殷中伟, 孙文祥
(河北民族师范学院 物理系,河北 承德 067000)
质点在转动参照系的运动分析
殷中伟, 孙文祥
(河北民族师范学院 物理系,河北 承德 067000)
转动参照系是非惯性系,研究质点在转动坐标系中做相对运动时的绝对速度和相对速度以及绝对加速度和相对加速度的关系。分析转动坐标系中质点运动的动力学特征,将其理论应用于地球自转,对重力的变化和地球上物体的运动情况进行力学解释。
转动坐标系;加速度;速度;惯性力;地球自转
引言:人们生活的地球本身就在不停的自转中,而在其上运动的任何物体均可看作在转动参照系内的运动,本文分析质点相对转动坐标系做机械运动所满足的运动学规律和动力学特征及其惯性力对地球上运动物体的影响。
取一个转动坐标系S(o-xyz)绕任意通过原点的轴线相对另一个固定坐标系以角速度ω转动,为了问题简化,设两坐标系原点重合。运动质点P相对转动坐标系S的运动叫做相对运动,它相对固定坐标系S′的运动叫做绝对运动。
设在t时刻质点P相对转动坐标系S的位置矢量r=xi+yj+zk
其中i,j,k为固定在转动坐标系S(o-xyz)上三个坐标轴的单位矢量。因i,j,k随S系一起以角速度ω转动,因此有
在固定系S′上的观察者看到P质点的绝对速度v为
式中vr是保持i,j,k固定不变时的相对速度,ve是由于转动所产生牵连速度。
在固定坐标系S′上的观察者看到P质点的绝对加速度a为
式中ar是保持i,j,k固定不变时的相对加速度,ae是由于转动所产生牵连加速度,ac是由于转动与相对运动相互影响而产生的加速度,叫做科里奥利加速度。
可见转动坐标系是非惯性系。
设一力F作用在质量为m质点上,在固定系S′上的观察者得到的是满足牛顿运动定律的表达式F=ma
在转动系S上的观察者所看到的是加速度
引入惯性力,设Fe=-mae,Fc=-mac
则mar=F+Fe+Fc
该式从形式上使牛顿运动定律可以应用在转动系S上。
其中牵连惯性力 Fe=-mae=-m{ω×r+ω×(ω×r)}由两部分组成:-mω×r是由转动坐标系作变角速转动引起;-mω×(ω×r)=-mω (ω·r)+mω2r是转动坐标系转动引起的虚拟的力,mω2r又称为惯性离心力。
科里奥利力Fc=-mac=-2mω×vr是由于在转动坐标系中的相对运动与转动坐标系的牵连运动二者共同作用而产生的虚拟的力。
由于地球公转的角速度很小,这里在只考虑在地球自转影响下,讨论在地球上运动物体的运动特征。设地球是半径R、质量均匀分布的球体,绕其南北轴自转角速度ω是匀速的。
如图所示,SN是地轴,自转角速度为ω(ω=7.3×10-5弧度/秒);质量为 m 的质点P在北半球纬度λ处的地球表面上相对地球以速度v运动。i,j,k表示建立在地球表面的运动坐标系Pxyz的坐标轴的单位矢量,z轴通过地心。
质点所受的力分别是:
地球的引力mg0,与k方向相反,指向地心。
惯性离心力 Fe,由于 ω=0,所以 Fe=-mω×(ω×r),其大小是mω2RCOSλ,方向为垂直转动轴的离轴方向。
科里奥利力Fc,
地面支持力N,方向由上述几个力来确定。
如当质点在地面上静止时,地面对质点的支持力大小N=mg。
质点的实际重力只有在两极处才等于引力mg0,在λ处的P点上,由于引力和惯性离心力的共同作用,会使重力减小,且方向一般也不再指向地心,分析如下。
设实际重力偏离角度为α,如左图。
其分量为
解方程组可近似得到
式中 Rω2=3.387厘米/秒2,取两极处的重力加速度 g0=983厘米/秒2。由此可见,实际重力与引力偏离角度很小,可以忽略不计,重力的大小随纬度增加而增大。
设质点受外力 F, 在地面上以速度 v=x˙i+y˙j+z˙k运动,由于科里奥利力对质点的作用力,可得到其运动微分方程的分量式
科里奥利力与物体运动方向垂直,不改变物体运动的速率。如将科里奥利力分解成垂直方向和水平方向的两个分力,则垂直分力使运动物体的重力略有改变(增加或减少),水平分力使物体运动方向发生变化,在地质学上将科里奥利力的水平分力称做地转偏向力。在我们所生活的北半球上sinλ>0,所受到的科里奥利力总是指向质点运动的右侧,正是由于在科里奥利力的淘蚀作用下,我国的河流右岸更加陡峭。也必须看到,地转偏向力不是对所有物体的运动都有同等的重要意义,在讨论某些物体运动时,因为地转偏向力比其他的作用力小得多,可以忽略不计。但在讨论大范围运动时,它是个很重要的作用力,必须加以考虑。若忽略惯性离心力和风向的影响,科里奥利力对高空落体的作用,会使落体向东发生偏移。落体偏东的数值以赤道最大,向两极减小至零。总的说来,数值都很小。例如在纬度λ=40°的地方,在离地面200米高处自由下落的物体,偏东的数值约为4.75厘米,加上其它因素(如风)的干扰,难于察觉。
地球上高、中、低纬度的三圈大气环流、洋流系统的形成、气旋与反气旋的旋转,大河两岸的不对称,都同科里奥利力的作用有关,它们既是地球自转的后果,也是地球自转的证据。随着科学技术的进步和发展,我们现在已经知道,地球自转速度并不均匀。
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O19
A
1005-1554(2011)02-0004-02
2011-01-11
殷中伟(1958-),男,河北承德市人,河北民族师范学院物理系副教授。