一种新的变步长LMS算法

吕春英，敖 伟，张洪顺

（重庆通信学院，重庆 400035）

0 引言

20世纪90年代初，随着移动通信的发展，阵列信号处理技术被引入移动通信领域，形成了智能天线这一新的研究领域［1］。它结合了自适应天线技术的优点，通过特定准则下的自适应算法，调整各天线阵元的权值、形成波束动态跟踪期望用户、在干扰方向上产生零陷，从而实现智能接收［2］。其核心是智能天线实现的算法，而LMS算法和递推最小二乘（RLS，Recursive Least Square）算法则是自适应滤波两类最基本的算法。LMS算法因其结构简单，稳定性好，一直是自适应滤波算法中经典、有效的算法之一，被广泛应用于自适应控制、雷达、系统辨识及信号处理等领域［3］。但是，固定步长LMS算法在收敛速度与稳态失调之间存在相互矛盾。步长越小，稳态时的失调量就越小，但算法的收敛速度慢；步长越大，收敛速度快，但失调量和稳态误差增大。为解决这一矛盾，人们提出了多种变步长LMS算法，现所给算法也是基于变步长的一种新的LMS自适应算法。

1 LMS算法简介

LMS算法是由Widow和Hoff于20世纪60年代初提出的［4］。其基本思想是通过调整滤波器的自身参数，使滤波器的输出信号与期望响应之间的均方误差最小。

自适应线性滤波器的原理框图如图 1所示［4］。X(n)为天线阵列接收到的信号，是一个时间序列，其元素由一个信号在不同时刻的取样值构成；W(n)为自适应滤波器的加权矢量，由自适应线性滤波器的M个权系数构成；输出响应表示为y(n)，d(n)为参考信号，参考信号与输出响应之差称为误差信号，用e(n)表示。其中：M为滤波器的阶数；

图1 自适应线性滤波原理框

自适应线性滤波器按照误差信号均方值(或平均功率)最小的准则，即：

来自动调整权矢量,E[e2(n)]为自适应滤波器的性能函数，记为ξ。

基本LMS算法的迭代公式为：

µ为步长因子，决定自适应算法的收敛速度，权向量均值收敛时，µ必须满足：

λmax是输入信号自相关矩阵R的最大特征值。在实际应用中，自相关矩阵的最大特征值λmax通常是未知的，因此，采用LMS算法的均方收敛条件，即µ满足不等式［5］

式中，tr[R]是自相关矩阵R的迹。根据矩阵代数知［4］：

由式(8)和式(9)，得：

虽然µ取常数时算法简单，易于实现，但其收敛速度慢，稳态失调系数大。

2 一种新的变步长LMS算法

对步长因子的各种改进算法虽然原理不同，但都遵循同样的调整原则，即在初始收敛阶段或系统参数发生变化时选取较大步长，以便有较快的收敛速度实现对时变系统的跟踪；而在算法收敛后，系统获得的权值矢量已经接近最优权值矢量，需要选取较小的步长，用以减小稳态误差［6］。

现在满足上述步长调整原则的基础上，根据文献［6］和文献［7］的思想，提出一种新的变步长LMS自适应算法。对双曲正割函数做简单函数变换，令y=1-sech(x)，其中sech(x)=2/(ex+e−x)。由于该函数可作无穷阶微分，所以曲线足够平滑，同时，自变量变化很小时，函数值也变化很小。其图形为图2所示。

由图2看出，y所表示的函数是一条过原点的光滑曲线，且在初始阶段y随x的变化缓慢；当x接近0时，由于函数底部平滑，y随x的变化依旧缓慢。文献［6］和文献［7］采用的数学函数均存在自变量与函数值呈线性变化的现象，使稳态误差变大。将x换成e(n)，y换成µ(n)，e(n)是µ(n)的函数，即得新的步长因子 µ(n)=β{1-sech[αe(n)γ]}，0＜µ(n)＜1/λmax。参数β控制步长曲线的取值范围,影响算法的收敛速度,α、γ控制步长曲线在误差接近零时的形状［6］。新算法的迭代公式如下所示：

图2 y=1−sech(x)

图3为α、γ分别取1，β取0.006、0.007、0.008时，µ(n)随e(n)的变化曲线，图3的纵坐标是在10-3数量级上，可以看出µ(n)随β的增大而增大，即增大β可以加快算法的收敛速度，但为了防止发散，β不易过大。图4为γ取1，β取0.007，α取1、2、3时，µ(n)随e(n)的变化曲线。可以发现，µ(n)随α正比增长，但α越大，在误差接近0时，步长的变化就越剧烈，不利于减小稳态误差。图5是α取1，β取0.007，γ取1、2、3时µ(n)随e(n)的变化曲线。如图所示，γ增大，收敛速度加快，在误差接近0时，步长减小且趋于平缓，可以有效减小稳态误差。但经反复实验，γ增大，稳态误差的稳定性降低，算法的计算量增大，所以γ一般取1。图4、图5的纵坐标都是在10-3数量级上。

图3 α、γ固定，β变化时的步长曲线

图4 β、γ固定，α变化时的步长曲线

图5 α、β固定，γ变化时的步长曲线

3 仿真分析

现采用 MATLAB仿真工具对所提算法进行仿真验证。输入单频信号s=sin(0.5πt)，噪声为0均值的高斯白噪声，信噪比为3 dB，输入信号的抽样点数为1 024，滤波器阶数为128，统计访真次数为100次。图6为α取2，β取0.007，γ取1、2、3时算法的收敛曲线。由图可以看出，γ取2、3时，收敛速度加快了，但稳态误差的稳定性不如取1时好。图7为α取2，γ取1，β取0.006、0.007、0.008时算法的收敛曲线。如图所示，β取0.008时算法的收敛速度最快。图8为β取0.008，γ取1，α取1、2、3时算法的收敛曲线。可以看出，α取2和3时收敛速度没有显著变化，取3时略优于取2时。

图6 α、β固定，γ变化时的收敛曲线

经大量实验得出，α，β，γ分别 取3，0.008，1时算法的权值达到最优。图 9即为这里所提变步长因子µ(n)=β{1-sech[αe(n)γ]}，在α取3，β取0.008，γ取1时与固定步长因子µ=0.001时的收敛曲线。由图 9可以看出，这里所提出的变步长LMS自适应滤波算法在收敛速度上远远快于固定步长LMS算法，且收敛后稳态误差失调量较小。

图8 β、γ固定，α变化时的收敛曲线

图9 这里算法与基本LMS算法的比较

4 与其他变步长LMS自适应算法的比较

文献［6］根据步长因子的调整原则，构造过零点、单调平滑的函数作为算法的变步长因子。将双曲正切函数的自变量加绝对值，得到变步长因子文献［7］分析了现有几种 LMS自适应算法存在的缺点，利用反正切函数提出一种新的算法，使步长和误差之间具有更好的非线性函数关系，其变步长因子为图 10为这里算法与上述两种算法在参数因子均取最优值时µ(n)随e(n)变化的函数曲线。

图10 三种算法的步长曲线

如图所示，新算法的函数收敛速度快，误差稳定性好。文献[6]中的函数虽然收敛速度快，但是误差的稳定性差，文献[7]中的算法稳态误差性能较好但收敛速度慢。图11为三种算法的收敛曲线，进一步说明现所提 LMS自适应算法在收敛速度和稳态误差上均优于文献[6]和文献[7]中的LMS算法。

5 结语

根据变步长LMS算法的步长调整原则提出一种新的变步长LMS自适应算法。通过控制步长因子，在加速收敛的同时，使稳态误差趋于平缓，有效控制了稳态误差的失调量。这里还对参数的选择进行了详细分析，在α取3，β取0.008，γ取1时算法权值接近最优。通过与其他算法的比较，进一步说明了该算法的有效性，为智能天线算法的研究提供了新的思路。

图11 三种算法的收敛曲线

[1] CONSTANTINE A B.Antenna Theory:Analysis and Design[M].USA:Wiley Interscience,2005.

[2] 李佳靖,金荣洪,耿军平.CDMA系统中一种快速有效的盲波束形成算法[J].西安电子科技大学学报,2007,34(06):980-985.

[3] 聂聪,吕振肃.一种新的变步长NLMS自适应算法[J].通信技术,2007,40(12):87-89.

[4] 张贤达.现代信号处理[M].北京:清华大学出版社,2002:188-192.

[5] WIDROW B,STEARNS S D.Adaptive signal processing[M].[s.l.]:Prentice-Hall,1985.

[6] 钟慧湘,郑莎莎,冯月萍.基于双曲正切函数的智能天线变步长LMS算法[J].吉林大学学报,2008，46(05):935-939.

[7] 朱斌,马艳.一种新的变步长LMS算法分析[J].计算机仿真,2008,25(09):93-95.