一种社会经济系统模糊C划分聚类数的确定方法

贺 勇，钟映竑

（广东工业大学 管理学院，广州 510520）

0 引言

在社会经济系统建模与分析中，需要进行系统分解，即目标系统要划分为若干个子系统。这会面临两个问题：第一，如何划分；第二，划分多少个子系统。这实质上是一个聚类问题，涉及到聚类算法的选取和聚类数的确定。模糊C均值（Fuzzy C-Mean,FCM）聚类算法[1,2]作为无监督数据分类和分析的一个重要工具，已成功地用于模式识别及系统建模等领域。社会经济系统是个边界不明晰的软系统，相对于层次聚类法和快速聚类法等而言，模糊C均值划分更加适合处理此类系统，且可以获得更加丰富的知识。但FCM算法必须事先给定聚类数，在未知情况下，一般通过聚类有效性函数可来确定，而已提出的聚类有效性函数众多，不同的聚类有效性函数往往得到不同的聚类数。聚类有效性函数可分为两类：一类是以Bezdek的vPC[3]和vPE[4]为代表的基于数据集模糊划分的观点；另一类基于数据集的几何结构，以Xie和 Beni的vXB[5]，Fukuyama和 Sugeno的 vFS[6]及Kwon的vk[7]为代表。然而，对于UCI上的标准数据集，没有一个有效性函数能保证都得到正确的分类数。这样，在现实的复杂经济系统中，将目标系统采用模糊C均值划分为若干个子系统时，应当选取哪个有效性函数没有任何根据，其最佳聚类数难以确定。

在现实目标系统中，如果仅仅依靠某个聚类有效性函数来确定聚类数，其结果可能并不理想，应当引入专家经验。可以这么认为，一个好的聚类应该满足：其一，其聚类数合理，符合解决问题的需要，这需要通过专家经验来判断；其二，聚类结果科学、可信，需要通过经典的聚类有效性函数来检验。将专家知识和科学计算结合起来，针对社会经济系统，本文将提出一种模糊软划分聚类数的确定方法，主要步骤是：首先进行数据分析，几何结构上，观察数据集是否可聚；其次，专家根据问题给出聚类数集合；最后，对可供选择的每一个聚类数，采用聚类有效性函数集来评价，满足有效性函数最多的聚类数被认定为最佳聚类数。

1 分类指标的选取

若实际产出为Y，有n个投入要素，则生产函数的一般形式为[8]：

它代表产出与投入要素之间的某种依存关系。为了实现对广东省21个地区的科技进步水平进行软分类，遵循柯布-道格拉斯（C.W.Cobb-D.H.Douglas）[9]：

式中α、β是常数，K,L分别代表资本投入、劳动投入，A代表技术进步水平。从（2）式得到：

式（3）表示一个地区的技术进步与该地区的产出、资本投入、劳动投入具有一定的依存关系。基于这种关系，这里科技进步人均产出、固定资产投入和人力资本来反映，根据2001～2009广东省统计年鉴相关数据进行处理得到人均GDP（单位：万元）、人均固定资产（单位：万元）及人力资本数据（计算方法详见文献10），得到表1。

表1 各地区指标值

2 分类数的确定

对聚类有效性函数的研究可分为两类：一类是基于模糊划分的方法，认为好的聚类对应于数据集是较分明、较明晰的，代表函数如Bezdek提出的分割系数vPC和分割熵vPE；另一类是基于几何结构的方法，认为每个子类应当是紧致的，子类与子类相互间尽可能分离，代表函数有Xie和Beni的vXB，Fukuyama和Sugeno的vFS，Kwon的vK等。上面提到的5个有效性函数如表2所示。在评价聚类结果时，这5个有效性函数并不一定同时达到最优。可以这样认为：多个有效性函数取得最优值的聚类结果为较优的结果，该结果对应的聚类个数为最佳的聚类数。

表2 聚类有效性函数

从图1中，我们可看到21个地区固定资产、人力资本和GDP构成的三维数据散点图，可看出待分析的数据是存在聚类趋势的，具有可聚性[11]。由散点图及实际研究问题的需要，我们将聚类数区间定为c={2,3,4,5,6}。在不同类别下，5个有效性函数值都在时达到最优。由此我们可得出结论：2000～ 2008年期间广东省各地区按科技水平划分的最佳类别数为3类。

3 分类结果及分析

图1 21个地区数据散点图

设定分类数为3，对广东省21个地区按技术进步水平进行软划分，即对三维向量集{(Yt,Kt,Lt)}模糊分类，结果如表3及图2所示。

表3 科技进步水平分类表

图2 分类结果

表4 类中心矢量

可见，分类结果比较好地反映了广东省的经济发展情况。事实上，第一类包含两个广州、深圳两个副省级城市、珠海特区及经济重地佛山，是珠三角的龙头，科技进步水平最高；第二类均为珠三角城市，区位优势突出，经济发展潜力巨大；第三类主要是东西两翼及粤北地区，虽然这些地区之间以及各个地区内部的科技进步有明显差异，但它们都具有农业人口比重大，贫困人口多，科技进步水平整体上偏低。表4列出的是各类的类中心矢量（均为归一化后数据），表5列出的是各个地区属于各类的程度。

表5 隶属度表

从隶属度矩阵（表 5）发现：广州属于第一类的程度是0.9876，而佛山是0.7023，表明虽然它们的科技进步水平可以认为属于同一类，但广州的科技进步水平高于佛山。中山属于第一类及第二类的程度分别0.4031和0.5062，相对比较划归第二类；而江门属于第二类及第三类的程度分别是0.6129和0.3511，相对比较划归第二类，但是属于第一类程度仅为0.0360，说明尽管中山、江门同属第二类，但中山科技水平要比江门高。第三类地区属于第三类的隶属度均超过0.7以上，都划归第三类。可见表3是科技进步的粗分类，而表5正好反映的是每一类中更细致的划分。两个表综合反映了广东省各地区科技进步水平的分类，符合广东省的实际情况。

4 结论

在对社会经济系统进行聚类时，应将专家知识和科学计算相结合。一个好的聚类应不仅符合客观现实，即聚类数合理，而且应尽量满足经典的聚类有效性函数，即聚类结果科学。本文在给定合理可行的聚类数集合的基础上，采用多个聚类有效性函数对对各个聚类数进行优选的方法，以科技进步水平对广东省21个地区进行了划分：首先，确定衡量科技进步水平的数据集；进而对数据集进行分析，判断是否具有聚类趋势；然后采用所提出方法进行聚类，得到了满意的聚类数及聚类结果。研究显示，广东省按科技进步水平应分为3类，分类结果符合实际。

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[10]贺勇，诸克军.基于软计算的生产要素对地区经济影响分析[J].系统管理学报，2009，18（3）.

[11]高新波.模糊聚类分析及其应用[M].西安：西安电子科技大学出版社，2004.