有关Tresca、Mises和Mohr-Coulomb三个破坏准则的讨论

陈 鹏

(中国电力工程顾问集团华北电力设计院工程有限公司，北京 100120)

有关Tresca、Mises和Mohr-Coulomb三个破坏准则的讨论

陈 鹏

(中国电力工程顾问集团华北电力设计院工程有限公司，北京 100120)

本文简要的讨论土体的三种最常用破坏准则：Tresca、Mises和Mohr-Coulomb；并从数学角度分析了其应用范围和注意事项。

破坏准则；Tresca；Mises；Mohr-Coulomb。

建(构)筑物的基础破坏，一般有强度破坏和变形破坏两种因素。如果从强度破坏这一原则出发，建(构)筑物基础强度均由土体的抗剪强度所控制，因此抗剪强度是其最重要的计算参数。而土的抗剪强度是指土体抵抗剪切破坏的能力。当土体受到剪力作用后，土中各点将产生剪应力，若某点的剪应力达到其抗剪强度，在剪切面两侧的土体将产生相对位移而发生滑动破坏。随着荷载的继续增加，土体中的剪应力达到抗剪强度的区域(塑性区)越来越大，最后各滑动面连成整体，而产生滑动破坏。因而我们必须弄清在什么情况下土体将破坏，这就要给出一个判别破坏与否的标准，即破坏准则。

土体的破坏与否决定于其受到的应力状态，破坏准则可写成：

式中f *函数在应力空间代表一闭合曲面，即破坏面，若表示应力状态的点落在该破坏面内，则材料不破坏，反之则破坏。但如何确定这一破坏面，也即破坏准则的正确选择与确定，就摆在了我们面前。目前土力学中已经提出了不少的破坏准则，现就Tresca、Mises和Mohr-Coulomb三个破坏准则作一简要的讨论。

1 Tresca破坏准则

Tresca准则是假定材料中最大剪应力达到某一特定值，材料就开始进入塑性状态。假定土体中某一点的三个主应力分量为 σ1>σ2>σ3，该准则可表示为：

由上式可以看出，Tresca准则其实是一个最大剪应力破坏条件。其破坏与中主应力σ2无关，只与最大主应力与最小主应力有关。

从Mohr-Coulomb破坏准则出发有：

从Mohr-Coulomb破坏准则出发，可知其经过数学变型，参数假定，可得出Tresca准则，即Tresca准则是Mohr-Coulomb准则的简化，是Mohr-Coulomb在假定土体内摩擦角φ等于零时的特殊情况。而Mohr-Coulomb准则是Tresca准则更一般的表达式，是考虑材料内摩擦情况下的Tresca准则的提广。在上面的推导过程中，Tresca准则不考虑土体材料内摩擦力。而事实上，土体颗粒之间有内摩擦力效应，而这对土体的稳定是有利的。因而Tresca准则比Mohr-Coulomb准则更趋向于安全。

而从推导过程分析；Tresca准则由于其假定材料内摩擦力为零(φ=0)，因而在岩土工程设计中，其用于一些只有粘聚强度的纯粘性即(φ=0)的金属和岩石，效果会更好。

2 Mises破坏准则

Mises准则比Tresca准则更进一步，考虑了中主应力σ2对破坏的影响。但公式过于复杂且有二次方的存在，为方便分析我们引入材料的形变比能Wd加以分析；

将Mises.准则作一数学变形，并代入形变比能Wd公式有

从上式可以这样理解Mises准则：土体的抗剪强度与材料的形变比能成正比，形变比能越大，抗剪强度越高。而土体是一种塑性非常明显的材料，E，μ都不是一个恒定值，与形变比能的大小和受力状态有关。又从Mises准则表达式原形来看，等式左边正是偏应力张量的第二不变量，它反映了土体在复杂应力状态下受剪应力的程度，这个剪应力我们可以理解为广义剪应力，即广义剪应力达到某一值时材料开始屈服。但结合上面因素综观Mises准则，虽然其比Tresca准则多考虑了中主应力σ2对破坏的影响，但仍没有考虑土体内摩擦角这一事实。

3 Mohr-Coulomb破坏准则

在岩土工程中，土体破坏准则应用最广泛的准则即为该准则。该准则实质上也是一种剪应力屈服条件。它认为当材料某平面上剪应力τn达到一特定值时，材料就进入屈服阶段。但是与Tresca准则不同，这一特定值不是一个常数，而是和该平面上的正应力σn有关。其一般数学表达式为：

当土体在法向应力不大的情况下，取线性关系，其破坏准则的表达式：

若φ值很小，则cosφ≈1。那么等式变为；τ=σntgφ+C

从上可以看出Mohr-Coulomb准则没有考虑中主应力。我们仍可以从上面的推导过程知道库仑公式的适用范围及其需要注意的地方。

在推导的第一步，先假定其为直线关系，而当法向应力很大时，其抗剪强度往往不成线性关系，而成曲线形式。法向应力的增大对抗剪强度是有影响的，而库仑公式没有考虑这一影响。其次在推导过程中假定内摩擦角φ很小，cosφ≈1，这就造成计算值和真值之间有误差。

Mohr-Coulomb准则推得：

而库仑定律： τ2=σntgφ+C

现我们把τ1叫真值， τ2叫计算值，可以看出计算值τ2比真值τ1大。

4 结语

以上三个准则是岩土工程中常用的三个破坏准则，它们有各自的适用范围和局限。Tresca和Mises准则都忽略了土体颗粒间的粘聚力C对屈服的影响。Tresca准则还忽略了中主应力σ2对屈服的影响，因而更适用于纯粘性即(φ=0)的金属和岩石，而对于土体这类材料效果很不理想。Mohr-Coulomb准则比较真实的反映了土体的屈服情况，考虑了内摩擦角、粘聚力等，较接近土体的实际工程性质。

[1]钱家欢，等．土工原理与计算(第二版)[M]．北京：中国水利水电出版社，1996．

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Discusses on Three Kind of Failure Criterions of Tresca、Mises and Mohr-coulomb

CHEN Peng
(North China Power Engineering Co., Ltd., Beijing 100120, China)

This article brie fl y discusses three kind of the most common failure criterions of soil, named Tresca、Mises And Mohr-Coulomb. And analyzes its application scope and the attentions from mathematics.

failure criterion; tresca; mises; mohr-coulomb.

TU4

B

1671-9913(2011)01-0015-03

2010-11-16

陈鹏(1981-)，男，工程师，主要从事电力工程勘测设计工作。