非等距高差序列GM(1，1)模型在索塔监测数据处理中的应用

孙太山，刘成龙，高淑照

(西南交通大学，成都 610031)

非等距高差序列GM(1，1)模型在索塔监测数据处理中的应用

孙太山，刘成龙，高淑照

(西南交通大学，成都 610031)

GM(1，1)模型用于贫数据建模问题，但是传统的GM(1，1)模型是基于等距时间序列，对于数据量少且是非等距非时间序列建模问题就成为一个难题。为了探索在实际工程中应用非等距非时间序列的GM(1，1)模型的可行性，本文以鄂东大桥索塔监测数据处理为实例，提出非等距高差序列的GM(1，1)模型，并进行了模型精度分析。

非等距高差序列 GM(1，1)模型 索塔监测 模型精度分析

湖北鄂东长江公路大桥主梁中跨梁段采用悬臂拼装施工。大桥索塔为“凤翎”式结构，根据主梁吊装过程中索塔变形监测的需要，将监测棱镜设置于索塔上高程分别为177 m，199 m，219 m，235 m和250 m处。在每个监测高程面的上下游塔柱各安装一个棱镜，以便监测索塔的扭转及整体位移，这就需要在中跨挂梁前确定各个监测棱镜的坐标作为裸塔初始坐标，以便挂梁后再监测棱镜坐标并与初始坐标比对，从而得到塔偏的结果。但是，由于实际施工的复杂性，在挂梁前并没有得到南塔全部的裸塔初始坐标，为了监测的需要，试图根据不同高程面两工况观测得到的坐标差值序列来推算部分棱镜的未知裸塔坐标。

影响塔上棱镜坐标变化的因素有很多，如温度的高低、太阳照射的角度、岸侧和江侧上下游各自索力的方向与大小、悬臂的长度、容许范围内偶然误差的干扰，以及监测棱镜所在的高程面等等，因此监测棱镜的坐标变化是这些因素综合作用的结果。由于这些因素影响机制的不确定性，决定了由不同高程面组成的两期坐标差序列的灰色性，可以尝试采用灰色预测模型来推算监测棱镜的裸塔坐标，以此解决部分监测棱镜裸塔坐标未知的问题。传统的灰色预测模型是基于某一变量的等距时间序列，而此处的两期坐标差序列是由不同高程面上的坐标差组成的序列，这就需要建立非等距高差序列的灰色预测模型。

1 非等距高差序列的GM(1，1)模型

设不同高程面两工况间原始坐标差序列(以下简称原始序列)为

其中ΔX(0)(k)为某一高程面两工况间坐标差，对原始序列作一次累加生成，以下简称1-AGO(Accumulated Generating Operation，AGO)［1］。设ΔX(1)(k)为1－AGO值，则

即得到1-AGO序列为

对序列ΔX(1)列单变量微分方程

式中，a为发展系数，反映模型增长趋势;u为灰作用量，反映数据变化关系［2］。

建立非等距高差序列的GM(1，1)模型，关键有三点:①针对非等距高差序列建模，实现从传统等距时间序列到非等距高差序列过程中模型的改化，从而解算出方程(4)中的参数a，u;②既然是基于非等距高差序列，那么所建立的模型就应该可以模拟或预测出任意高程面上所需要的值，即建立任意高程面响应函数;③进行模型精度分析，以此验证模型精度是否满足要求，若满足要求，则可以应用此模型进行预测工作。

1.1 解算参数a，u

ΔX(1)(1)留作解算微分方程的特解，将ΔX(1)(2)，ΔX(1)(3)，…，ΔX(1)(n)分别代入上述微分方程中，由于是非等高差间距取样，所以ΔHk=Hk+1－Hk(k=1，2，…，n－1)，故单变量微分方程(4)可改写为

对式(5)整理并写成向量形式

根据斜拉桥施工经验，当新梁第二次张拉后，塔身不同高程面受梁段荷载的影响是不同的，即不同高程面的塔偏是不同的。塔偏规律为:随着高度增加，塔偏移量增加，即不同高程面对灰色模型背景值的贡献是不一样的，所以背景值不宜采用等权平滑值，而宜采用以高程面为权的加权平滑值确定。由此可得

1.2 建立任意高程面响应函数

在上面的论述中，已经将参数a和u求解出来，下一步就可以根据一阶线性微分方程的解算方法来求解方程(5)，即可建立任意高程面响应函数。

一阶线性微分方程(5)的通解为

由公式(11)可以得到1-AGO的模拟序列，设该模拟序列为ΔX^(1)，则

对1-AGO的模拟序列进行一次累减生成(1-IAGO)(InverseAccumulatedGeneratingOperation，AGO)，可以得到原始序列的模拟序列，设原始序列的模拟序列为Δ，则

1.3 模型精度分析

灰色系统模型精度分析主要有三种方法，即残差大小检验、关联度检验和后验差检验三种［3］，通常采用后验差检验方法，本文亦采用此方法。

由上述GM(1，1)模型可得残差序列为

计算后验差比值C=S2/S1以及小误差概率P= {|e(k)|}<0.674 5 S1，由此可以根据C和P的取值来确定模型的精度等级。模型精度等级判别式为模型精度等级=max{P所在的级别，C所在的级别}。模型精度等级划分如表1所示。

表1 模型精度等级划分标准［4］

2 算例分析

2.1 建立模型

鄂东大桥南塔上游两工况下的塔偏监测数据如表2所示。

表2 鄂东大桥南塔两工况下的上游塔偏监测数据

由于施工的复杂性，在裸塔工况下无法得到高程为250 m处监测棱镜的裸塔坐标，而在吊装F1梁后可以观测此高程面的监测棱镜，并可以得出F1梁段第二次张拉后的X坐标。现试图从两次工况得到的其他高程面的坐标差来推算上游250 m高程面的坐标差，从而间接计算出上游250 m高程面监测棱镜的裸塔坐标。首先，确定原始序列并得到1-AGO序列，如表3所示。

表3 原始序列及1-AGO序列

按照上文推导的公式(7)可以得到

根据公式(8)得到参数估值为

将得到的估值和作为初始值的高程面177 m处的坐标差16.3 mm，带入到公式(11)中得到如下任意高程面响应函数

根据该高程面响应函数可以得到1-AGO模拟值和1-IAGO序列，如表4所示。

表41 -AGO模拟值序列和1-IAGO序列及预测情况

根据公式(14)可以得到误差序列为

可以根据公式(15)，(16)，计算原始序列及残差序列的方差和后验差比值C=S2/S1、小误差概率P，计算结果见表5。

表5 模型精度计算

按照表1判断模型精度的标准，上述模型精度等级为1级，精度满足要求。

2.2 预测

建立灰色模型的目的是预测，当模型精度符合要求时就可以进行预测工作。通过上文论证，非等距高差序列的GM(1，1)模型的精度符合要求，可以进行预测工作。

根据高程面响应函数式(17)，当k=n+1时即可得出预测值，此时Hk=250 m，得到预测值31.2 mm，如表4。

至此，根据预测出来的高程面为250 m处监测棱镜的两工况坐标差以及已知的其中一个工况的坐标值，就可以计算出另一工况的坐标值，如表6。

表6 鄂东大桥南塔上游塔偏坐标推算结果

根据表6可以看出，已知裸塔坐标与预测裸塔坐标较差较小，说明模型精度满足要求。因此，应用本文所述的非等距高差序列的GM(1，1)模型推算出的高程面为250 m处监测棱镜裸塔X坐标6 981.358 6是可信的。

3 主要结论

1)通过本文的论述，证明非等距高差序列的GM (1，1)模型在实际工程应用中是可行的，模型精度符合要求，可以应用此模型进行相关内插或是预测。当斜拉桥或悬索桥的塔偏监测遇到同类问题时，可以应用本文模型推算裸塔坐标，或是根据任意两个工况来推算任意高程面监测点的未知坐标。

2)对于实际问题，GM(1，1)模型不仅可以是基于时间序列或是高差序列，还可以是基于其他应用领域的某个因子，关键是推算其数学模型，并进行相关精度分析。当模型精度满足要求时，即可以为相关领域的建模、内插或预测服务。

［1］高淑照.灰色系统理论及在混凝土桥梁施工挠度变形监测中的应用［D］.成都:西南交通大学，2002.

［2］杨喜中，白莉.非等时距加权灰色预测模型及其在形变预报中的应用［J］.城市勘测，1996(1):20-23.

［3］梁新美，胡友健，陈刚.灰色加权模型在深基坑变形预测中的应用［J］.工程地球物理学报，2008，5(5):624-627.

［4］黄声享，尹晖，蒋征.变形监测数据处理［M］.武汉:武汉大学出版社，2003.

U448.27

B

1003-1995(2011)02-0033-03

2010-08-27;

2010-11-12

孙太山(1984—)，男，吉林省通化市人，硕士研究生。

(责任审编 赵其文)