含持续预载的旋转弹簧振动系统键合图建模与仿真

唐进元，陈海锋

(中南大学 现代复杂装备设计与极端制造教育部重点实验室;中南大学 机电工程学院，长沙 410083)

含持续预载的旋转弹簧振动系统键合图建模与仿真

唐进元，陈海锋

(中南大学 现代复杂装备设计与极端制造教育部重点实验室;中南大学 机电工程学院，长沙 410083)

针对键合图难以表达的弹簧初始载荷的添加和保持问题，以含持续预载的旋转弹簧振动系统为研究对象，用两个容性元件描述含持续预载的弹簧，根据振动系统的拉格朗日方程，建立整个系统的键合图模型，采用20－sim仿真软件对含有持续预载和不含持续预载的模型分别进行仿真，研究其对质量块振动特性的影响，为验证键合图模型的正确性，运用ADAMS软件对系统进行动力学仿真，两种软件仿真结果进行对比，验证含持续预载的旋转弹簧振动系统键合图模型的正确性。

持续预载;弹簧;键合图理论;动力学仿真;20－sim

键合图是研究振动系统的有效工具，采用图形化建模，物理意义直观，振动系统中的质量块、弹簧以及阻尼、无论具有线性还是非线性特性，都可以用键合图中的惯性、容性和阻性元件予以相应的描述［1］。与传统的振动微分方程相比，键合图方法可以方便、灵活的建立系统的状态方程和传递函数，能在复域、时域中进行动态特性的数字仿真，也可以进行静力学特性的数字仿真，不需要采用微分方程的转换和降阶处理［2］。与ADAMS等动力学仿真方法相比，键合图方法不需要建立系统的虚拟样机模型，尤其对于复杂机械系统，键合图方法采用模块化建模方式，可以将复杂机械系统分解为多个简单的子系统，分别进行建模，另外键合图特有的多能域系统统一建模的能力可以使振动模型和其它诸如机械、电子及控制部分很方便地连接起来形成全系统模型。但是，键合图中的容性元件只能对弹簧的刚度进行描述［3－4］，而对含有持续预载的弹簧目前还没有研究，含有持续预载的弹簧其主要特征在于，弹簧的初始载荷只有在特定条件下才开始改变，该类弹簧可作为速度感应器［5］，用于测试系统是否超速，运用键合图方法建立其模型的难点在于初始载荷的添加和保持。因弹簧具有储存能量的特性，广泛应用于机械和电子行业中，是振动系统中最常用的元件之一，因此，对含有持续预载的弹簧键合图建模研究对振动系统具有重要的理论意义和工程价值。

本文以旋转的弹簧振动系统为载体，研究含持续预载的弹簧振动系统键合图建模方法，以拉格朗日方法建立旋转的弹簧振动系统的微分方程，结合振动系统的原理图和弹簧的建模方法，建立系统的键合图模型，并基于20－sim对模型进行仿真，研究弹簧的持续预载对质量块振动特性的影响，并与ADAMS的仿真结果进行对比，验证键合图模型的正确性。

1 建立旋转的弹簧振动系统键合图模型

1.1 旋转的弹簧振动系统数学模型

图1为旋转的弹簧振动系统示意图，质量块通过弹簧和阻尼器连接在圆盘中心O上(圆盘只画出1/4)，并用滑轨限制质量块只能沿圆盘直径方向滑动，圆盘绕中心O以角速度ω沿顺时针方向旋转，在角速度较小时，弹簧保持初始载荷不变，即持续预载，质量块保持静止，当角速度增大到一定后，离心力与质量块在法向的分力之和大于弹簧初始载荷，使质量块开始运动，弹簧力与变形符合胡克定律。设弹簧的刚度系数为k，阻尼系数为μ，质量块质心至圆盘中心的距离r，质量块的重量为m，圆盘的质量为M，圆盘的转动惯量为I，弹簧的初始长度为l，质量块在法线方向的速度为vr，切线方向的速度为 vθ。

图1 旋转的弹簧振动系统Fig.1 Rotating vibration system of spring

振动系统的自由度为2，选取摆角θ和质量块到圆盘中心的距离r为广义坐标，系统的动能为:

将主动力为有势力和广义耗散力的拉格朗日方程写成如下形式［6］:

把方程(1)～(3)代入方程(4)可得到两个微分方程:

1.2 建立系统的键合图模型

根据图1所示的旋转的振动系统示意图及方程(5)－(7)可建立系统的键合图模型，但是当弹簧含有持续预载时，很难直接采用容性元件描述弹簧，因此，在建立系统的键合图模型之前，首先对含持续预载的弹簧进行研究，建立弹簧的键合图模型。

1.2.1 含持续预载的弹簧建模方法

在有预载时，设弹簧的刚度系数为k，预载长度为Δx，当 Δx为正时，表示弹簧受压，当 Δx为负时，表示弹簧受拉，则在任意时刻的弹簧力可表示为:

此外，为了保持弹簧的预载，质量块与支撑面之间存在接触变形，根据Hertz接触理论，考虑接触面积为圆形时为［7］

由式(9)可得弹簧端面与支撑面接触法向力P和变形δ关系为:

综上所述，在考虑弹簧的预载时，必须用两个容性元件来描述弹簧，如图2所示。

图2中，容性元件c1用来描述弹簧的刚度特性，容度系数为1/k，信号流表示弹簧的预载长度，c2表示弹簧端面与支撑面的接触特性，在变形小于零时，容度系数为1/K，在20－sim仿真软件中，定义容性元件c1、c2的参数方程为:

图2 弹簧的键合图模型Fig.2 Bond graph model of spring

因c2的容度参数为不连续函数，可以在键合图仿真软件中采用计算机高级语言的语句对方程进行定义。

1.2.2 振动系统的键合图模型

为了更加直观的表达旋转振动系统的键合图模型，根据方程(5)～(7)将质量块的速度分解为切向和法向两个部分，弹簧力、阻尼力主要作用在法向方法，外部输入主要作用在切向方向，并用调制回转器MGY描述切向速度与法向速度的联系，系统的键合图模型如图3所示。

图3 振动系统的键合图模型Fig.3 Bond graph model of vibration system

在图3中，阻尼元件R表示阻尼，各调制变换器的激励信号均与方程(5)、(6)相对应，并用法向速度vr的积分作为切向速度vθ与输入ω之间的调制信号。

2 仿真研究

2.1 基于20-sim的仿真分析

设圆盘从静止开始运动，加速度为9.8 m/s2，当转速达到20 r/s时，反向运动，加速度为9.8 m/s2，圆盘的角速度曲线如图4所示，设置各元件的参数如表1所示，设置仿真时间为3 s，选择backward differentiation formula求解器，绝对误差取1×10－7，相对误差取1×10－7，初始步长取默认步长0.1，对模型进行求解，为了研究弹簧预载和接触对仿真结果的影响，对键合图模型进行了三次仿真实验，第一次仿真考虑了弹簧预载和接触，第2次仿真考虑了弹簧的预载，没有考虑接触，分别得到弹簧力的变化曲线和质量块在法线方向的位移曲线，为了更好的研究预载和接触对系统的影响，将仿真曲线进行对比研究。

表1 主要元件的仿真参数Tab.1 Main components of the simulation parameters

由图5、图6可知，在2 s前，持续预载对弹簧力和质量块的运动特性影响较大，在2 s后，影响较小。在第1次仿真中，当离心力、重力分力和阻尼力之和小于弹簧的初始预载时，质量块保证静止，弹簧保持预载不变，当圆盘速度逐渐增大，使离心力、重力分力和阻尼力之和大于弹簧的初始载荷时，使质量块运动，弹簧力与变形符合胡克定律，因此，在2 s后，两次仿真的曲线基本重合，在第2次仿真试验中，由于没有考虑预载的持续性，因此，在仿真开始后，质量块在初始预载的作用下做近似简谐振动，因为阻尼器的存在，弹簧振幅逐渐减小，随着圆盘速度的逐渐增大，质量块的离心力逐渐增大，因此，弹簧力逐渐增大，并在圆盘转速达到最大时，弹簧力达到极值，之后圆盘反向加速，速度逐渐减小至零后继续加速，在此过程中，因离心力较小，质量块在弹簧力、阻尼力、重力分力和离心力的共同作用下做近似简谐振动，当圆盘角速度足够大时，质量块的离心力、重力分力和阻尼力之和大于弹簧的初始载荷，运动规律与第1次仿真基本重合。

2.2 基于ADAMS仿真分析

为了进一步验证振动系统键合图模型的正确性，采用目前国际上使用最广泛的机械系统动态模拟软件ADAMS(Automatic Dynamic Analysis of Mechanical Systems)对含持续预载的旋转弹簧振动系统进行动力学仿真分析。运用pro/e构造出系统的三维模型，导入ADAMS/View中，设置各构件的材料属性，并根据系统的运动特征添加约束和驱动，弹簧刚度、接触刚度和阻尼系数等主要参数均与20－sim中的设置一致，设置仿真时间为3 s，仿真步长为5 000，对系统进行动力学仿真，在后处理模块中得到弹簧力的变化曲线和质量块在法线方向的位移曲线，为了相互验证两种仿真方法的准确性，将ADAMS的仿真与20－sim的仿真结果进行对比，如图7、图8所示。

2.3 数据分析

由图7、图8可知，20－sim的第一次仿真曲线与ADAMS的仿真曲线趋势基本一致，为了进一步定量的对滑块的运动过程进行分析，并验证ADAMS仿真与键合图理论计算结果的精确性，分别将滑块位移和弹簧力的波峰值导出，如表2、表3所示，对数值进行对比分析，得到各对应数值点之间的误差值如表4所示。

表2ADAMS仿真结果Tab.2 Simulation results by ADAMS

表3 20－sim仿真结果Tab.3 Simulation results by 20-SIM

表4 误差值Tab.4 Error

由表4可知，两种软件分别对系统进行仿真分析，时间的最大误差为6.12%，弹簧力的最大误差为4.23%，质量块法向位移的最大误差为7.69%，且最大误差主要集中在质量块刚开始运动阶段，随着时间的推移，误差逐渐减小。产生误差的原因主要是两种软件对接触的定义不同，在ADAMS中，将碰撞过程中的接触力等效成一个弹簧阻尼模型［8］，接触力的计算公式为:

式中K为刚度系数，D为阻尼系数，式(12)所描述的接触力模型可用于整个接触过程中，等效弹簧阻尼方法的关键是选择合理接触力模型，通过建立接触力的模型，就可以求解接触碰撞问题，ADAMS软件中提供了一种用step函数表示的黏性阻尼模型，其阻尼系数的计算公式如下:

其中:C为最大阻尼系数，用于表征接触能量损失;d是使阻尼达到最大值时的侵入深度;step函数为阶跃函数。在软件中，用impact函数来实现该模型，impact函数模型的计算公式为:

由式(15)可知，ADAMS中定义的接触与接触物体之间的相对运动速度有关，是一种动接触，而在键合图理论中，本文用hertz接触理论定义了质量块与支撑面之间的接触力，其作用主要是保持预载不变，是一种静接触。同时，由于ADAMS中的接触力包含阻尼项，其体现出的总的接触力要比20－sim中的小，使质量块在法线方向的平衡更早的被打破，因此，ADAMS仿真结果中的质量块要比20－sim早0.11 s开始运动，此外，由于接触力变小，离心力、质量块法线方向的合力将对弹簧产生更大的变形，因此，ADAMS中的弹簧力与质量块位移要大于20－sim的仿真结果。

3 结论

(1)根据持续预载弹簧的特性，结合键合图理论的建模方法，用两个容性元件来描述含持续预载的弹簧，给出了两个容性元件的键合图模型。

(2)建立了含持续预载的旋转弹簧振动系统的键合图模型，并基于20－sim软件和ADAMS研究了持续预载对质量块振动特性的影响。

(3)基于20－sim软件和ADAMS软件仿真对比，证明提出的持续预载弹簧键合图模型的正确性。

(4)持续预载弹簧键合图建模丰富了机构动力学键合图建模方法，对类似的机构键合图建模及动态分析有参考价值。

［1］任锦堂。键图仿真理论及应用［M］.上海:上海交通大学出版社，1992.

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［6］许庆余.分析力学［M］.北京:高等教育出版社，1992.6.

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［8］安雪斌，潘尚峰.多体系统动力学仿真中的接触碰撞模型分析［J］.计算机仿真，2008，25(10):98 －101.

Modeling and simulation for bond graph of a vibrating system containing a rotating and sustainably pre-loading spring

TANG Jin-yuan，CHEN Hai-feng

(Key Laboratory of Modern Complex Equipment Design and Extreme Manufacturing of Ministry of Education，School of Mechanical and Electrical Engineering，Central South University，Changsha 410083，China)

Aiming at the problem of adding and keeping pre-loading of spring which was difficult to express with bond graph，a vibrating system containing a rotating and sustainably pre-loading spring was selected as a subject to be studied.The sustainably pre-loading spring model was deseribed by using two 1-port capacitors and the bond graph model of the vibrating system was established based on Lagrange equations.In order to study the influence of the sustainably preloading spring on dynamic characteristics of the mass，the advanced software 20-sim was used to simulate the dynamic behavior of the model.Finally，the results were compared with those using ADAMS to check the bond graph model and verity its credibility.

sustainably pre-loading;spring;bond graph;dynamic simulation;20-sim software

TH113.1

A

国家自然科学基金资助项目(50875263);中南大学研究生学位创新论文(2009ssxt053)

2010－01－20 修改稿收到日期:2010－03－18

唐进元 男，教授，1962年生