基于协调机制的多学科设计优化框架研究＊

李冬琴 王丽铮 孔令海

（江苏科技大学船舶与海洋工程学院1） 镇江 212003）

（武汉理工大学交通学院2） 武汉 430063） （江苏现代造船技术有限公司3） 镇江 212003）

0 引 言

复杂工程系统的设计过程是一个多学科交叉的系统工程，其设计的高度非线性和强耦合性使优化设计面临着诸多挑战，如计算复杂性、组织复杂性、模型复杂性与信息交换复杂性［1－2］.多学科设计优化（multidisciplinary design optimization，MDO）是解决复杂工程系统设计优化的一种有效方法和工具.在保持学科层或子系统层各自独立优化设计的同时，它能提供一种协同机制协调学科之间的冲突，获取系统的整体最优解，并且利用分布式计算机网络环境进行并行优化设计，从而大大缩短设计周期和降低成本［3－4］.本文通过引入分解和协调策略，构建了基于协调机制的多学科协同优化方法的统一框架.同时在该框架中，引入了基于函数关系矩阵（functional dependency table，FDT）的多学科分解策略和基于参数化近似模型的协调策略.最后进行了减速器的优化设计；根据实例的计算结果，对上述几种多学科设计优化方法进行了定量的比较和研究.

1 基于协调机制的多学科协同优化方法统一框架的构建

本文提出了如图1所示的MDO理论研究主线，即以分解策略、协调策略为基础，通过MDO优化过程实现集成，进而求解复杂设计问题.

图1 MDO求解问题的一般流程

由图1可以确立MDO求解问题的一般流程，包括：（1）系统建模：建立系统模型，确定设计问题的边界与约束以及设计变量、目标与约束函数等；系统建模需对各个学科分别建模，由各个学科模型构成系统模型；（2）分解与协调：对系统模型涉及的设计变量、耦合变量和约束条件进行合理分解，在协调基础上形成MDO模型，系统模型经过分解后形成的MDO模型必须保持解空间的等价性；（3）集成与求解：运用MDO优化过程集成搜索策略求解具体问题，求解过程根据MDO优化过程特点可分布式并行开展；（4）后处理分析：对优化结果进行灵敏度分析、不确定性分析等.

1.1 基于FDT的多学科分解策略

MDO问题的分解策略主要分为两类：（1）按照产品物理边界进行的基于物理特性的分解，如按照产品系统结构进行的层次型分解、非层次型分解以及混合型分解［5］，按照产品设计组织进行的基于物理结构的分解、基于学科领域的分解和基于设计任务的分解以及序贯分解（sequencebased decomposition）；（2）按照产品系统模型数学边界进行的基于数学特性的分解，如基于函数关系矩阵（functional dependency table，FDT）的分解、基于设计结构矩阵（design structure matrix，DSM）的分解和基于网络可靠性的分解以及基于贡献的分解（contribution－based decomposition）等.

本文主要采用了基于函数关系矩阵（FDT）的分解策略.根据数学模型中状态方程包含的设计函数与设计变量间的依赖关系，以矩阵形式构建函数关系表.其分解可利用矩阵变换或图论连通性原理实现［6］，即将耦合关系较强的变量及函数重新组合成子系统（学科）.FDT分解的思想［7］是根据FDT所表达的设计函数与设计变量间的关系，利用对应算法确定某些关键连接变量（包括系统设计变量和耦合状态变量），对设计函数和设计变量分解后组合而成两级系统结构（主问题和子问题）进行求解.

FDT是用于描述设计函数（包括目标函数与约束函数）与设计变量间依赖关系的工具，是以“0”和“l”为元素的真值表.其中，“列”表示设计变量，“行”表示设计函数.若第i个设计函数依赖第j个设计变量，则FDT（i，j）＝1，否则FDT（i，j）＝0.本文算例减速器优化问题的FDT描述如表1及表2所列.

1.2 基于参数化近似模型的协调策略

MDO优化过程通过反复协调各个子系统的优化指导整个系统设计过程，同时保持子问题间的内在耦合关系.本文在数学分析的基础上，引入了基于参数化近似模型的协调策略，并对协同优化方法做出了合理的数学解释.考虑如下一个带参数的优化问题

式中：X为设计变量；P为参数化向量，在某次优化中是确定值.假设对上述问题进行n次优化，不同的参数Pi对应不同的f＊i，即：｛P1，P2，…，Pn｝→｛f＊1，f＊2，…，f＊n｝.这相当于一个从P到f的映射，因此可以将f＊看作是参数P的函数，即：f＊＝f＊（P）.

表1 减速器优化问题的FDT描述

表2 减速器优化问题的FDT分解

根据上述参数化优化问题的概念，可以将协同优化问题中的学科级优化问题看成是一个参数化优化问题，其中的参数 就是系统级分配下来的设计向量期望值.而又是系统级设计向量Xsys的最优解（系统级传递的设计向量期望值），学科级目标函数最优解可以看作是系统级优化问题的设计向量期望值的函数.同时，在协同优化中，系统级优化问题的一致性等式约束条件等于学科级优化问题的目标函数.因此，完全可以建立系统级分配下来的设计向量期望值与系统级优化问题的一致性等式约束条件的近似函数关系，即可以采用一种近似模型来取代系统级优化问题的一致性等式约束条件与设计向量期望值之间的某种函数关系，从而进一步简化二层优化问题.这就是基于近似模型的协同优化方法的本质.根据近似方法的不同，又可以扩展为基于泰勒级数近似、灵敏度近似、响应面近似的协同优化方法.

2 算例及计算特性分析

2.1 算例描述

选取一个常见的工程实例——减速器的优化设计，它是NASA评估MDO方法性能的十个标准算例之一.该减速器的设计模型包括13个设计函数，7个设计变量，设计模型如下［8］.

上式系数中：

以上各式中，变量取值范围为：2.6≤x1≤3.6；0.3≤x2≤1.0；17≤x3≤28；7.3≤x4；x5≤8.3；2.9≤x6≤3.9；5≤x7≤5.5.

在基于近似模型的CO方法中，通过基于函数关系矩阵的分解策略，将减速器优化问题的进行了FDT分解，如表1和表2所列.

根据表3所列的减速器优化FDT分解结果，原优化问题可以分解为如下3个问题：（1）主问题｛x1，x2，x3；g1，g2，g7，g8；f1｝；（2）子问题1｛x4，x6；g3，g5，g9；f2｝；（3）子问题1 ｛x5，x7；g4，g6，g10；f3｝.

由上可知，该MDO优化问题不存在学科耦合状态变量，因此可以确定CO表述时的系统设计变量Z、学科设计变量Xi、学科约束Gi及学科目标Fi分别如下.

把学科目标作为约束，利用CO描述如下.

系统级.

学科1.

学科2.

学科3.

分别采用MDF，IDF，AAO和基于近似模型的CO方法进行计算，系统级与子系统的优化均采用序列二次规划算法（sequential quadratic programming，SQP），初始点均取为（3.5，0.8，20，7.3，7.3，3.5，5.3）.其中，采用基于近似模型的CO方法时，先采用正交拉丁方试验设计方法对系统级设计变量的设计空间进行采样，取9水平81个初始试验点；然后在样本点上进行子系统的优化；随后通过Kriging模型，建立系统级设计变量与学科级最优目标函数之间的近似模型；最后，展开系统级的优化.其优化结果和优化历程分别列于表3和图1.

由表3及图2可知，基于近似模型的CO方法的综合性能结果最优，表明它最适合减速器的优化设计.这比较符合当前多学科优化设计方法的发展潮流与方向.

表3 各MDO方法计算结果对比

图2 各MDO方法迭代过程比较

2.2 算例结果分析

通过上面对于减速器优化设计问题的计算结果比较可以发现：（1）对于初始点位置敏感性来说，这四种多学科设计优化框架均受初始点的位置影响.其中CO受初始值的选取影响最大，而MDF和IDF这两种多学科设计优化框架受初始点影响相对较小；（2）对于多学科设计优化框架复杂度来说，IDF设计框架构建最为简单，CO次之，MDF最为复杂；（3）对于完成优化运算时间来说，采用AAO多学科优化框架的运算时间最短，IDF次之，而CO相对时间最长；（4）对于优化计算结果来说，IDF优化框架的计算结果相对于MDF和AAO优化框架更接近最优值，而CO优化设计框架的计算结果最优.

值得一提的是，通过本文的比较，不能片面地认为基于近似模型的CO方法最好，因为随着工程优化问题的不同，所适合的多学科设计优化方法也将不同，没有绝对意义上最好的多学科设计优化方法.因此，作者建议从以下几个方面来选择多学科设计优化方法：（1）如果优化问题的优化变量较少，学科分析计算量不大，则推荐使用MDF方法；（2）如果系统变量远远多于学科间耦合变量，且为松散耦合情况的设计问题，则推荐采用IDF或AAO方法；（3）如果优化设计问题非线性较强，且学科之间为强耦合的情况，则推荐采用结合近似模型的CO方法.

3 结束语

本文首先讨论了多学科设计优化的3种典型方法：多学科可行方向法（MDF），单学科可行方法（IDF），同时分析和设计方法（AAO）；其次，通过引入基于函数关系矩阵（functional dependency table，FDT）的多学科分解策略和基于参数化近似模型的协调策略，构建了基于协调机制的多学科协同优化方法的统一框架.最后，通过对减速器的优化设计，展开了四种多学科设计优化方法的量化比较.值得一提的是，不同的多学科设计优化方法适合不同的优化问题，工程师应根据自己工程技术经验和对工程优化问题的理解，去选择合适的多学科设计优化方法.

［1］王振国，陈小前，罗文彩.飞行器多学科设计优化理论与应用研究［M］.北京：国防工业出版社，2006.

［2］Sobieszcanski－sobieski J，haftka R T.Multidisciplinary aerospace design optimization：survey of resent development［R］.［S.l.］：AIAA－1996－0711，1996.

［3］陈博鸿.机械产品多学科综合优化设计中的建模、规划及求解策略［D］.武汉：华中科技大学CAD中心，2001.

［4］王振华.复杂工程系统优化设计关键技术［C］／／第二届军工产品多学科设计优化技术研讨会资料.北京：北京航空航天大学，2003.

［5］Wang D，Naterer G F，Wang G G.Boundary search and simplex decomposition method for MDO problems with a convex or convex－like state parameter region［R］.［S.l.］：AIAA－2005－128，2005.

［6］Parashar S，Bloebaum C L.Decision Support Tool for Multidisciplinary Design Optimization（MDO）using Multi－Domain Decomposition［R］.［S.l.］：AIAA－2005－2200，2005.

［7］Papalambros P Y，Michelena N F.Trends and Challenges in System Design Optimization［C］／／Proceedings of the Imitational Workshop on Multidisciplinary Design Optimization.Pretoria：［s.n.］，2000.

［8］Esposito A.，Marinaro M.Approximation of Continuous and Discontinuous Mappings By A Growing Neural RBF－based Algorithm［J］.Neural Networks，2000，6（13）：651－665.