Wiener滤波,Kalman滤波和信息融合滤波理论研究进展

邓自立

(黑龙江大学 电子工程学院 自动化系,哈尔滨 150080)

0 引 言

最优滤波解决系统状态或信号最优估计问题,即由被噪声污染的观测信号中过滤噪声,求未知状态或信号在某种性能指标意义下的最优估值器。

经典Wiener滤波方法[1]是由控制论创始人N.Wiener在20世纪40年代第二次世界大战期间由于研究火炮控制系统的需要提出的。它是一种频域方法,其基本工具是谱分解。它的缺点和局限性是要求信号是一维平稳随机过程,滤波器是非递推的,要求求解Wiener-Hopf方程和存储全部历史数据,计算量和存储量大,不便于实时应用。虽然推广的Wiener滤波方法 (多项式方法[2])用传递函数模型描写信号,可用于处理多维非平稳信号,但要求求解互耦的Diophantine方程才能得到信号的递推Wiener滤波器,且不便于处理状态估计和信息融合滤波问题,不能处理时变系统滤波问题。

随着电子计算机、军事和空间技术的发展,R.E.Kalman在20世纪60年代初提出了Kalman滤波方法[3]。它是一种基于状态空间模型的时域滤波方法,其优点是滤波算法是递推的,可处理多变量、非平稳、时变系统状态或信号估计,便于实时应用,克服了Wiener滤波方法的缺点和局限性,并且成功应用于美国阿波罗登月计划。它的基本工具是Riccati方程,其缺点和局限性是要求模型参数和噪声统计是精确已知的,采用不精确的模型设计Kalman滤波器可导致滤波发散。

现代时间序列分析方法[4-11]作为最优滤波新的方法论是由邓自立在20世纪80年代末以来提出的。它是经典时间序列分析[12]与Kalman滤波相互渗透、相互交叉的产物,其基本工具是时间序列自回归滑动平均 (ARMA)新息模型,其理论基础是白噪声估计理论。ARMA新息模型提供了最优滤波所需的全部统计信息,它揭示了观测信号、新息过程、输入和观测白噪声之间的数量关系,其优点是基于ARMA新息模型的在线辨识可处理含未知模型参数和噪声统计系统的自校正滤波问题,其局限性是它仅适用于定常系统的滤波问题,不能像Kalman滤波方法可处理时变系统滤波问题。现代时间序列分析方法是最优和自校正滤波的一种新的方法论,不仅可解决定常系统Kalman滤波和Wiener滤波问题,而且还可以解决用Wiener滤波方法和Kalman滤波方法不容易解决的或未解决的许多难题。例如广义系统状态估计[5-6]、时滞系统状态估计[5-6]、自校正滤波[7]、自校正信息融合滤波[10-11]、收敛性分析[7,10]等。

现代时间序列分析方法的基本理论 (白噪声估计理论,稳态最优Kalman滤波理论及自校正信息融合滤波理论)以长文 (正规论文)先后发表于由国际自动控制学会 (IFAC)主办的自动控制领域国际权威刊物 《Automatica》上[13-15],受到国际上同行的关注。

信息融合滤波是多传感器信息融合 (多传感器数据融合[16])与最优滤波相交叉的新领域,是近年来最受关注的热门领域之一,广泛应用于军事、国防、战争等许多高科技领域,尤其在目标跟踪、精确制导、远程打击、导弹拦截等领域有重要的应用[16]。早在1988年美国国防部就把信息融合技术列为20世纪90年代重点研究开发的20项关键技术之一,且列为最优先发展的A类。

1 基于Kalman滤波方法的理论研究进展

本节综述了作者应用Kalman滤波方法提出的新理论和新方法。

1.1 统一和通用的白噪声估计理论

以石油地震勘探为应用背景,J.M.Mendel[17]提出了系统的输入白噪声估值器,也叫白噪声反卷积估值器。但没有提出系统的观测白噪声估值器。文献 [18,19]提出了定常或时变系统的统一的和通用的白噪声估计理论,其中不仅包括输入白噪声估值器,而且还包括观测白噪声估值器。输入和观测白噪声估值器有统一结构,且可统一处理白噪声滤波、预报和平滑问题。白噪声估计理论的重要理论意义是用它可解决系统状态或信号估计问题[4-11,13]。

1.2 时域Wiener滤波新方法

经典Wiener滤波方法是频域方法。文献 [21-23]揭示了稳态Kalman滤波与Wiener滤波之间的关系,通过构建等价于状态空间新息模型的ARMA新息模型,提出了一种时域Wiener滤波新方法。以ARMA新息模型作为桥梁,由稳态Kal-man估值器可直接构造相应的Wiener状态估值器,并且可实现状态分量解耦Wiener滤波器[24]。将ARMA信号模型转化为状态空间模型,用所提出的Wiener状态估值器可直接设计带有色观测噪声的ARMA信号Wiener滤波器[6,10]。

1.3 最优和自校正滤波器的收敛性分析新方法

在系统辨识理论中,参数估计的收敛性分析的一种著名方法是由L.Ljung[25]提出的常微分方程(ODE)方法,它将收敛性问题转化为一个常微分方程的稳定性问题。在Kalman滤波理论中,文献[7,10]提出了稳态Kalman滤波器按实现收敛于相应的最优时变Kalman滤波器的动态误差系统分析 (DESA)方法。它将按实现收敛性问题转化为用非齐次差分方程写的动态误差系统的稳定性问题;文献 [10]还提出了稳态Kalman滤波器均方收敛于时变最优Kalman滤波器的动态方差系统分析 (DVSA)方法。它将均方收敛问题转化为用一个Laypunov方程写的动态方差系统的稳定性问题。分别提出和证明了差分方程和Laypunov方程稳定性判据。所提出的DESA方法和DVSA方法是解决Kalman滤波和Wiener滤波收敛性分析的基本工具,它们可解决长期以来没有解决的自校正滤波器收敛性分析难题;文献 [15]用DESA方法证明了自校正信息融合Wiener滤波器按实现收敛于相应的稳态最优融合Wiener滤波器,文献[26]用DVSA方法,也称动态方差误差系统分析(DVESA)方法,证明了自校正Riccati方程的收敛性,进而用DESA方法证明了自校正融合Kalman预报器按实现收敛于最优融合时变Kalman预报器;文献[27]用DESA和DVESA方法证明了自校正融合器的收敛性。这些结果构成了自校正融合器收敛性分析理论。

1.4 最优加权融合Kalman滤波理论

文献 [14,28,29]用Lagrange乘数法分别在线性最小方差意义下提出了按矩阵、按对角阵、按标量加权3种最优加权融合准则及融合公式,并提出了多传感器系统最优加权状态融合Kalman滤波理论,可处理带相关噪声系统[14]、带不同局部模型 (多模型)系统[14,30]、带观测滞后系统[31]及广义系统[20,32]的多传感器最优分布式融合滤波问题;文献 [10,33-35]用加权最小二乘法提出了带相关观测噪声或带相关的输入噪声和观测噪声的多传感器系统加权观测融合Kalman估值器,提出了两种加权观测融合算法,并用信息滤波器证明了它们的全局最优性,即它们的功能等价于集中式融合Kalman估值器,构成了最优加权观测融合Kalman滤波理论。

1.5 基于Riccati方程的自校正融合Kalman滤波理论

当多传感器系统含有未知模型参数和噪声统计时,它们的在线一致的估值可应用系统辨识方法[25]得到。将它们的在线估计带入到当模型参数和噪声统计已知时的最优Kalman融合器中便引出自校正 Kalman滤波器[7]。文献 [5,26-27,36-38]分别提出了自校正状态融合和观测融合Kalman滤波器或Wiener滤波器,并且应用DESA方法和DVESA方法证明了它们的收敛性,即在按实现意义下它们分别收敛于相应的最优融合器。关键问题是证明自校正Riccati方程[39]的收敛性;文献[39]用DVESA方法证明了一般的自校正Riccati方程按实现收敛于最优 Riccati方程。按随机过程的一个实现收敛性新概念是在文献 [15]中首次提出的,它比按概率1收敛性弱。它的重要方法论意义在于：将随机收敛问题转化为一个确定性的普通极限问题。上述结果构成了自校正信息融合Kalman滤波理论。这一理论的直接应用是设计自校正融合信号滤波器[40]。

以上是作者关于Kalman滤波方法和Kalman滤波理论的研究进展。

2 现代时间序列分析方法的理论研究进展

本节综述了作者用现代时间序列分析方法提出的最优和自校正滤波新方法和新理论。

2.1 基于ARMA新息模型的稳态最优白噪声估计理论

白噪声估计理论是现代时间序列分析方法的理论基础、关键技术和基本工具。文献 [13]对定常随机系统提出了基于ARMA新息模型的统一的稳态最优白噪声估计理论。它在统一框架下处理输入和观测白噪声滤波、预报和平滑问题。它完全不同于文献 [18-19]基于Riccati方程的白噪声估计理论。这种基于ARMA新息模型的白噪声估值器可应用于设计ARMA信号Wiener滤波器[41],也可用于设计广义系统Wiener或 Kalman状态估值器[42-43],还可用于设计广义系统信息融合Wiener状态估值器[44]。

2.2 稳态Kalman滤波新方法

文献 [14]提出了基于ARMA新息模型的稳态Kalman滤波新方法,其中首先基于ARMA新息模型求稳态Kalman滤波器增益阵,然后用Lyapunov方程求滤波误差方差阵。它的优点是当系统含有未知参数和噪声统计时,可通过在线辨识ARMA新息模型设计自校正Kalman滤波器[7,45]。这种稳态Kalman滤波新方法完全不同于采用经典Kalman滤波方法的稳态 Kalman滤波方法[6],其中首先用求解Riccati方程得到稳态预报误差方差阵,然后求稳态Kalman滤波器增益阵。用类似于1.2节的方法可引出相应的新的时域Wiener滤波方法[10]。

2.3 统一的、通用的时域Wiener滤波新方法

文献 [44,42,46,47,5,6,10]基于ARMA新息模型、白噪声估值器和观测预报器提出了统一的、通用的Wiener状态滤波方法,可统一处理正常系统和广义系统[44,46-48]、带观测滞后系统[48]、多传感器系统[10]的最优滤波和信息融合滤波问题。可在统一框架下解决状态或信号滤波、预报和平滑问题,克服了用经典Kalman滤波方法处理广义系统和时滞系统状态估计时遇到的困难。它不同于1.2节和2.2节提出的基于稳态Kalman滤波器的时域Wiener滤波方法,它们要求计算稳态Kalman滤波器增益,因而它们不便于处理广义系统和时滞系统滤波问题。这种时域Wiener滤波方法也克服了频域Wiener滤波方法不便于处理状态估计问题的困难。

2.4 基于ARMA新息模型的最优融合滤波理论

该理论包括：多传感器白噪声反卷积融合估值器[10,54-55];多通道ARMA信号信息融合Wiener滤波器[31];多传感器信息融合Wiener状态估值器[10];基于ARMA新息模型求稳态Kalman滤波器增益的最优加权状态融合和观测融合Kalman滤波理论[10,14];广义系统降阶和非降阶融合估值器[10,20,32,44]。

2.5 最优Wiener反卷积滤波理论

当系统状态或信号被通过一个动态系统观测时,则系统状态或信号就成为动态观测系统的输入。估计观测系统的输入称为反卷积滤波,在通讯系统、石油地震勘探、无损伤检验、信号处理等领域有重要应用背景。白噪声反卷积 (即输入白噪声估计理论)已在文献 [13,17-19,54-56]被提出。对于系统状态或ARMA信号反卷积滤波,文献 [5,6,57-60]系统地提出了基于ARMA新息模型、利用白噪声估值器的最优反卷积滤波理论,其中对于带白色和有色观测噪声的多通道ARMA信号,文献 [5,6]提出了4种Wiener反卷积滤波算法。文献 [59-60]对带有色观测噪声的多通道ARMA信号提出了Wiener反卷积滤波器。文献 [58]对带多重观测滞后和带有色观测噪声系统提出了Wiener状态反卷积滤波器。它们均可统一处理反卷积滤波、预报和平滑问题。

2.6 多传感器信息融合辨识方法

当多传感器系统含有未知模型参数和噪声统计时,为了设计自校正信息融合滤波器,需要在线辨识它们。这是系统辨识的一个新领域。对于辨识ARMA模型,传统系统辨识方法[25]有两个局限性：①辨识不带观测噪声的ARMA模型;②只限于辨识带单个传感器的ARMA模型。文献 [49,38,40-41,26]利用相关方法、递推增广最小二乘 (RELS)法,递推辅助变量(RIV)法等对于带白色观测噪声,或带有色观测噪声,或带公共干扰白色或有色噪声的单通道或多通道多传感器ARMA信号,当模型参数和噪声统计未知时提出了信息融合多段辨识算法：第一段,基于每个局部传感器辨识自回归 (AR)参数,得到AR参数局部估值器;第二段,用相关方法得到未知噪声统计的局部估值器;第三段用Gevers-Wouters算法[10]得到滑动平均 (MA)参数局部估值器。可证明这些局部估值器是一致的。用取局部估值器的平均值方法提出了信息融合模型参数和噪声统计估值器,它可看成是当未知局部估值统计信息时的最小二乘融合器[26]。可证明它也是一致的,且具有较强的鲁棒性和可信度。利用局部估值统计信息 (估值误差方差和互协方差)的信息融合辨识方法有待于进一步研究。因为在系统辨识理论中目前尚没有很好解决求参数估计误差方差问题[25]。

2.7 基于ARMA新息模型的自校正融合滤波理论

对于带单个传感器系统,文献 [7]系统地提出了含未知参数和噪声方差系统的自校正滤波理论。它包括自校正白噪声估值器、自校正Kalman滤波器、自校正Wiener滤波器及其在跟踪系统中的应用,并用DESA方法证明了它们的收敛性。对于多传感器系统,当系统含未知参数和/或未知噪声统计时,基于ARMA新息模型的在线辨识,文献 [13,15,36,41,50-53]分别提出了自校正加权状态融合和加权观测融合Kalman滤波器或Wiener滤波器,并且应用DESA方法和DVESA方法证明了自校正融合器的收敛性,构成了基于现代时间序列分析方法的自校正信息融合滤波理论。

同1.5节的基于Riccati方程的自校正融合滤波理论相比较,1.5节要求辨识原始系统的未知参数和噪声统计,但基于ARMA新息模型的自校正融合滤波器有时只需要辨识ARMA新息模型的参数和新息的方差,而避免了辨识原始系统的所有参数和噪声统计,例如文献 [41,53]就是这种情形。

3 结论及展望

本文综述了解决滤波问题的3种方法论：Kalman滤波方法、Wiener滤波方法及现代时间序列分析方法,并且综述了Wiener滤波、Kalman滤波和信息融合滤波理论的研究进展。作者关于现代时间序列分析方法出版了8部专著[4-11],在滤波领域在国内外发表了500余篇学术论文。由以上综述可得到如下结论：

1)现代时间序列分析方法是不同于 Kalman滤波和Wiener滤波方法的一种新的方法论,应用它引出一系列新方法、新理论和新的研究方向,其中包括白噪声估计理论,稳态 Kalman滤波新方法,时域Wiener滤波新方法,多段信息融合辨识方法,最优和自校正融合滤波理论及收敛性分析理论。

2)上述3种方法论各有其优缺点和局限性,各有自己的适用范围和基本工具。现代时间序列分析方法的基本工具是ARMA新息模型、白噪声估值器和 Lyapunov方程;Kalman滤波方法的基本工具是Riccati方程;Wiener滤波方法的基本工具是谱分解和Diophantine方程。白噪声估计理论是现代时间序列分析方法的特色之一。从科学方法论观点,用白噪声估计理论解决随机系统状态或信号估计问题是一种 “化整为零”的方法,即一种局部与整体转化方法。这是因为一个用白噪声激励的线性离散随机系统的状态或信号总可表为在不同时刻白噪声的值和观测信号的值的线性组合。因而状态或信号估计问题就转化为白噪声估计和观测信号估计问题。Kalman滤波方法适于处理时变系统滤波问题,不便于处理广义系统和时滞系统滤波问题;现代时间序列分析方法适于处理非时变广义系统和时滞系统的状态估计问题,且适于处理自校正滤波问题,不便于处理时变系统。Kalman滤波适于处理用状态空间模型描写的系统,即便于状态估计,不便于信号估计,当估计信号时应将其表示为状态空间模型和应用增广状态方法。Wiener滤波方法适于处理用传递函数模型描写的定常系统,即便于信号处理不便于状态估计。因为ARMA信号本身就是一种传递函数模型,但Wiener滤波方法也不能处理时变系统。而现代时间序列分析方法适用于上述两种模型描写的系统,它们是相辅相成的。

3)上述3种方法论是相互渗透、相互转化的。用现代时间序列分析方法解决滤波问题等价于解决稳态Kalman滤波问题或Wiener滤波问题。稳态Kalman估值器等价于相应Wiener估值器,也等价于用现代时间序列分析方法基于ARMA新息模型得到了估值器[10]。构造ARMA新息模型等价于Wiener滤波方法的谱分解[61]。ARMA新息模型也等价于Kalman滤波中的状态空间新息模型[62]。

现代时间序列分析方法作为一种最优和自校正滤波新的方法论,是富有生命力的,尚有许多问题需要进一步研究,有许多理论需进一步开发,有许多新领域需进一步探索,特别是在多传感器信息融合估计领域,它具有重要的方法论意义。存在问题和进一步研究方向为：

1)广义系统信息融合滤波理论。文献 [5]提出了带单个传感器且不带观测滞后的广义系统非递推状态估计理论,其中包括4种非递推状态估计算法。在此基础上应用现代时间序列分析方法应进一步开发带观测滞后、带有色观测噪声的广义系统多传感器信息融合Wiener滤波理论;文献 [44]仅基于其中一种无观测滞后的非递推状态估计算法提出了相应的解耦Wiener状态融合器;文献 [20,32]仅给出了在两种典范型下广义系统降阶信息融合器。应进一步研究在其他典范型下的广义系统降阶融合器,还应进一步研究非广义系统信息融合滤波理论。

2)多传感器信息融合系统辨识理论。经典系统辨识理论[25]的前提是系统不带传感器或只带单个传感器,因而对系统模型参数和噪声统计不存在信息融合估计问题。但对多传感器系统,基于每个传感器均可得到系统未知参数和噪声统计的局部估值器。如何组合或加权这些局部估值器得到最优融合估值器,其精度比每一个局部估值器的精度高,就成为多传感器系统辨识理论的基本问题。这是一个新的研究领域,虽然文献 [40,41,49,52]提出用局部估计的算术平均作为融合估值,但其精度有待于进一步改进。因为融合估值没有用到局部估值误差方差阵和互协方差阵的统计信息。然而求模型参数和噪声统计估计误差方差和互协方差的问题目前尚未很好地解决[25]。应进一步探求用DESA方法和DVESA方法解决某些模型参数估计递推算法的按实现收敛性问题。新近文献 [63]用DESA方法证明了多变量偏差补偿递推最小二乘算法按实现收敛性。为了设计自校正信息融合滤波器,有待于进一步开发在噪声环境下的多传感器系统快速收敛辨识算法。目前递推增广最小二乘法 (RELS)、递推辅助变量法 (RIV)等常用算法收敛速度有待于进一步提高。应进一步加强辨识算法统计 (参数估计方差、协方差)特性研究,这是解决最优信息融合参数估计问题所必须的信息。

3)协方差交叉融合鲁棒Kalman和Wiener滤波理论。为了实现最优加权融合器要求已知局部估计的互协方差阵。但是在许多理论和应用问题中,局部估计互协方差是未知的[25],或计算互协方差公式非常复杂,计算量大[30-31]。为了避免求局部估计互协方差,文献 [16,64,65]利用凸组合矩阵加权方法提出了协方差交叉融合方法,它不要求计算局部估计互协方差,它给出了不依赖于未知互协方差的融合估计的方差的上界,其精度比每个局部估计精度高,因而关于未知互协方差具有鲁棒性。但其缺点是求最优加权系数是一个多维非线性最优化问题,要求较大计算负担。可对带白色或有色观测噪声系统或带观测滞后系统,用Kalman滤波方法或现代时间序列分析方法求系统状态或信号局部估值器及其方差阵,然后可用协方差交叉融合方法设计鲁棒融合估值器[66-68]。这是一个新的研究方向。

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