确定圆心的矢量算法及其椭圆脉冲增量法的研究与实现

李 伟，赵玉刚，张来宾，李科展，张 辉

LI Wei1,ZHAO Yu-gang1,ZHANG Lai-bin2,LI Ke-zhan3,ZHANG Hui4

（1. 山东理工大学 机械工程学院，淄博 255049；2.滕州市产品质量监督检验所，滕州 277500；3. 中国重汽集团 济南桥箱有限公司，济南 250116；4. 中国石化齐鲁石油化工公司 热电厂，淄博，255400）

0 引言

插补是数据密化的过程。在数控系统明确起点和终点后，系统根据线段的特征（直线、圆弧、渐开线等），运用一定的算法，在起终点之间计算出一系列的数据，从而自动地对各坐标轴进行分配，使机床加工出所要求的轮廓曲线[1]。

文献[1]提出了一种最小偏差法，改进的算法虽然精度有所提高，但只能用于要求不高的开环控制系统中。文献[2]和文献[3]只是基于数控插朴特征原理，提供了数控加工椭圆曲线的有益方案，没有具体实现数控加工及仿真；文献[4]介绍了脉冲增量式插补算法的特点，基于vHDL语言编程实现了多种常用脉冲增量式插补算法的硬件插补器。

本文运用矢量法解决了起点、终点、半径确定圆心的问题，简化了计算过程，使计算值有了明确的取舍；基于脉冲增量插补原理推导出了椭圆的逐点比较法的判别函数，并在C++ Builder开发环境下，编制出椭圆的插补计算程序，实现了椭圆的数控加工仿真。

1 椭圆插补的算法

逐点比较法是脉冲增量插补方法的一种，其特点是每经过一个插补周期仅产生一个行程增量，在插补计算过程中不断向各个坐标发出相互协调的进给脉冲，驱动各个坐标的电动机运动。

1.1 偏差判别式的确定

1）若点P正好在椭圆弧上，则：

2）若P在椭圆弧外侧，则：

3）若P在椭圆弧内侧，则：

取加工偏差判别式：

1.2 下一步新的加工偏差函数

当P在椭圆弧外侧或椭圆弧上时Fi,j≥0，需向X轴负方向进给一个脉冲当量，到新的加工点上P（xi+1，yj）；其加工偏差为：

若P在椭圆弧内侧时Fi,j＜0，需向Y轴正方向进给一个脉冲当量；其加工偏差为：

由此可看出，新一点的偏差值可以用前一点的偏差值递推出来，计算简单，可实现高速插补。在椭圆插补过程中，动点坐标的绝对值总是一个增大，另一个减小。如第一象限逆插补时，x减小，y增大。

2 插补前预处理过程

偏差判别公式是基于圆心在原点的基础上推导出的，因此在进行插补前要对输入的数据进行预处理。预处理的工作包括：起点终点的处理，圆心的确定，优劣弧的判断，判别函数的确定等。

2.1 矢量法确定圆心

已知圆弧起点 A（x1，y1），终点 B（x2，y2），半径为R，求圆心坐标（x，y）。

图1 插补程序框图

联立方程组

得到的圆心坐标有两个，圆心的取舍与起点、终点所在的象限、优劣弧有关。

矢量法确定圆心的思想：先任意选定计算出的一个圆心O1，设O1A是圆心到起点的向量，AB是起点到终点的向量，然后把这两个向量做叉乘，若 O1A×AB＞0，则 O1是 A到 B逆圆弧劣弧的圆心，同时也是A到B顺圆弧优弧的圆心；若O1A×AB＜0， 则 O1是 A 到B顺圆弧劣弧的圆心，同时也是A到B逆圆弧优弧的圆心。程序框图如图1右预处理部分。其中，R代表是劣弧，-R代表优弧。

2.2 插补加工的实现

根据以上算法，在C++Builder环境中编写代码实现了椭圆插补。插补程序框图如1所示，输入参数，就可以插补计算，并且可以实现动画效果。

3 结束语

图2 插补仿真图

本文在C++ Builder开发环境下，编制出椭圆的插补计算程序。推导出了椭圆的插补判别公式，可以有效的实现椭圆的逼近，并进行了模拟。在牵扯到圆心坐标的取舍的问题上，本文采取一种矢量法，使简化了计算过程，使计算值有了明确的取舍，使繁琐过程变得简单，简化了计算量，具有较高的使用价值。

[1] 栾芝芸,孙雷,等. 一种新型的插补方法——自动过象限卡诺图最小偏差法[J]. 测控技术,2000,(11)：51-52.

[2] 逄启寿,杨杰,等.数控加工中两种插补原理及对应算法[J].机械工程师,2007,(2)： 121-122.

[3] 李卫京,李文斌.椭圆曲线插补算法研究[J].山西机械,20033,(1)： 18-19.

[4] 朱昊,刘化君,等. 基于VHDL的脉冲增量式多功能插补器的设计与实现[J]. 中国制造业信息化,2007,10,(19)： 38-42.

[5] 赵玉刚,宋现春. 数控技术[M]. 北京： 机械工业出版社,2003.