例析二次函数的图象变换

315800 浙江省宁波市北仑区顾国和中学 杨 艳

例析二次函数的图象变换

315800 浙江省宁波市北仑区顾国和中学 杨 艳

图形的平移、轴对称、旋转常见于直线形中，在曲线形——圆中也偶有所见.然而，也有以二次函数图像为背景的图形变换，它的一些性质与直线形的图形变换有许多相通之处.详见下表:

有必要指出，二次函数y=a(x+m)2+k的图象平移、轴对称、旋转时，图象的形状不变，而开口方向要么相同，要么相反，即二次项系数不变，变化的只是它的位置，即关键是顶点(－m，k)位置的改变.对于抛物线的几种变换，可以归结为:一看顶点位置，二看开口方向.

下面例举抛物线的平移、轴对称、旋转问题的求解策略.

1 抛物线的平移

一般地，抛物线的平移有以下规律:

例1 已知抛物线y=x2+2x－3，如何平移此抛物线使其图象与抛物线y=x2－4x+7的图象完全重合.

可知，将抛物线y=x2+2x－3向右平移3个单位，再向上平移7个单位，与抛物线y=x2－4x+7的图象完全重合

.

例2 已知y=2x2的图象是抛物线，若抛物线不动，把x轴，y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是

解析 反其道而行之，即将y=2x2的图象分别向下和向左平移2个单位即可.选B.

2 抛物线的轴对称

我们知道，抛物线y=a(x+m)2+k的顶点坐标为(－m，k)，抛物线在对称过程中仅仅是顶点坐标改变，方向相同或相反.由于点(－m，k)关于x轴的对称点为(－m，－k)，关于 y轴的对称点为(m，k).所以可得，抛物线y=a(x+m)2+k关于x轴对称(开口方向相反)的图象是y=－a(x+m)2－k，关于y轴的对称(开口方向相同)图象是y=a(x－m)2+k.

例3 作抛物线A关于x轴对称的抛物线B，再将抛物线B向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是y=2(x+1)2－1，则抛物线A所对应的函数表达式是

解析 将抛物线C:y=2(x+1)2－1向下平移1个单位，再向右平移2个单位，得抛物线B:y=2(x－1)2－2;再将B关于x轴对称，得抛物线A:y=－2(x－1)2+2.故选 D.

更一般地，抛物线y=a(x+m)2+k关于直线y=e(与x轴平行)对称的抛物线为y=－a(x+m)2+(2ek);抛物线y=a(x+m)2+k关于直线x=f(与y轴平行)对称的抛物线为y=a［(x－(2f+m)］2+k.

3 抛物线的旋转

这里仅讨论抛物线旋转180°的情形.绕某点旋转180°，即关于某点中心对称.已知点(－m，k)关于原点的对称点为(m，－k)，所以抛物线y=a(x+m)2+k绕原点旋转180°后所得的抛物线为y=－a(x－m)2－k.

例4 将抛物线y=x2－2x+3绕原点旋转180°，则所得的抛物线的函数解析式为＿＿.

解析 将抛物线y=x2－2x+3化为y=(x－1)2+2，其顶点坐标为(1，2).顶点(1，2)绕原点旋转 180°后为(－1，－2)，所以，旋转后的抛物线为y= －(x+1)2－2.

实际上，抛物线的旋转中心不仅限于坐标原点，而具有更一般的规律.(－m，k)关于点(e，f)的中心对称点是(2e+m，2f－ k).所以 y=a(x+m)2+k关于点(e，f)的中心对称的抛物线为y=－a［x－(2e+m)］2+(2fk).具体如y=(x－1)2+2关于点(2，3)中心对称所得的抛物线为y=－(x－3)2+4.

图1

例5 已知二次函数y=ax2+4ax+4a－1的图象是C1.

(1)求 C1关于点 R(1，0)中心对称的图象C2的函数解析式;

(2)设曲线 C1，C2与 y轴的交点分别为 A，B，当，求a的值.

解析 由y=a(x+2)2－1，可知抛物线C1的顶点为M(－2，－1).

由M(－2，－1)关于点 R(1，0)中心对称的点为N(4，1)，以 N(4，1)为顶点，与抛物线 C1关于点 R(1，0)中心对称的图象C2也是抛物线，且C1与C2的开口方向相反，故抛物线C2的函数解析式为y=－a(x－4)2+1，即y= －ax2+8ax－16a+1.

综上可见，抛物线的图象变换遵循一般直线形的变换规律，而又有其自身的特点.只有深入理解直线形图形变换的规律和性质，才能在分析抛物线的图象变换时做到有效迁移，求解问题时有的放矢，左右逢源，真正地做到具体情况具体分析，举一隅而三反.

20110311)