基于插值矩阵技术与二维空间平滑法的近场相干声源识别研究

单颖春，刘耀光，刘献栋，何 田

(北京航空航天大学 交通科学与工程学院，北京 100191)

采用阵列信号处理方法进行声源识别时，如果入射声信号相干，许多传统的自适应阵列将出现声源信号相互抵消的现象［1］，难以实现对声源位置的正确识别。为了解决这一问题，许多学者提出了其他的阵列信号处理算法，其中应用最为广泛的是由 Evans［2］、Shan［3］提出的的空间平滑法，该方法能重建信号协方差矩阵的秩。Chen［4］将一维空间平滑法发展到二维。但是，以上的空间平滑法只适用于阵列是规则矩阵，信号来自于远场的情况。为此，Friedlander［5］结合矩阵插值技术使空间平滑法能用于任意形状阵列，在此基础上Yang［6］对一维近场相干信号的波达方向进行估计，实现了一维近场声信号的识别。

本文应用矩形阵列采集声信号，对二维近场相干声源识别进行了研究首先通过插值矩阵技术把实际阵列接收到的近场信号转换为形式上的远场信号，然后在远场信号的基础上通过二维空间平滑法求出阵列的平滑协方差矩阵，再针对平滑协方差矩阵，使阵列信号输出功率最小，从而获得给定方向向量对应的声信号功率，实现声源的识别。

1 声源信号模型

假设声源平面上有K个点声源，测试平面上用均匀分布的矩形阵列对信号进行采集。阵列为M×N维，各传声器相同且忽略传声器的方向性带来的影响，x，y两方向上传声器的间隔分别为dx，dy。声源与传声器阵列的相对位置见图1。

根据Mailloux［7］的经验公式，当点声源与阵列原点之间的距离r满足r≤2L2/λ时声源属于近场声源，上式中L为阵列的最大尺寸，λ为声源的波长。此时声源的传播规律应按球面波传播进行分析。如r≥2L2/λ则声源属于远场，传播规律可按平面波传播规律进行分析。

当K个声信号从近场入射时，则:

第(m，n)个传声器接收到的信号xmn为:

式中:rk(m，n)是第k个声源到第(m，n)个传声器之间的距离;sk(t)是第k个入射点声源随时间的变化规律;f是声源的频率;c为声波在介质中传播的速度;nmin(t)是各通道中方差为σ2的白噪声，各通道噪声互不相关，由传声器自身和环境噪声引起。

把各传声器接收到的信号表示成向量形式，见公式(2):

式中，

其中，Xn(t)是各传声器接受到的信号，S(t)为声源信号向量;An为近场方向矩阵;ak是第k个声源所对应的方向向量。N(t)是各通道噪声向量。

当K个声信号从远场入射时，传声器接收到的信号表示成向量形式为:

式中:S(t)、N(t)的含义、形式与公式(2)相同。Xf(t)表示声源为远场时传声器接受到的信号，其形式与公式(2)中的Xn(t)相同。

其中，θk，φk分别为第k个声源的方位角和仰角。

2 近场相干声源的定位方法

空间平滑法只能对阵列接受到的远场声信号进行数据处理以实现声源的识别［6］，对于近场下测得的数据必须通过矩阵插值技术，使近场方向矩阵An转化为远场方向矩阵Af。在此基础上再通过二维空间平滑法把相干信号的信号协方差矩阵中非对角线项元素置零，然后估计信号在给定方向下的功率。

2.1 插值矩阵技术

插值矩阵技术［5］的基本思想是将一个矩阵的每一个列向量线性表示另一个矩阵的列向量，一般通过最小二乘法找出两个矩阵之间的插值矩阵(转换矩阵)。假定平面的K个相干点声源集中分布在某一区域内，这一区域如图2所示，声源相对于测试阵列的方位角、仰角的范围分别为:θrange=［θmin，θmax］，φrange=［φmin，φmax］。例如，要确定一辆汽车侧面声源的位置，那么方向角、仰角的范围将由传声器阵列的大小、安装位置，传声器阵列与汽车之间距离，汽车侧面的大小来决定。

为了得到近场信号与远场信号之间的转换矩阵，分别以间隔Δθ，Δφ对方位角和仰角进行划分，如图3所示。

现假定以上区域每一交点上都存在一点声源，则传声器阵列接收到信号为:

式(5)中:

其中:An-virtual表示假定每一交点上存在一声源时的近场方向矩阵，Sk-virtual表示第k个交点上假定的声源，Q为声源区域上交点的总数。

对于同样的信号Svirtual(t)，如果其来自于远场，则传声器阵列接收到的信号为:

其中，Af-virtual为假定远场声源的方向矩阵，Af-virtual=［b1-virtual，b2-virtual，…，bQ-virtual］。

假设存在常矩阵T，使THAn-virtual=Af-virtual，则通过常矩阵T可以使实际信号与阵列间的近场方向矩阵An转化为远场方向矩阵Af。实际上常矩阵T不一定存在，可以根据minTHAn-virtual-Af-virtualF给出常矩阵T的最小二乘解［6］:

其中:F表示矩阵的Frobenius范数。最小二乘法的性能与An-virtual、Af-virtual两矩阵直接相关，矩阵An-virtual和Af-virtual是由角度间隔 Δθ，Δφ、重建区域大小、传声器阵列决定的。Δθ，Δφ由矩阵An-virtual到Af-virtual的精度决定，在 Δθ=Δφ =0.1°时可以得到满意的结果。另外，在传声器阵列参数(位置、个数、形状)已知的情况下，如果重建区域过大，将导致矩阵THAn-virtual、Af-virtual两者误差的平方和较大，这说明THAn-virtual不能很好地近似Af-virtual，可以通过减少重建区域大小来解决此问题［5］。

对式(2)左乘TH，把实际在近场中接收到的信号Xn(t)转换为远场信号Xf(t)，即:

以上步骤为进一步应用空间平滑法去除信号的相关提供了必要的条件。

2.2 二维空间平滑法

二维空间平滑法首先把规则M×N维矩形阵分割成(M-Ms+1)(N-Ns+1)个互相重叠的子矩阵，每个子矩阵的大小为Ms×Ns，如图4所示，然后分别求出每个子矩阵的协方差矩阵后相加求平均，得到二维空间平滑协方差矩阵，为了讨论的简单，本文首先忽略各通道中原有的噪声分量。

图4 二维空间平滑法的矩阵分割Fig.4 Division of array on 2-D spatial smoothing

第(m，n)个子阵列接收到的信号为:

其中，As-f为子阵列(1，1)的方向矩阵:

第(m，n)个子矩阵的协方差矩阵为:

其中，RSS=E［S(t)S(t)H］表示信号的协方差矩阵，当信号互不相关时是一个对角矩阵，当信号相干时是非对角矩阵。

定义阵列的二维空间平滑协方差矩阵为:

其中:

是信号的平滑协方差矩阵。

当子阵列数量足够多时，可以得到以下近似形式:

式中，RSS(i，i)=E［si(t)si(t)H］=为声源si(t)的功率。

2.3 声源信号的功率预测

空间平滑法后得到空间平滑协方差矩阵，在此基础上，根据总功率P=WHW最小以及对应方向向量受约束WHb=1的原则即可求出对应方向向量的信号功率。

［8］，对应方向向量信号的功率为:

实际应用中R-1不存在，可以对(R+I)求逆，I为适当的噪声协方差矩阵。由于实际的近场矩阵已经转换为远场矩阵，因而每一个远场方向向量b对应一个近场方向向量(即对应声源面上的一点)，远场方向向量b在一定方位角与仰角范围内扫描后就能覆盖对应声源平面上一定区域，多次重复使用式(14)即得到这一区域上对应功率分布，进而得出声源的分布。

3 仿真分析

为了验证该方法的正确性，进行以下的仿真:三个入射点声源位于Z0=1的平面上，均为1 000 Hz，且相互之间有固定相差，三个点声源均位于离阵列1 m的XOY平面上，入射方位角、仰角分别为(35°，70°)，(20°，50°)，(60°，50°);对应X、Y坐标分别为(0.3，0.21)，(0.65，0.29)，(0.42，0.62)，阵列为 9 ×9 并且是均布的矩形传声器阵列，传声器间隔在X，Y方向上都为0.15米。

首先，采用传统的延时累加波束形成，识别结果如图5 所示，图5 中(0.65，0.29)，(0.42，0.62)两处的声源没能识别出来。其次，采用本文提出算法，声源区域范围取 θrange=［20°，60°］，φrange=［50°，70°］，Δθ= Δφ =0.1°，识别结果如图6所示，准确地识别出声源位置。

由以上两组算例可以看出，本文提出的算法能在声源相干的环境下正常工作，且在声源识别的精度上比传统的波束形成有较大的提高。影响基于插值矩阵技术与二维空间平滑法相干声源识别方法分辨率的因素包括声源频率、阵列大小等。为了比较该方法与传统波束形成分辨率随声源频率的变化趋势，进行以下仿真:声源频率由200 Hz取到4 000 Hz，分别计算它们的主瓣宽度，这里主瓣宽度表示只存在一个声源时识别结果在-3 dB处曲线的最大直径，声源位于(0.442 3，0.371 1)，计算结果如图7 所示，点划线是传统波束形成主瓣宽度随声源频率的变化曲线，实线是该方法主瓣宽度随声源频率的变化曲线。由图7可以看出，尽管在某些频率上该方法的主瓣宽度比传统波束形成要大，但总的来说，该方法的主瓣宽度还是要比传统波束形成小很多。

图5 传统波束形成识别结果Fig.5 Result based on traditional beamforming

图6 基于插值矩阵技术与二维空间平滑法识别结果Fig.6 Result based on interpolated array technique and two-dimensional spatial smoothing

图7 基于插值矩阵技术与二维空间平滑法声源识别与传统波束形成主瓣宽度随声源频率的变化曲线Fig.7 The curve of main lobe width with frequency based on two methods

最后，基于插值矩阵技术与二维空间平滑法声源识别方法要对方向角θ和仰角φ两个变量进行搜索，搜索八万个方向的时间大约四分钟。近场相干声源通过插值矩阵技术转换为远场相干声源再经过空间平滑法去相关后，如果结合超分辨率波达方向估计会使识别精度进一步提高。

4 结论

本文首先通过插值矩阵技术把实际中接收到的近场数据转换为形式上的远场数据，远场数据是使用二维空间平滑法的必要条件，然后在此基础上通过二维空间平滑法求出阵列的平滑协方差矩阵，去除了信号之间的相关性，再由平滑协方差矩阵求出对应某个方向向量信号的功率。通过算例证明，以上方法能对二维近场相干声源进行有效识别，与传统波束形成法相比可以获得更高的识别精度。在研究过程中，忽略了通道中原有的由传声器自身和环境引起的噪声。

参考文献

［1］ Widrow B，Duvall K M，Gooch R P，et al.Signal cancellation phenomena in adaptive antennas:causes and cures［J］.IEEE transactions on antennas and propagation，1982，30(3):469-478.

［2］Evans J E，Johnson J R，Sun D F.Application of advanced signal processing techniques to angle of arrival estimation in ATC navigation and surveillance system［R］.Technical report582，MIT:Lincoln Laboratory，1982.

［3］ Shan T J，Wax M，Kailath T.On spatial smoothing for estimation of coherent signals［J］.IEEE trans.Acoustics，Speech and Signal processing，1985，33(4):806-811.

［4］ Chen Y M.On spatial smoothing for two-dimensional directionof-arrival estimation of cohernt signals［J］.IEEE transaction on signal processing，1997，45(7):1689-1696.

［5］ Friedlander B，Weiss A J.Direction finding using spatial smoothing with interpolated arrays［J］.IEEE Transactions on Aerospace and electronic systems，1992，28(2):574-587.

［6］ Yang D S，Shi J，Liu B S.Doa estimation for the near-field correlated sources with interpolated array technique［C］.IEEE Conference on industrial electronics and applications，2009，3011-3015.

［7］ Mailloux R J.Phased array antenna handbook［M］.Norwood:Artech House Publishers，2005.

［8］Shan T J，Kailath T.Adaptive beamforming for coherent signals and interference［J］.IEEE Trans.Acoustics，Speech and Signal Processing，1985，33(3):527-536.