信用支付条件下变质商品的最优生产-库存模型

闵 杰，陈邦考，俞能福，欧 剑

(安徽建筑工业学院 数理系,合肥 230601)

0 引言

在传统的库存模型中，通常假设零售商一旦收到所订购的物品则立即向供应商付清这些物品的款项。但实际上，一些供应商为提升自己的市场竞争力，愿意提供给零售商一定时期的免息信用时间，即允许零售商延期付款。在信用期结束前，零售商可以通过商品销售以增加收入和获利。近二十年来，延期支付对最优库存策略的影响已引起了许多研究者的关注。

本文发展了一个更为一般的允许滞后支付的库存模型，以弥补已有相关研究的不足。本模型假定物品补货率或者生产速度有限，库存发生时即发生变质。考虑到实际情形，本文以系统的平均利润最大化作为目标函数，验证了模型最优解的存在性和唯一性，给出一个简单的定理帮助确定系统的最优补货或者生产周期。数值算例和参数灵敏度的分析进一步地验证了本文模型的有效性，得到了一些有意义的结论和管理启示。

1 假定与记号

为了便于建立具体的决策模型，首先作以下假定与符号的说明：

(1)系统的订货速度或者生产率为常数P；

(2)库存的物品为具有常数变质率θ的物品，且物品变质后无残值；

(3)不允许缺货；

(4)K表示零售商每次订购物品的固定订货费用或者加工生产物品的准备费用，h表示单位商品单位时间的库存保管费用，c表示单位物品购买费用或者生产成本，s表示单位物品的销售价格，且c≤s；

(5)T为每个订货或者生产周期的长度(决策变量)；Q是每周期的订货量或者生产量；

(6)t1表示每个周期中用于订购或者生产物品的时间长度；

(7)I1(t)表示系统在时间区间(0,t1)内t时刻的库存水平,而I2(t)表示系统在(t1,T)内的库存水平；

(8)单位时间内的需求量为D,D＞0；

(9)M为允许的滞后支付期。允许的滞后支付期未到期时零售商可以免除利息且可以利用所得销售收入赚取一定的利息，而到期后则要支付相应的利息；

(10)TM表示t1恰好等于M时整个周期T的长度(常量),显然有TM＞M；

(11)Ip为单位库存单位时间的支付利息，Ie为单位库存单位时间的收益利息。

(12)Π(T)则表示在T≥0时该库存系统的平均利润。

2 模型建立

基于上面的分析与假定，整个库存系统运行过程如下：首先在每个订货或者生产周期初即t=0时刻，系统开始以常数速度生产物品，直到t1时刻生产停止，这时系统达到最大库存水平；从t=t1开始系统中所库存的物品量由于销售和变质而在T时刻降为零。可见在时间区间(0,t1)内,系统中库存水平的变化归因于生产、需求和变质，所以在此区间内库存水平变化的状态方程为

边界条件为I1(0)=0.

另一方面，在时间区间(t1,T)内系统库存水平的变化只归因于需求和变质，所以在此区间内库存水平变化的状态方程为

边界条件为I2(T)=0.

易求出微分方程(1)和(2)的解分别为

和

因为系统的库存水平是连续变化的，所以有I1(t1)=I2(t1),联立(3)和(4)可得

和

其中

(6)式表明生产区间长度t1是整个周期T的函数。

设t1=M,可得TM的表达式为

显然系统在一个周期内的利润函数由以下几个部分组成：

(1)每周期的生产准备费用或者订货费用为K.

(2)每周期的库存费用为

(3)每周期的购买费用或者生产成本为cQ=cPt1.

(5)每周期在允许的滞后支付期限到期后，零售商为仍未出售的货物的款项而支付的利息，分为以下两种情形：

①当T≤M时

因为订货或者生产周期小于允许固定的滞后支付期，显然此时要付的利息为0.

②当T＞M时

这时因为TM＞M，所以又可分为以下两种情形：

i)当M＜T≤TM时,这表示t1≤M＜T,即允许的滞后支付期到期时系统已经停止生产，所以零售商在时间区间[M,T]内要为仍未出售的货物的款项而支付利息，其值为

(ii)当T＞TM时，这表示M＜t1＜T,即允许的滞后支付期到期时系统还处于生产阶段，所以零售商在时间区间[M,t1]和[t1, T]内要为仍未出售的货物的款项而支付利息，其值为

(6)每周期零售商赚取的销售收入的利息，也可分为以下两种情形：

①当T≤M时

既然t1≤T≤M，从时刻0到时刻M零售商总共所赚取的利息为

②当T＞M时，进一步有

i)当M＜T≤TM时,意味着t1≤M＜T,所以在整个周期内所赚取的利息为：

ii)当T＞TM时，由于允许的滞后支付期到期时系统还处于生产阶段，从时刻0到时刻M零售商可以一边销售一边持续地利用所得收入来赚取利息，其值为

综合以上分析可知零售商单位时间内的平均利润函数可以表示为：

Π (T)={销售收入+赚取利息-订货/生产费用-存储费用-购买成本-支付利息}/T,

由于TM＞M，所以此利润函数可分为以下三种情形

经过化简和计算可得：

和

容易验证Π1(M)=Π2(M)，Π2(TM)=Π3(TM)。

3 模型求解

不妨先分别研究函数Πi(T)(i=1,2,3)在(0,+∞)内的性质。对Π1(T)求一阶导数可得

为讨论方便，设

于是dΠ1(T)/dT和f1(T)有相同的定义域和符号。进一步对f1(T)求导可得

而由(6)式可知t1是T的函数，所以t1关于T的一、二阶导数分别是

由于0＜r＜1,所以d2t1/dT2＞0.对(15)式分析可知df1/dT＜0.这表明f1(T)在(0,+∞)内是严格递减的.

同样地，可以通过对Π2(T)求导来寻找其最优值点。显然

若设

进一步对f2(T)求导可得

若f2(0)＞0，则由介值定理知f2(T)=0,即dΠ2(T)/dT=0在区间(0,+∞)内存在唯一的零点(设为)，且f(T)在区间(0,)内2取正值，而在区间(,+∞)内取负值。这意味着Π2(T)在区间(0,)内严格递增，在区间(,+∞)内严格递减，因此Π2(T)在(0,+∞)内于处取得最大值；但是如果f2(0)≤0，则f2(T)在(0,+∞)内始终非正，因此Π2(T)将在(0,+∞)内保持递减。

同样地，Π3(T)取得最优值的必要条件是dΠ3(T)/dT=0,对Π3(T)求一阶导数可得：

设

于是有

若f3(0)＞0，则f3(T)=0即dΠ3(T)/dT=0在区间(0,+∞)内存在唯一的零点(设为)，且f3(T)在区间(0,)内取正值，而在区间(,+∞)内取负值。这意味着Π3(T)在区间(0,)内严格递增，在区间(，+∞)内严格递减，因此(T)在(0,+∞)内于处取得最大值；但是如果f3(0)≤0，则f3(T)在(0,+∞)内始终非正，因此Π3(T)将在(0,+∞)内递减。

综上所述，可得如下引理：

引理1.

(1)Π1(T)在区间(0,)内严格递增，在区间(,+∞)内严格递减，即Π1(T)在(0,+∞)内于处取得最大值。

(3)若f3(0)＞0，则Π3(T)在区间(0,)内严格递增，在区间(,+∞)内严格递减，即Π3(T)在(0,+∞)内于处取得最大值；否则Π3(T)将在(0,+∞)内递减。

基于引理1可以来寻找Π(T)的最优值点T*。由(14)、(19)和(23)可得

和

为简化表达，不妨设△1=f1(M)=f2(M)，△2=f2(TM)=f3(TM).由于f2(T)在(0,+∞)内递减，所以有△1≥△2。 通过分析，可得下面的定理1来寻找模型的最优解T*.

定理1.

证明：(1)因为f1(T)在(0,M)内f1(T)内严格单调递减，此时f1(0)=K＞0，若△1≤0即f1(M)≤0，所以在(0,M)内存在唯一的零点(设为)，且f1(T)在区间(0,)内取正值，而在区间(,M)内取负值。这意味着Π1(T)在区间(0,)内严格递增，在区间(,M)内严格递减。

而f2(T)在(M,TM)内f2(T)严格单调递减，此时△2＜0即f2(M)≤0，f2(TM)≤0。也就是说f2(T)在区间(M,TM)内取负值，这意味着Π2(T)在区间(M,TM)内严格递减。

又因为f3(T)在(TM,+∞)内f3(T)严格单调递减，此时△2=f3(TM)＜0，即在(TM,+∞)内f3(T)＜0，此时Π3(T)在(TM,+∞)内递减。

(2)、(3)证明类似，从略。

根据定理1，容易求得系统的最优订货或者生产周期T*，从而系统的最优生产区间（每周期的最优生产量或者订货量Q*）也能够根据Q=cp求出。因此，系统的最大平均利润Π(T*)也可根据(9)求出。

5 数值例子

为了说明上面的理论结果，本文用两个实例来分析模型的实际应用。

例1.每次生产准备费用K=200元/次，单位时间的固定需求量D=5000单位/年，库存费用h=10元/单位/年，支付利率IP=0.15元/元/年，获利利率Ie=0.05元/元/年，允许滞后支付期M=0.10年，单位成本价c=10元/单位，单位售价s=12元/单位，变质率?=0.10，单位时间的P=1500单位/年,计算系统的最优生产－库存策略以及最大利润值。

在本例的情况下，对不同的M，K取值可能对系统最优策略造成的影响进行分析，计算结果如表1和表2所示。

表1 M的变化对最优策略的影响

表2 K的变化对最优策略的影响

由表1和表2可以得到如下结论：

（1）随着允许滞后支付期M的增加，系统的T*和以及Π(T*)都在随之增加，这与实际情况是相符合的。当M的值增大时，生产时间增大，即生产（订货量）也会随之增加，这是因为在允许滞后时间变大的情况下，零售商或者生产商有更长的时间用于资金积累，而对于供应商可以达到促销的作用。

例2.假设每次订货或者生产准备费用K=50元/次，单位时间的固定需求量D=1000单位/年，库存费用h=5元/单位/年，单位支付利率Ip=0.1元/元/年，单位获利利率Ie=0.07元/元/年，允许滞后支付期M=0.10年，单位购买或者生产成本c=10元/单位，单位售价s=15元/单位，变质率θ=0.2，单位时间的P=2000单位/年,计算系统的最优生产－库存策略以及最大利润值。

计算得 TM=0.1980年,进而判断 △1=27.2509＞0,△2=-38.6054＜0,据定理1可知，Π(T*)=Π2()，T*=，且T*= 0.1487，由T*计算出=0.0749，由M,T可以直接计算得到此时的生产—库存系统对应的最大平均利润为Π (T*)=4422.0元

进一步对不同的θ值可能对系统最优策略造成的影响进行详析，计算结果如表3所示。

表3 θ的变化对最优策略的影响

由表3可以得到结论如下：当商品变质率θ的值增大时，系统最优策略T*和以及Π(T*)都在随之减小，即系统会减少生产（订购）的产品数量。由以上分析可知，既然变质率的增加会对最优策略造成影响，导致最优利润的减少，所以系统必须尽可能的保证变质率在较低的水平才可能实现利润的最大化。

5 结论

本文研究了变质性物品在允许滞后支付条件下的最优生产—库存模型。和已有研究的主要区别是本模型从以下五个方面推广了传统的EOQ模型：(1)物品的补充速度假设是有限的，(2)物品的零售价格高于物品的购买成本，(3)物品具有常数变质速度，(4)供应链中上游供应商给下游零售商一个固定的滞后支付期，(5)平均利润最大化作为模型的目标函数去寻找最优的订货策略。另外，本文详细地讨论了模型最优解的存在性和唯一性，得到了简单的寻找模型最优订货策略的方法。最后，通过数例说明了模型的应用，通过灵敏度分析得到了一些有益的管理启示。当然，本文中的模型也可以进一步推广到实际的供应链中。

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