基于PASCO系统的混沌摆实验

韩晓茹，傅筱莹，彭可鑫，向 勇，陈建育，金 立

（浙江理工大学 理学院，浙江 杭州310018）

1 引 言

混沌现象亦称“蝴蝶效应”［1－3］，这种现象普遍存在于物理学、化学、电子学、生物学和社会学等科学领域．近年来许多学者通过非线性电路对混沌行为进行了广泛地研究，其中最典型的是由美国Berkeley大学的Leon O Chua提出的蔡氏电路 （Chua’s circuit），它是能产生混沌行为的最小、最简单的三阶自治电路［4］．但是，采用力学装置呈现混沌现象的实践在国内外都相对少见［5］．如果借助原理浅显、结构简单的实验装置来呈现混沌的特性，可以使学生较好地理解和掌握混沌知识［6］．本文主要完成了基于PASCO系统的混沌摆实验仪的研制，利用PASCO系统高性能的传感器采集信号，在计算机科学工作室软件DataStudio上进行实验，呈现了混沌的基本特征，并对该过程实现了Matlab数值模拟．

2 实验原理与方法

2．1 PASCO系统简介

PASCO系统是采用传感器和数据采集接口，利用电脑进行控制和数据采集的物理实验系统，主要包括3部分：

1）传感器．现有传感器60余种．

2）数据采集接口．将传感器的数据通过科学工作室输入计算机，最高采样频率为250 k Hz．

3）数据采集软件．包括240个预设的物理实验，可进行多种实验数据的显示形式和处理功能．

2．2 实验仪构建

所需仪器主要由下面几部分组成：PASCO系统750接口、0～30 V直流稳压电源、圆盘、机械震荡驱动器、转动传感器、偏心铜圆柱、120 cm长钢杆（2根）、45 cm 长钢杆（1根）、底座（1个）、细线和弹簧．电源用于输出驱动电压，万用表可测量对应电压的实际值．该装置实物图见图1．

图1 PASCO系统混沌摆实验仪实物图

使用DataStudio程序：启动科学工作室，选择转动传感器并连接到模拟通道A，选择转动传感器并连接到数字通道1和2．利用转动传感器来记录驱动力的角频率和铝盘的旋转角频率．选取平滑函数“Smooth（n，x）”，设置图表中的横坐标为角度（rad），纵坐标为角速度（rad／s）．

通过电机的驱动使曲柄连杆做周期性圆周运动引起圆盘在外力的作用下做混沌摆运动，转动传感器记录它的运动并传输到计算机进行处理，描绘出图像．

2．3 实验原理

混沌摆的动力学方程［7］为

其中磁阻尼系数为μ，弹簧的劲度系数为k，θ表示转轮的转角；ΔL0是初始位置时弹簧伸长，Lc0和Lc分别为初始时刻和t时刻外部策动振幅，

式中φ0为初始相角，ω为策动力角速度，Ac为策动振幅，La和Lb表示外部策动力与转轮的距离．为方便讨论动力学性质，式（1）可改写为如下的标准一阶微分方程形式：

式中转轮的内外半径分别为r，R，质量为M，转轮圆盘的转动惯量I＝MR2／2，Ic为偏心铜圆柱的转动惯量，ΔL＝Lc－Lc0＋ΔL0，Ac，ω和θ的初始值作为系统的可调节参量．为简单起见，对系统动力学性质没有影响的弹簧初始伸长和外部策动力的初相位分别取ΔL0＝0，φ0＝11π／18．

当无外部策动力（ΔL＝0）和磁阻尼系数（μ＝0）时，该装置构成保守动力学系统．式（4）简化为

系统没有出现混沌时，系统对初始值不敏感．

当有外部策动力和阻尼存在时，该系统成为耗散动力学体系，表现出许多复杂的动力学性质，这些性质依赖于驱动振幅Ac、振动频率ω和转动初始角θ等可调节实验参量．具备了产生混沌现象的基本条件［8］：方程右侧至少有1个非线性项；至少有3个变量．

为方便理解混沌现象，对上述动力学方程应用Matlab作了数值模拟，定义pi表示圆周率π．当无外部策动力（ΔL＝0）时，系统在不同的初始角度θ＝pi／6，pi／4，pi／2下的数值模拟图像如图2所示．由图可知，当系统没有出现混沌时，系统对初始值不敏感．外部策动力条件下，不同条件下的系统相图如图3所示．同理，在实验中通过改变参量出现的双周期、三周期、多周期这些特殊的图像通过数值模拟也能实现，如图4所示．

图2 无外部策动力时的系统相图

图3 有外部策动力时的系统相图

图4 不同条件下的特殊相图

从数值模拟结果发现，系统动力学性质依赖于驱动振幅Ac和振动频率ω．对于一个非线性系统，依次改变系统的参量，可以出现从无序向有序的转变，有序程度不断增加的转变，最后出现混沌现象．

3 PASCO系统混沌状态测试

已测参量：转轮外半径R＝0．048 m，内半径r＝0．024 m，质量M＝0．118 2 kg，偏心铜圆柱质量m＝0．014 5 kg，L＝0．048 m，弹簧劲度系数k1＝k2＝2．4 N·m－1，La＝0．05 m，Lb＝0．16 m．

从混沌摆的相轨迹（PASCO仪器上呈现的相图）很容易判断是否为混沌运动，为方便比较混沌现象，特定几个特殊的初始相位，即φ0．

3．1 无驱动情况

改变摆角初始值，为θ＝0°，20°，40°．实验结果如图5所示．从相位图表现可知在无驱动时混沌摆作振幅衰减运动，当系统没有出现混沌时，系统对初始值不敏感．

图5 无驱动状态混沌现象

3．2 有源驱动情况

3．2．1 固定驱动电压

驱动一定（V＝5．2 V）的情况下，改变摆角初始值分别为θ＝100°，135°，150°．实验结果如图6所示．相位图表现为混沌现象，并且各个初值对应的相位图差异很大．比较图6发现系统从双吸引子逐渐向单吸引子改变，当系统出现混沌时，系统对初始值很敏感．

图6 固定驱动状态混沌现象

3．2．2 可变驱动电压

逐渐增大驱动电压，从而增加驱动频率下得到如图7所示的相位变化图．从实验结果可知，在一定范围内当混沌摆的驱动电压越大时驱动频率越大，系统的运动越趋于复杂．当驱动电压较小时，如1周期、2周期所示结果都是周期运动的相图．当驱动电压达到一定时就出现了混沌现象，如单吸引子与双吸引子所示结果就是混沌现象的相图．

图7 可变驱动状态混沌现象

由单吸引子与双吸引子现象可知，当驱动频率达到一定值时系统从周期运动逐渐出现混沌现象．当角度初始值稍微改变时系统的运动情况却变化很大，可以出现混沌运动，也可以出现周期运动，这就是混沌系统的初值敏感性的基本特征．

观察奇异吸引子相图，当相图存在吸引子现象时，吸引子首先由外向内绕若干圈，转到圆心附近时将随机跳跃，继续向内绕若干圈后再突然跳回原来的循环．对应于混沌摆的实际运动，则是铜圆柱时而做周期运动时而角度超过360°，有时可以一直不停旋转多圈，然后再作周期运动．尽管无法预料轨迹将在何时从一边跳到另一边，但是相轨道总不会超出边界，也绝不会自相重复．

通过上述实验的手段，依次改变PASCO混沌摆系统的参量，系统由稳定有序逐渐失稳，开始分岔，系统由有序到无序．同时可以出现从无序向有序的转变，随着有序程度不断地增加，最后会观察到混沌现象，从而可得出结论：混沌是一种确定的系统中出现的貌似不规则的有序运动．

4 结束语

基于PASCO系统设计了受周期外力驱动的混沌摆，采用转动传感器采集数据，并用Matlab进行了数值模拟．基于PASCO系统开发传统实验，其实验内容融合了激光技术、传感器技术、信息存储和光电技术应用［9－10］等，可以培养学生的实验能力、分析与研究能力，提高创新能力，并使学生在自主学习和训练过程中可以检验自己的能力，展示个性才华，使综合实验能力得到提高．

［1］ Mccauley J L．Nonlinear dynamics and chaos theory［M］．Stockholm：Royal Swedish Academy of Sciences Press，1991：52－85．

［2］ 梁勇，温吉华．将混沌引入大学物理教学的探讨［J］．滁州学院学报，2005，7（4）：99－101．

［3］ 郝柏林．从抛物线谈起——混沌动力学引论［M］．上海：上海科技教育出版社，1993：5－18．

［4］ Chua L O，Wu Chaiwah，Huang Anshan，et al．A universal circuit for studying and generating chaos——part II：Strange attractors［J］．IEEE Transactions on Circurts and Systems，1993，40（10）：745－761．

［5］ 李明，于艳春，李冠成，等．混沌理论及现象实验仪的研制［J］．实验技术与管理，2005，22（1）：59－64．

［6］ 程敏熙，曾碧芬，刘惠娜，等．周期性外力驱动的混沌摆［J］．物理实验，2009，29（1）：7－13．

［7］ 朱桂萍，王健．混沌摆系统的动力学分析和数值模拟［J］．扬州大学学报（自然科学版），2008，11（3）：27－30．

［8］ 陈士华，陆君安．混沌动力学初步［M］．武汉：武汉水力水电学院出版社，1998：137－154．

［9］ 朱海平．PASCO实验在物理教学中的应用［J］．丽水学院学报，2007，29（2）：89－91．

［10］ 彭东青，刘志高，黄宏纬．基于PASCO系统的物质折射率测量［J］．物理实验，2008，28（2）：33－35．