上线性空间V的一个线性变换,f1(x),f2(x),…,fm(x)都是数域F上的多项式,且(f1(x),f2(x),…,fm(x))=1.若h(x)=f1(x)f2(x)…fm(x),则:
h(σ)=0⟹V=f1(σ)V+f2(σ)V+…+fm(σ)V.
证明设h(σ)=0,因为(f1(x),f2(x),…,fm(x))=1,所以存在u1(x),u2(x),…,um(x)使得:
u1(x)f1(x)+u2(x)f2(x)+…+um(x)fm(x)=1.
由上式可得:
u1(σ)f1(σ)+u2(σ)f2(σ)+…+um(σ)fm(σ)=ε.
于是,∀α∈V,有:α=u1(σ)f1(σ)α+u2(σ)f2(σ)α+…+um(σ)fm(σ)α.
由于u1(σ)f1(σ)α∈f1(σ)V,u2(σ)f2(σ)α∈21(σ)V,…,um(σ)fm(σ)α∈fm(σ)V,
并由α的任意性,得:
V=f1(σ)V+f2(σ)V+…+fm(σ)V.
推论4 设σ是数域F上线性空间V的一个线性变换,f1(x),f2(x),…,fm(x)都是数域F上两两互素的多项式,则:
f1(σ)f2(σ)…fm(σ)=0⟹V=f1(σ)V+f2(σ)V+…+fm(σ)V.
证明由于f1(x),f2(x),…,fm(x)都数域F上两两互素的多项式,则在F上必有:
(f1(x),f2(x),…,fm(x))=1.
由定理2,即得此结果.证毕.
致谢:感谢蔡俊亮教授的悉心指导!
参考文献:
[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2003.
[2]张树青.线性空间的幂等变换与对合变换的几种等价表示[J].烟台师范学院学报,2004,20(1):4-5.
[3]樊恽,钱吉林,岑嘉评,等.代数学辞典[M].武汉:华中师范大学出版社,1994.
[4]赵峰,马巧灵,陈勇.一类线性变换的核分解[J].济南大学学报,2003,17(2):136-137.
[5]韩清.若干矩阵乘积的秩的下界[J].佛山科学技术学院学报:自然科学版,2003,21(1):9-11.
[6]余世群.一类极大临界h连通网的结构[J].湖北民族学院学报:自然科学版,2006,24(2):133-136.