迁移解法再探究 拓广演变提能力

221700 江苏省丰县黄楼初级中学 王庆志

迁移解法再探究 拓广演变提能力

221700 江苏省丰县黄楼初级中学 王庆志

以课本中的典型习题为素材由浅入深，由此及彼地努力探索问题的衍生点，通过变换命题的条件与结论，或通过创设新的问题情境进行“深加工”，类比迁移、延伸拓展，进行创造性的改编可以演变出许多的新问题，通过解题与联想把蕴涵其中的数学思想方法揭示出来，挖掘出隐含的问题的本质属性，对于提高同学们探索创新能力、解题的思维技能有着重要的作用.本文以九年级《数学》(义务教育课程标准实验教科书(江苏科学技术出版社)上册第137页第13题)习题为例阐释如下.

1 原题及解法

题目 如图1，在 Rt△ABC中，∠C=90°，它的内切⊙O 分别与边AB，BC，CA相切于点D，E，F，且 BD=6，AD=4，求⊙O的半径r.

图1

解法1 根据直角三角形的勾股定理构造关于内切圆半径的一元二次方程求解.

连接OE，OF，根据“切线垂直于过切点的半径”可知 OE⊥BC，OF⊥AC，

又∠ACB=90°，所以四边形OECF是矩形，又OE=OF，所以四边形OECF是正方形，

设⊙O的半径为r，则CE=CF=r，

根据“从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等”，

所以 AF=AD=4，BE=BD=6，

在Rt△ABC中由勾股定理得AC2+BC2=AB2，

即(4+r)2+(6+r)2=(4+6)2，

解之得r=2，r=－12(不合题意，舍去)

所以⊙O的半径为2.

解法2 根据直角三角形的面积构造关于内切圆半径的一元二次方程求解.

连接OA，OB，OC将Rt△ABC分成3个三角形，分别为△OAB，△OBC，△OCA它们的高都是内切圆的半径，根据整体等于部分之和(设r为内切圆的半径)可得

解之，得r=2，r=－12(不合题意，舍去)

所以⊙O的半径为2.

2 反思解题过程，探究拓展问题

初中学生的年龄特征及数学认知结构水平，决定了他(她)们往往只热衷于做习题，却不对解题思路进行反思、总结，这样的解题只停留在经验水平上，往往事倍功半.在学生解决每一个数学问题之后，引导学生对解题过程进行自我反思总结，可以触及学生元认知思维水平的需要，提升从感性认识到理性认识的飞跃.学之道在于“悟”，只有通过反思，学生的思维才能真正启动，思想才能得到升华.

从解法2的探究过程中，可以发现其中隐含了一种重要的数学解题思维方法——有些图形的面积可以通过适当的分割，利用整体等于各个部分面积之和(“同一个图形分割后整体的面积等于各个部分之和”)来获得一种行之有效的解决问题的策略.

拓展1 直角三角形是特殊的三角形，又是多边形中最简单的一种图形，任意的三角形都存在唯一的内切圆，但四边形不一定存在内切圆，假若四边形存在一个内切圆上述结论成立吗?对于任意的n边形呢?

例1 阅读材料:如图2，△ABC的周长为 l，内切圆O的半径为 r，连接 OA，OB，OC，△ABC被划分为三个小三角形，用 S△ABC表示△ABC 的面积.

图2

(1)理解与应用:利用公式计算边长分别为5，12，13的三角形内切圆半径;

图3

(2)类比与推理:若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆)如图3，且面积为 S，各边长分别为 a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式;

(3)拓展与延伸:若一个n边形(n为不小于3的整数)存在内切圆，且面积为S，各边长分别为 a1，a2，a3，…，an，合理猜想其内切圆半径公式(不需说明理由).

解析 本题创设了一个以“阅读材料—三角形的面积与内切圆半径及周长之间关系”的问题背景，其中的巧妙之处在于分割后3个三角形的高均为内切圆的半径，因而三角形的面积等于三角形的周长之半与内切圆半径之积.

(1)首先根据三边之间关系判定是直角三角形，即52+122=132由勾股定理的逆定理可知:边长分别为5，12，13 的三角形，所以 S=×5×12=30，设内切圆

△ABC半径为r，则有30=(5+12+13)·r，所以 r=2.

(2)设四边形内切圆的圆心为点O，分别连接OA，OB，OC，OD，将四边形ABCD分割为4个三角形△AOB，△BOC，△COD，△DOA，它们的高视为四边形 ABCD的内切圆半径，则有S=(a+b+c+d)·r，所以 r=

(3)根据阅读材料及问题(2)的解答过程，进行类比推理，不难猜想:面积为 S，各边长分别为 a1，a2，a3，…，an的n边形(n为不小于3的整数)内切圆半径公式

点评 本题提供的是“一个多边形如果存在内切圆，那么这个多边形的面积如何用多边形的周长及内切圆的半径来表示”的研究课题，试题首先从最简单三角形的内切圆入手让学生通过阅读获得问题的解题方法，经历解决问题的过程并掌握得到问题的结论，然后让学生用类比迁移问题的处理方法，去解决四边形内切圆问题，然后从特殊到一般让学生猜想对任意的n边形的内切圆的半径与n边形的面积与各边长之间的关系.通过本题的解答读者应该掌握“学会从‘特殊情况、简单情况’入手，观察分析推理，得出规律后再向‘一般情况’推广的研究问题”的数学方法.

拓展2 例2 已知Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8.

(1)如图4，若半径为r1的⊙O是 Rt△ABC的内切圆，求r1;

图4

(2)如图5，若半径为 r2的两个等圆⊙O1，⊙O2外切，且⊙O1与 AC，AB 相切，⊙O2与 BC，AB 相切，求 r2;

(3)如图6，当n是大于2的正整数时，若半径为rn的n个等圆⊙O1，⊙O2，…，⊙On依次外切，且⊙O1与AC，AB 相切，⊙On与 BC，AB 相切，⊙O2，⊙O3，…，⊙On－1均与AB边相切，求rn.

图5

图6

解 (1)∵ 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8.∴ AB==10.

如 图 7，设 ⊙O1与Rt△ABC的边 AB，BC，CA 分别切于点 D，E，F，连接 O1D，O1E，O1F，AO1，BO1，CO1.于是，O1D⊥AB，O1E⊥BC，O1F⊥AC，

图7

(2)如图8连接AO1，BO2，CO1，CO2，O1O2，则

图8

图9

(3)如图 9，连接 AO1，BOn，CO1，COn，O1On，

∵ 等圆⊙O1，⊙O2，…，⊙On依次外切，且均与 AB边相切，

∴ ⊙O1，⊙O2，…，⊙On均在直线 O1On上，

且 O1On∥AB.

∴ O1On=(n－2)2rn+2rn=2(n－1)rn，

点评 本题是探索相切圆的半径规律型问题，要求同学们善于观察图形，能从最简单情况探究问题的解法中得到启示，从而根据已有的知识经验对复杂图形进行分解计算与探究，找出其中的隐含变化规律，从而迁移问题的解法推广得一般的结论.

拓展3 将直角三角形改换成等腰三角形，并变换问题的情境——放置到平面直角坐标系中研究内切圆圆心的坐标，进而拓广探究其旁切圆圆心坐标

例3 (2009年莆田)(1)如图10，已知，△ABC的周长为 l，面积为 S，其内切圆的圆心为 Q，半径为 r，求证:r=

(2)如图11，△ABC中，A，B，C三点的坐标分别为A(－3，0)，B(3，0)，C(0，4)，若△ABC 的内心为 D，求内心点D的坐标;

(3)与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆，叫旁切圆，圆心叫旁心.请求出条件(2)中的△ABC位于第一象限的旁心的坐标.

图10

图11

解析 (1)见拓展1阅读材料.

(2)解法1 由于点D在y轴上，且⊙D与x轴相切，故点D坐标为(0，r)，因而只需求出⊙D的半径r即可，受(1)的启发可以利用面积作为相等关系列出关于r的方程.

由已知得AB=6，AC=5，所以，

图12

(3)根据旁切圆的定义，分别作∠BAC的平分线及∠BCA的外角的平分线，设它们相交于点P，则点P就是第一象限内旁切圆的圆心.过点P作 PE⊥x轴于点 E，连接BD，BP，设点 P(a，b).

解法1 利用相似三角形性质列出关于a，b的方程组求解即可.

由BD平分∠ABC，BP平分∠ABC的外角，

所以∠PBD=90°.

根据等角的余角相等可知

联立①②解方程组得b=4，a=5故点P的坐标为(5，4).

解法2 可以证明等腰△CAB顶角∠ACB的外角平分线与底边AB平行，即PC∥AB，又点P在射线AD上，所以P可以看作是直线CP与射线AD的交点.由待定系数法可以求得直线AD的解析式为y=x，显然直线CP的解析式为y=4，联立方程组解之，P(5，4).得所以点 的坐标为

点评 本题又见于人教版数学九年级上册第106页练习题2，将△ABC特殊化成为等腰三角形，并将其放置于平面直角坐标系中，换一个视角探究内切圆的圆心的坐标，进而拓展进一步探究旁切圆的圆心坐标，意在考查学生灵活迁移知识解决问题的能力.解决问题的思路入手较宽，关注了不同层次学生的数学学习水平，为张扬学生的个性创设了一个比较人性化的数学环境，整个试题的设计由简单到复杂，梯度合理，在学生思维的最近发展区设计问题，拓展适度，符合学生的认知规律.体现了“承认差异，尊重个性，不同的人在数学上有不同的发展”数学理念.

3 习题资源开发引发思考

3.1 应突出数学思想方法对解题教学的导航

数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含在数学知识的发生、发展和应用的过程中，有待我们从问题的探究和解决过程中去发现和挖掘，进而让学生铭记在心，只有理解上述解法探究中运用了方程(引例解法1、2)、转化(将图形的面积进行分割转化)、类比、特殊到一般等数学思想方法.数学思想方法，才能在解决类似的数学问题时自觉地去应用.

3.2 习题拓展应设计递进型问题，以提升学生探究能力

问题是数学的心脏，问题的解决是数学思维的核心，教学中有意识地将原问题拓展延伸，可以有效地培养学生的问题意识与探究能力.在平时习题的教学过程中应当以学生原有的知识经验作为新知识的生长点，引导学生从原有的知识经验中，生长新的知识经验，使设计的问题永远处于“学生最近发展区”.改编课本习题应当注意与习题体现的数学知识、方法、思维规律的关联性，让解题思路这一不变的“暗线”贯穿始终，当一个问题涉及到相当多的乃至无穷多的情形时，可从问题的简单情形或特殊情况入手，通过简单的情形或特殊情形的观察与探索，从中发现一般规律，或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径或方法.这样从最简单的问题入手通过对数学问题多角度、多层次、多方位的讨论和思考，层层推进，不断揭示问题的本质，引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索出“变”的规律，从而提升学生独立思考和解决问题的能力，激发学生大胆参与，勇于探索的精神.

20110328)