一类具有反馈控制和时滞的离散系统的持久性

吕其宝 高彩琳 王秀娟

（天津大学 理学院，天津 300072）

一类具有反馈控制和时滞的离散系统的持久性

吕其宝 高彩琳 王秀娟

（天津大学 理学院，天津 300072）

研究了一类具有反馈控制和时滞的离散渔业捕获系统的持久性，利用比较原理得到了系统持久存在的充分条件.

持久性；反馈系统；时滞；比较原理

0 引言

考虑下面在渔业中广泛应用的微分方程［1－4］：

其中N（t）为生物种群的数量，L（t，N）为种群的单位增长率，M（t，N）为种群的单位死亡率，F（t）为人均捕获量.

其中r＞0，控制种群密度依赖的快慢，a，K，b∈C（［0，∞），［0，∞）），他们利用研究了（2）的持久性和全局吸引的周期解的存在性.Wang［6］利用重合度理论得到了（2）存在全局吸引的周期解的一些充分条件.

近几年，许多学者对离散系统进行了大量的研究，相对于连续的系统而言，离散系统在很多情况下更接近实际情况，而且在数值计算方面也能为连续模型提供有效的数值模型，例如［7－9］.

Zhang，Li和 Ye［10］研究了（2）具有自反馈控制的离散模型

他们得到了系统持久稳定和存在概周期解的的充分条件.然而在现实世界中，种群的数量不仅与当代有关，而且与前代甚至前几代都有很大的关系，鉴于此，本文研究与（3）相应地出现时滞的情况.

考虑系统

对于每一个有界序列｛f（n）｝，我们定义

1 相关引理

我们首先考虑下面的微分方程

其中a（n），b（n），K（n）为定义在Z上实的有界序列，am＞0，bm＞0，K m＞0.

引理1 如果N（n）是（5）满足初始条件N（n）＞0的非负解，满足am＞b M，则存在一个正数，使得

引理1的证明过程和文献［10］中的Proposition3.1相似，在这里我们就不再证明了.

接下来考虑另一个微分方程

其中γ（n），ω（n）为定义在Z上实的有界序列，0＜γm≤γM＜1，ωm≥0.

引理2［9］如果N（n）是（5）满足初始条件N（n）＞0的非负解，有

2 持久性

命题1 假设（H1）和（H2）成立，并且满足（H3）：am＞b M，那么对（4）的任意解有：

这是矛盾的，由此可得命题2成立.

定理1 假设（H1），（H2）和（H3）成立，则系统（4）是持久的.

证明 由引理2和命题2可知

综上命题1和命题2我们可知，定理1成立.

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［2］Gopalsamy K.Stability and oscillations in delay differential equations of population dynamics［J］.Kluwer Academic Publishers，1992

［3］Mark Kot.Elements of mathematical ecology［M］.Cambridge：Cambridge University Press，2001

［4］Yang Kuang.Delay differential equations with applications in population dynamics［M］.San Diego：Academic Press，1993

［5］Berenzansky L，Idels L.Stability and existence of a time-varying fishing model with delay ［J］.Applied Mathematics Letters 2008，21：447-52

［6］Wang Xiaoping.Stability and existence of periodic solutions for a time-varying fishing model with delay［J］.Nonlinear Analysis：Real World Applications，2010，11：3 309-3 315

［7］Chen Fengde.Permanence of a single species discrete model with feedback control and delay［J］.Applied Mathematics Letters，2007，20：729-733

［8］Chen Fengde.Permanence of a discrete N-species cooperation system with delays and feedback controls［J］.Applied Mathematics Computation 2007，186：23-29

［9］Xu Jiaobo，Teng Zhizhong.Permanence for a nonautonomous discrete single-species system with delays and feedback control［J］.Applied Mathematics Letters，2010，23：949-954

［10］Zhang Tianwei，Li Yongkun，Ye Yuan.Persistence and almost periodic solutions for a discrete fishing model with feedback control［J］.Commun Nonlinear Sci Numer Simulat，2011，16：1 564-1 573

Permanence of a Discrete System with Feedback Control and Delays

Lv Qibao Gao Cailing Wang Xiujuan
（College of Science，Tianjin University，Tianjin 300072，China）

The permanence of a discrete fishing system with feedback control and delays was investigated.By using comparison principle，sufficient conditions for ensuring the permanence of the system are obtained.

permanence；feedback；time delay；comparison principle

王映苗】

1672-2027（2011）03-0001-04

O175.1

A

2011-03-08

国家自然科学基金（11071185，10771159）.

吕其宝（1986-），男，山东滨州人，天津大学理学院在读硕士研究生，主要从事动力系统研究.