将数学建模思想融入高等数学教学中的研究

□天津科技大学 贾学龙 杨华

将数学建模思想融入高等数学教学中的研究

□天津科技大学 贾学龙 杨华

文章分析了高等数学的教学现状和存在的问题。总结了讲授高等数学的理论与相关数学建模案例相结合的方法以及在渗透建模思想的同时要注意的几个问题。

数学建模；高等数学；教学

当前，数学建模活动在各高校广泛开展，为应用型人才的培养创造了很好的环境和机遇。而在数学建模活动开展的同时，也逐渐暴露出一些问题，其中最主要的问题就是如何把数学建模的思想融入到高等数学教学中去。作者在多年的教学基础上，结合我校的实际情况，就如何在高等数学教学中融入数学建模的思想谈谈自己的一些想法。

一、高等数学和数学建模

目前，我国各高校高等数学教材的知识结构大多数是采用以数学逻辑关系为主线的体系，其核心就是演绎，一环扣一环的演进过程，充分体现了在公理化体系下的逻辑关系。在这种体系下必然导致高等数学的教学多重视理论的系统性和结构的严密性，而忽略了对基本概念、基本定理的物理和几何意义的解释，把微积分与现实世界的联系完全的分离了，微积分的实际应用价值没有能够充分的展示出来，使学生对于高等数学教材中的定义、定理和公式感到很迷茫，往往不能够充分的理解其实际意义。致使在整个学习过程中学生不理解学习数学概念的动机，单一的作业训练是在学生处于一种被动的情况下进行的，没有体现出学生学习的积极性与主动性。而体现在学生身上更多的则是模仿与强迫记忆。造成了学生认为学习高等数学是枯燥无味并且是没用的，从而失去了学习数学的兴趣和信心。

而数学建模是通过数学模型的方式，搜集实际问题的材料和数据，找到问题的关键抓住其内在的规律，运用数学中的定义、定理和公式，把实际问题抽象成数学问题，用数学和计算机的方法把问题解决。最后再把求解后的结果与实际问题相结合，把数学的结果解释成实际问题。然后在不断的修改假设中修改、完善问题，使解决的结果更符合实际问题。因此，数学模型是数学联系客观世界，与现实世界沟通，解决实际问题的重要工具。这就要求我们教师，尤其讲授是高等数学课的教师必须改进以前传统的教学理念，加强与实际问题相结合的方法，把数学中的定义、定理和公式现实化，再加上一些有意义的实际问题，使之通俗易懂，把复杂深奥的理论浅显化，主要强调把数学中的结果说明的更详细，实例更具体。让学生掌握了数学知识的同时还学会如何运用数学，把数学中的知识与实际问题相结合，从而，更快捷有效地解决实际问题。因此，把数学建模的思想融入到高等数学教学中是十分必要的。

二、建模案例与高等数学教学相结合

1.要在首堂课中引入数学模型，拓宽学生视野，激发学生学习兴趣

首堂课是学生认识老师，认识高等数学课程的起点，是点燃学生学习高等数学的第一束火花。有了一个好的开始将对激发学生学习高等数学的兴趣，端正学习的态度以及改变旧的思想观念起到关键性的作用，因此必须上好这一课。首堂课应该介绍数学发展的简史，举例说明数学的广泛应用，进一步阐明高等数学的重要地位和作用。让他们弄清高等数学与初等数学有着本质上的区别。有的放矢地提问一些趣味性较强的问题，激发学生的求知欲。如用公平席位的分配问题，雨中行走是不是走得越快淋雨就越少，商人如何安全渡河等问题，引起学生强烈的好奇心，活跃课堂气氛。用森林救火、血管分支、军备竞赛、红绿灯调节、人口模型等问题激发学生学习高等数学的积极性，开阔视野。从思想上改变学生以往对数学课程的偏见，为今后学好高等数学奠定良好的心理基础。

2.将数学建模思想融入到高等数学的基本概念中

高等数学教学中的基本概念，如极限、连续、导数、微分、积分，在这些概念的教学中，如何将数学建模的思想与其相结合将直接关系影响到学生对该概念的理解程度。比如在介绍导数概念时可以先对学生进行提问，在现实生活中能够找到哪些与变化率相关的实例。通过学生在生活中的一些体验，举出实例。如：股票在某一时间段的涨跌、房价的涨跌、气体的温室效应引起的全球气候变暖、物体的自由落体运动等等，这些都是相对于时间的变化率。从这些实例中提炼出数学模型，从而为总结出导数概念提供具体的实际背景铺垫。

通过这些具体的实例让学生感知客观世界中存在着变化快慢不同的现象，让学生在已有认知结构的基础上建构新知识，从而达到概念的自然形成，这样学生不会感到突兀，并能进一步感受到数学来源于生活，生活中处处蕴含着数学的知识，从而探究得到用平均变化率来刻画这种快慢程度。此时再引入“变速直线运动的物体的瞬时速度”模型，进而引出导数的概念。

3．在高等数学教学中将建模案例与定理应用相结合

在介绍闭区间上连续函数零点定理的时候，可以与“椅子能在不平的地面上放稳吗？”这个建模实例相结合。在极值定理时，可以增加最优化问题，与“磁盘的最大存储量”，“电影院的优化设计”等模型相结合。

如椅子放平稳的问题巧妙的用了一个一元变量表示椅子位置，用的两个函数表示椅子四脚与地面的距离。

刚开始看到这个题目，可能有很多同学不会把它与数学问题联系起来，即使想把它与数学问题结合起来也找不到结合点在哪里。但是通过我们教师的适当引导，把这个问题与函数连续的定理联系在一起，找到他们之间的关系,用数学建模的思想把这个实际问题解决掉。要解决这个问题就要学习连续函数的性质等高等数学的知识。通过这一类的实例分析，让学生在山重水复中看到柳暗花明。学生的数学建模能力和学习高等数学的兴趣都会得到提高。

4．在高等数学课程的每一章的习题课中增加一个案例教学的环节

这样一个课堂教学环节的设计不仅能够调动学生的学习热情，而且有利于培养他们勤于思考的习惯，加强对所学知识的理解。实际问题的选择应该以“简单和短小”为目标，最好是一些典型的实际问题。对这些实际问题的讲解，采用数学建模的思想方法，对实际问题进行分析，引发学生的思考，使其逐步掌握数学建模的思想方法，掌握高等数学概念和理论的来龙去脉，巩固所学知识。例如，在学完最值定理后，可以与“森林救火问题”相结合；讲完微分方程知识后，可以与“传染病模型”和“人口增长模型”相结合；学完积分知识后，可以与“存贮问题”相结合等等。

通过以上的几个具体案例，不但成功的将建模的思想融入高等数学的教学，还运用高等数学中的“变换观点”，培养学生的联想能力，激发学生学习数学的兴趣。通过这些实际问题的研究，可以让学生清楚地知道高等数学在其各自专业里的具体应用，激发他们应用数学知识去分析、解决实际问题的主动性和积极性。把在数学中学到的知识、方法和思想结合他们自己的专业知识以更快更好的解决实际问题，学生可以切身的感受到学数学给他们带来的收获。这与以前的传统的教学模式差别很大，这种教学模式让学生真正的懂得了学习数学的重要性，真正的学会了怎样学数学，怎样用数学。

5．将数学建模案例融入高等数学教材中

为了更好的使数学建模进入高等数学的教学之中，有必要在教材中附以应用数学建模的优秀案例，使教师在上课时有据可循，同时便于学生课下进一步理解吸收。这样不仅使教材具有可读性，更能激发学生阅读教材的兴趣，有助于培养学生应用数学的意识，提高用数学知识解决实际问题的能力。

三、在高等数学的教学中渗透数学建模思想应注意的问题

一要由特殊到一般，由简单到复杂，一步步渗透，要循序渐进，不要急于求成。

二要选择在现实生活中学生们经常接触的实际问题，且是容易接受的、使学生能够产生兴趣的、实用的数学建模内容。

三是在教学中列举数学建模实例，仅仅是学生学习数学建模的方法和思想的初步，因此，在教学中举例要少而精，不要大而泛，从而冲淡高等数学理论知识的学习。

通过以上几点分析，我们认为有必要将数学建模思想融入到高等数学的教学中，使学生充分认识到数学知识不仅仅是学习其他科学的工具，更重要的是学会如何在社会生活以及在经济、军事、政治等领域应用这些工具。同时将数学建模思想融入到高等数学的教学中对调动学生学习高等数学的积极性，培养学生的创新意识，都将会起到非常积极的促进作用。

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