地面运动的平均周期对单自由度和多自由度体系的非弹性动力反应的影响

M.Kumar J.M.Castro P.J.Stafford A.Y.Elghazouli

地面运动的平均周期对单自由度和多自由度体系的非弹性动力反应的影响

M.Kumar J.M.Castro P.J.Stafford A.Y.Elghazouli

主要研究地面运动的频率成分在非弹性需求下对单自由度（SDF）和多自由度（MDF）钢架结构的作用。通过对文献进行详细的审查，识别出最能代表地面运动频率成分的指标。选择地面运动的平均周期（Tm）是由于它能区别各种不同地面运动的频谱形态及其与震级、距离和场地特征的关系。首先使用一组128次地面运动的记录根据Tm对单自由度体系在特定延性水平时的非弹性位移要求进行研究。然后通过采用相同的地面运动资料做增量动力分析，把研究扩展到多自由度系统，评价Tm对各种工程需求参数的影响。得到的结果表明，对于单自由度体系，当弹性周期（Te）与Tm的比值低于1时，位移将增大。对于多自由度体系，结果证明了高阶振型对于基底剪力的影响和当Tm接近结构的高阶振型周期时，对最大层间侧移的影响变得更加显著。对单自由度体系和多自由度体系，在非弹性水平较高时这些观测更为明显。研究结果对于欧洲抗震设计法是尤为重要的。

地震反应 框架弯矩 非线性分析 欧洲规范8

引言

在给定地震情景下结构的预期反应是基于抗震性能化设计的主要焦点。其首要任务是研究满足位移和强度达到合理精确水平要求的结构体系。这就使得提高结构和地震荷载特点对结构体系性能影响的认识成为必然。

为了满足基于抗震性能化设计目的需要，已经进行过很多研究，使用了大量的地面运动数据来研究结构的性能和地面运动特性对单自由度体系的非弹性位移的影响。结构性能对单自由度体系的非弹性性能的影响已得到合理的了解（Miranda，2000；Chopra and Chintanapakdee，2004；Dwairi et al，2007）。然而，一些学者作出了远场地面运动的震级、距离和场地级别对非弹性位移比率没有明显影响的结论（Miranda，2000；Chopra and Chintanapakdee，2004）。Dwairi等（2007）提到，单自由度体系的非弹性反应基于的是根据大量记录数据的非线性分析所得的平均结果，并预告当这些结果用于独立的记录时将会产生显著误差。

相反，在工程应用中，记录的选择和调整在现阶段的发展表明，通过选择频谱形态与特定地震危险情况最一致的记录，能将可靠预测结构体系非弹性反应所要求的记录数减至最小（Baker and Cornell，2006；Luco and Bazzuro，2007； Hancock et al，2008）。这一发展保证了对在频谱形状表现为不同频率的地面运动影响下单自由度体系和多自由度体系的非弹性反应进行再评估的正确。

尽管频谱形状提供了地面运动频率方面的综合信息，但是能提供识别频率成分的可靠标记并且与影响频谱形状的其他参数（震级、距离和场地特征）有关的单一参数证明是更加有效，尤其是对于研制简单的设计模型。本文的研究有两个目标：第一研究根据文献综述选择的合适频率成分指标对单自由度和多自由度体系非弹性反应的影响；第二探索这一指标对非弹性反应估计改进的重要性，尤其是欧洲规范8中的框架结构（CEN，2004）。

本文从现有频率指标的详细总结以及这些指标在预测结构非弹性反应的应用开始。然后，介绍对传统上采用的研究单自由度和多自由度体系非弹性反应的方法所作的评论。随后将所选择的频率成分指标应用于典型的单自由度和多自由度体系的非弹性反应研究。

1 研究现状

1.1 频率成分指标

这一节介绍检查中出现的9个频率成分指标。检查分为两部分：第一部分包括过去用于研究结构反应的5个指标；第二部分介绍最近提出的至今还没有用于单自由度体系或者多自由度体系反应研究的可用指标。

通常已经用于结构反应研究的5个指标为：（i）特征能量周期（Tce），（ii）卓越速率周期（Tg），（iii）特征周期（Tc），（iv）卓越能量周期（Tes）和（v）长周期（Tlp）。Tce被定义为代表理想化双线性能量反应谱的两条直线交会处的周期（Akiyama，1980），Shimazaki和Sozen（1984）用其来检验从能量角度考虑的结构非弹性反应。作者基于地面运动的Tce和结构的基本周期Te的比率提出一种估计结构非弹性反应的表示法。Miranda（1991，1993）提出Tg（在其研究中指的是卓越周期）是最大输入能量的5%的阻尼线性体系所有周期的最大值，能通过线弹性速率反应谱来计算该周期，可被定义为相对最大速度出现时的周期。研究表明，比率Te/Tg对建在软土层上结构的强度缩减系数影响很大。这一概念已经体现在针对软土质条件的FEMA－356规定中（Building Seismic Safety Council，2000）。此外，该参数已经广泛应用于研究建在软土上的单自由度体系的非弹性反应，探讨已知延性需求的刚度退化对横向强度需求（Miranda and Ruiz－Garcia，2002）以及已知横向强度和刚度时结构非弹性位移需求的影响（Ruiz－Garcia and Miranda，2006）。Vidic等（1994）强调了Tc（在他们的研究中的T1）对非弹性频谱的影响。此外他们还指出，对于研究调查的不同记录组这一参数是变化的。Uang和Ahmed（1994）使用一组8个地面运动研究Tc对4个多自由度结构的位移（挠度）放大因素的影响。Tc通过把加速度反应谱理想化为双线性曲线来计算，并被定义为两直线交会的周期。Cuesta和Aschheim（2001）把用脉冲R因子得到的非弹性反应谱估计与从其他同时期相关因素得出的结果进行了比较。他们看到，估计值的精度受地面运动的特征周期和软土层的状态所影响。Chopra和Chintanapakdee（2001）研究了单自由度体系在远场和近场记录频谱区中的非弹性反应。他们论证了非弹性反应取决于Tc，并推荐0.42和0.79分别作为远场和近场地面运动的Tc的值。这一参数也在许多设计规范中被采用，例如欧洲规范8（CEN，2004）用于确定规范频谱。Hutchinson等（2002）用Tes、Tlp和Tc研究了结构非弹性反应和地面运动周期之间的相关关系。Tes定义为与输入能量谱最高值相对应的周期；Tlp是对应长周期范围的优势谱，而Tc的定义如前所述。

还有其他几种可用的频率成分指标，但是还没有应用于推测结构反应。根据对发生在活动板块边缘20个地震的306次地面运动记录的分析，Rathje等（1998）提出了3个频率成分指标，即平均周期（Tm）、卓越周期（Tp）和平滑频谱卓越周期（To）。Tm代表特定频率范围内傅里叶振幅谱周期的平均值，其中权重是根据傅里叶振幅进行分配，可通过下面的公式计算：

式中，Ci是傅里叶振幅系数，相当于从0.25～20Hz间离散的傅里叶快速变换频率得到的频率fi，Δf是傅里叶快速变换计算中使用的频率间隔。Tp定义为阻尼比率为5%时计算的与最大加速度谱相对应的周期。To采用5%阻尼加速度谱，并用取决于频谱相关强度的权重对周期进行平均。只有大于峰值地面加速度1.2倍的频谱纵坐标在To中才会考虑。Rathje等（2004）随后提出了另一种频率成分指标——平均频谱周期（Tavg）。这一周期类似于To，因为它使用了5%阻尼加速度谱，但这一周期是在特定频率范围内的平均值。根据4.9～7.6级44次地震的845个记录，提出了Tm、To和Tavg之间的关系，其函数项涉及震级、震源距、场地条件和破裂方向性。Rathje等（2004）对提出的4个参数进行了详细的研究，最后断定由于Tp预测有很大的不确定性所以不推荐作为预测指标。这些作者推荐使用Tm，因为这一参数是从傅里叶快速变换中得到的，而傅里叶快速变换直接表达了加速度时程内的振幅。此外他们证明，这一指标是稳定的并能够可靠地进行预测。最近，Bommer等（2006）提出用优势间隔周期（Tn）作为频率成分的量度。这一参数有效地简化了To。它计算了第一周期和最后周期之间的运算差，其加速度谱的预定阈值被超过。需要注意的是，在严格意义上这一参数并不是周期，最好解释为频带宽度。

除了上面提及的频率成分指标外，也可用其他间接的方式表示记录中频谱的形状。Baker和Cornell（2005）提出的ε值就是选择记录最常用的参数之一。这一参数被定义为标准偏差的数目，用它可观察到对数谱加速度不同于地面运动衰减模型的对数频谱加速度。这一参数在选择与特定的地震危险情景相吻合的加速度图时特别有用。然而，它对于估计特定延性要求的反应方面可能没有效果。ε值能够区别因记录换算到与Sa（T1）的相容值而引起的非弹性反应之间的区别，但是当对记录进行换算以得到特别要求等级时ε值是无益的［此时的Sa（T1）值都是不同的］。

对文献的调研揭示，频率成分指标一般用于研究单自由度体系的结构反应，在多自由度体系中的应用一直非常有限。还发现最近提出的参数还没有得到研究单自由度和多自由度体系结构反应的检验。另外还发现，除Tm外的所有参数不是从能量谱就是从反应谱中得到的。基于Rathje等（2004）的详细研究，本次研究中选择Tm作为探讨单自由度和多自由度体系中频率成分作用的标志，是因为它在推断频谱形状方面的能力和对地震学参数的依赖性以及其他优点。接下来的部分将扼要介绍现阶段用于研究单自由度和多自由度体系的非弹性反应的程序。

1.2 非弹性变形的估计

这些年来多自由度体系的非弹性变形估计已经发展了两个平行的概念：“位移系数法”和 “等效线性”法。前一方法已列为FEMA－356（Building Seismic Safety Council，2000）的执行范围，最大的非弹性变形是作为系统的弹性变形和各种系数多方面参数C0，C1，C2和C3的积而估计的，这些参数分别用以计算单自由度和多自由度变形、单自由度体系的非弹性位移率、滞后特性和P－delta效应。而第二种方法已经被ATC－40 （Applied Technology Council，1996）、FEMA－356（Building Seismic Safety Council，2000）和欧洲规范8（CEN，2004）所采用，最大的非弹性变形是通过使用等价的具有改进刚度和粘滞阻尼的单自由度体系得到的。在 FEMA－440（Building Seismic Safety Council，2005）中，详细比较了这两种方法在评估现有的和新建结构的非弹性要求的情况。

Veletsos和 Newmark（1960）率先利用受单脉冲和3个地震地面运动作用的弹塑性单自由度体系对非弹性位移率（系数C1）进行了研究。当时发现，单自由度体系弹性反应与非弹性反应的比率约等于1，高频（Te＜0.5s）范围内倒塌的系统除外，这种情况可能表明弹性和弹塑性系统内储存的最大潜在能量是相当大的。这样产生了众所周知的“等效位移”和 “等效能量”规则。这些发现随后被其他学者（参见Shimazaki and Sozen，1984；Ye and Otani，1999）所证实。Miranda（2000）使用大量的加利福尼亚5.8～7.7级地震记录的数据，研究了建立在坚固的已知延性位移的场地上完全弹性单自由度体系的非弹性反应。结果表明，非弹性变形与弹性变形的比率本质上是取决于系统的振动周期以及对延性要求的水平。就震级、距离和场地条件而论，当剪切波速高于180m/s时，可以观测到一定的影响。Chopra和Chintanapakdee（2004）运用多种级别的后屈服刚度的双线性无退化系统和震级为5.8～6.9、距离为13～60km地震的地面运动，研究了已知延性或强度的单自由度体系的非弹性反应。他们的结论是，对于所研究的地面运动的数据集，最大非弹性位移与弹性位移的最大比率的中值与地震震级、距离和远场地面运动的场地类别无关。不过，这证明了后屈服刚度对已知延性体系的非弹性反应有明显影响。

另一方面，Jacobsen（1930）的研究首创了等效线性法，把力—变形曲线与在正弦波激发条件下的阻尼力相联系。几年来这种方法的发展包含当系统发生非弹性变形时，运用割线刚度造成系统周期变化的概念。这一方法随后由Gulkan和Sozen（1974）进行了改进，并应用于地震荷载。Kowalsky（1994）在最大变形处应用割线刚度发展了一种用于估计具有Takeda型滞后反应系统的等效粘滞阻尼方法。目前，Dwairi等（2007）通过用100次地面运动和已知延性的系统发展了4种不同类型滞后模型的等效粘滞阻尼的新关系式。

研究已知延性系统的两种方法的发展表明，单自由度体系的非弹性反应取决于系统的弹性周期（等效线性方法中的有效周期）、延性水平和系统的滞后特征。然而，至今还没有完全理解地面运动特征的影响。这些通过使用位移修正或者等效线性法开发的方法是基于大量加速度谱的非线性分析的平均结果。当这种方法用于各个加速度谱时，可估计观测到的反应和预期反应之间的最大差别（Dwairi et al，2007， Miranda and Ruiz－Garcia，2002）。

下一节将根据Tm选择地面运动的频率成分指标来研究单自由度体系的非弹性反应，对这些观测进行充分检验。由于位移系数法比较简单，本项工作用位移系数法原理评价地面运动频率成分对单自由度体系非弹性位移率的影响。然后研究扩展到多自由度体系研究高阶振型对地面运动频率成分的影响。

2 单自由度体系的非弹性反应

实际上，Tm代表记录上强震部分最普遍的平均响应周期。如果单自由度体系最大非线性反应依赖于给定记录的Tm，那么可以预见，最大的非弹性位移（Δin）将发生在强烈震动阶段。在Tm影响下的单自由度体系的这一预期特性能被用来测试Te为0.2和0.9s这两种单自由度体系，其特征表现在应变硬化（α）为3%的双线性弹塑性滞回曲线上。单自由度体系受到1999年集集地震（台湾）的HWA015－E分量作用，记录地震仪位于D型土层中，震中距为51km，最大加速度为0.105g，Tm为0.862s。该体系受到目标位移延性（μ）达到4的地面运动，这是使用由 Miranda和 Ruiz－Garcia（2002）举例说明的程序，借助于专门的目标程序SeismoSignal（SeismoSoft，SeismoSignal v.3.2.0，2008）得到的。Te为0.2和0.9s的弹性和非弹性单自由度体系的位移时间变化关系如图1所示。由图可知，对于这两个体系，最大的非弹性位移（Δin）发生在地面运动加速度幅度最高时期。而且，对于Te＝0.2s的单自由度体系，与弹性体系比较起来，位移有扩大的趋势（Δe＝0.13cm，Δin＝0.293cm）；相反，对于Te＝0.9s的体系，与弹性体系（Δe＝5.59cm，Δin＝3.46cm）记录的最大位移比较起来，非弹性体系的最大位移较低。

用全球不同地区23次地震的128次记录的大量地面运动对这些观测结果进行了全面的测试；从每个台站只选取一个水平分量［参见Kumar（2011）给出的所有记录综合表的表1］。这也确保了时间序列代表不同的场地类别（按NEHRP分类）和震级—距离的组合。为了避免近场效应，对于高于6级的地震选择在20～80km以内（到断层破裂的最近距离）的记录，对5.5～6级之间的地震选择0～80km（到断层断裂的最近距离）之间的记录。每个记录都用于20个间隔常数为0.05s的弹性周期Te从0.1到1.0s的单自由度体系。每次分析重复3次，目标位移延性的3个级别为μ＝2，4和6。因此共实施了7680次分析。对于每次非弹性时程分析，除了非弹性位移比（Cμ＝Δin/Δe），还计算了周期比率（Te/Tm）。

图2中根据Cμ与Te/Tm比率的关系，绘制出每个位移延性级别的结果。对于每一种位移延性水平都画出了幂级数趋势线以研究结果的趋势；μ＝2，4，6的标准差分别为0.22，0.29，0.36。图中清楚地表明，当周期比Te/Tm低于1时，非弹性位移将会变大。此外，对于延性较高的体系，周期比率和Cμ之间的依赖性明显较强。据此可以证明延性越高，时间历程中系统屈服和加速度高振幅期间非弹性反应较早发生的可能性越高。因此，单自由度体系的非弹性位移取决于弹性周期、屈服后刚度、延性和地面运动的平均周期，证实了对频率成分的依赖性。图3（a）和（b）给出了本次研究使用的所有记录的弹塑性位移比率的变差系数（COV）与Te和Te/Tm的关系图。一般情况下，正如Miranda（2000）提到的，变差系数随着延性位移的增长而增长。此外，有趣的是，当Te/Tm之比低于1时，变差系数表现出下降的趋势。换句话说，在短周期范围内，当根据Tm归一化振动周期计算Cμ时，Cμ比率在记录数据之间的可变性降低。

图1 遭受台湾集集地震的单自由度体系的弹性和非弹性位移时间历程比较 （原图为彩色图——译注）。（a）Te＝0.2s，α＝3%；（b）Te＝0.9s，α＝3%

表1 用于本研究的地震目录和相关信息

图4 Tc和Tm的关系 （原图为彩色图——译注）

表2 依据Tm的地面运动分组

以上图示中看到的非弹性位移比率对地面运动平均周期的依赖性与Chopra和Chintanapakdee（2004）观测的结果一致，都显示出与Te/Tc比率的依赖关系。弹塑性变形依赖Tc或Tm，示意着Tc和Tm之间可能存在关联。因此，利用Chopra和Chintanapakdee（2001）所示的程序来计算Tc以便得出地面运动总效果。所有记录的Tc对Tm的关系如图4所示；为了计算事件自身内和各事件之间的变异，并获得这两个参数之间的关系，进行了随机效应回归。数据呈现出两个参数之间有良好关系，相关系数为0.9。不过，必须牢记这一观测结果依据的是这次研究所使用的地面运动数据；可能还需要更大的数据集来验证这个观测结果。

尽管这项研究说明的弹塑性变形的相关性类似于Chopra和Chintanapakdee（2004）工作中识别出的关系，但Cμ和Te/Tm间的相关性，以及Tm与震级、距离和场地类别间的关系可以进一步用来提高单自由度体系弹塑性变形的计算精度；例如，若Tm可以精确预测的话，可将其结合进计算分析中。因此单自由度体系非线性时程分析结果按Tm被分为如表2所列的5组。各组的归一化加速度谱的中值如图5所示。由该图可明显得知，Tm与频谱形状密切相关。对于每一组Tm，为获得图6所示的曲线，计算了每对Te和目标延性水平的Cμ的中值。该图还包括了用Chopra和Chintanapakdee（2004）提出的公式（2）得出的估计曲线（简称FF－C），并考虑了 Chopra和 Chintanapakdee（2001）远场地震的Tc＝0.42：

图7 Tm的第2组和第4组Cμ曲线与Chopro和Chintanapakdee（2004）的远场方程线（FF－C）的比较（μ＝4，Tc取各组的中值）（原图为彩色图——译注）

在上面的表达式中，μ代表位移延性需求，Te代表单自由度体系的弹性周期，a＝105，b＝2.3，c＝1.9，d＝1.7，Tc代表地面运动的特征周期，Lμ的计算公式如下：

图6所示的3种延性水平的曲线图进一步说明了频率成分对塑性变形振幅的影响。从图中可以很容易地识别出一种趋势。随着Tm的增大（从第1组到第5组），给定Te的非弹性变形也随着扩大。此外，当Cμ＜1时，系统周期随着Tm的增长而增长。随着系统延性的增加，这些趋势变得更加明显；对于高的Te值，达到大约0.8左右时曲线变平。

由方程式（2）连同所有组一起得出的Tc＝0.42时的Cμ曲线进一步阐明了Tm对所有延性水平的影响（如图6所示）。一般情况下，当弹性周期小于0.5s时，Chopro和Chintanapakdee（2004）的远场方程曲线紧随由第3组记录获得的所有延性水平的非弹性位移比中值；而对较低Tm组的记录，Chopro和Chintanapakdee（2004）的远场方程曲线高估了；对较高Tm组的记录，Chopro和Chintanapakdee（2004）的远场方程曲线低估了。另一方面，除了平均周期最长的第5组，对于其他弹性周期高于0.5s的各组，Chopro和Chintanapakdee（2004）的远场方程曲线都是平稳的。

图6的结果证实，如果地面运动依靠频率成分或者根据震级、距离和场地类别的综合情况明确分类，则可以提高对非弹性位移比的预测。以往的研究（如 Chopra and Chintanapakdee，2004）没有发现这个问题，可能是由于以下两个原因：第一，在他们研究用的记录数据库中，没有包括大震级地震；第二，用于地面运动特性影响研究的分类方法是依据震级和距离的组合或者是场地类别。另一方面，地面运动的频率成分依赖于Rathje等（2004）所示的所有3个参数。应该注意，强调频率成分对单自由度体系非弹性影响的目的不意味着建立另外的方程组，而是为了强调应当使用影响频谱形状并进而影响单自由度体系非弹性反应的有代表性的参数值。利用绘制的Chopro和Chintanapakdee（2004）的远场方程曲线可以证明这一点，第1组和第4组使用方程式（2）、其他各组用的Tc中值分别为0.38和0.75的第2和第4组数据以及位移延性为4的各组的中值曲线（如图7所示）。在本研究分析获得的曲线与用代表值画出的Chopro和Chintanapakdee（2004）的远场方程曲线的拟合程度明显提高。可注意到，Chopro和Chintanapakdee（2004）的远场方程曲线预测的值略低，所以很容易改善。

正如在第2部分的研究中所述，ε值也是表示频谱形状的有用工具。但它提供的是一个地方性测量频谱的方法，因为它是按所考虑的基本周期计算的。为了验证在需要目标延性情况下平均周期的优越性超过ε，使用未缩放的记录和Chiou与Youngs（2008）的预测模型计算了弹性周期在0.1到1.0s范围内、时间间隔为0.05s的基本周期的ε值。结果发现，对于所有位移延性水平，Cμ和ε均不存在相关性。

在当前的欧洲规范8版本中，非弹性反应基于的是Te和Tc，且Tc的变化完全由场地特征说明，但它同样也依赖于地震的震级和距离；这就要求对当前的欧洲规范8版本进行改进以便解决这些问题。在这方面基于本节展示的结果给出的建议对Bommer和Pinho（2006）提出的需求提供了强有力支持，可更好地采用欧洲规范8使其满足性能设计的目标。最近，Bommer等（2010）提出将峰值地面加速度（PGA）和峰值地面速度（PGV）应用于危险性评估程序中，以此来改进Tc和设计频谱形状的估算。

3 多自由度体系的非弹性反应评估

用于评估频率成分影响（用平均周期表征）的单自由度系统，此处扩展到多自由度系统。为此，我们以一个5层三跨度抗弯框架为研究对象（Villani et al，2009）。其梁长6.0m，第一层层高是4.5m，其他层的层高为3.5m。框架重力负荷最初是根据欧洲规范3设计的（CEN.Eurocode 3，2005）；然后通过假设峰值地面加速度的值为0.3g和B类土壤按照欧洲规范8进行检查。这个框架是按各单元有两个基本力元素（各有7个高斯点）的 OpenSees（OpenSees Version 2.0.0，2008）进行模拟。材料被认为是非线性的，一直沿用后屈服刚度为0.5%的钢材的双线性应力—应变曲线表示。竖向荷载作用于（其中包括恒载和30%的允许活荷载）梁的中跨和梁—柱的节点。在动态分析中，框架的每楼层的地震学质量大约70吨，而顶层约56吨。这个框架结构振动的第一、第二、第三振型周期分别为1.15s、0.3s和0.19s，质量参与比分别为82%、11.5%和4.5%。初始刚度比例阻尼认为是分配给第一振型的粘性阻尼2%。

通过对记录进行换算以便达到全局各种延性水平，对框架进行增量动态分析（IDA），其中假设：

（a）等位移规则（EDR）成立，即单自由度体系测得的弹性谱位移与非弹性位移相等。

（b）当结构在地面运动作用下从弹性域转到非弹性域时，它在基本振型侧移剖面上连续振动。因而侧移剖面保持不变，结构的反应不受高阶振型的影响。

以上假设证明，根据基本周期的谱反应换算记录是正确的，并便于在规定了预测非弹性位移作用的EC8的背景下进行讨论。然而，上述的这种假设可能成立也可能不成立，这将在随后的章节检验。因此，需要使用公式（3）计算所需的缩放系数（SF），这是各个记录要达到目标位移延性（μEDR）的水平所要求的；在这种抗力的概念中，该量可以解释为作用力系数或力衰减因子。

式中Sd（T1）是给定记录在框架的基本周期T1＝1.15s时的频谱位移；Δy，roof是屋顶水平位移，与从静力弹塑性分析获得的框架第一个塑性铰形成相对应，静力弹塑性分析是利用基于框架基本振型的作用力剖面进行的；Γ代表计算等效单自由度体系的屋顶位移所需要的转换因子（所研究的框架为1.34），使用下面的表达式计算：

式中mi是在每个楼层的抗震质量，Δi代表每个楼层的位移，它们被归一化为从特征分析所得的基本振型的屋顶位移。图8展现了确定已知记录比例因子的完整过程。

图8 （a）5层多自由度框架的第一振型位移剖面和框架未变形形状。（b）框架的等效单自由度系统。（c）欧洲规范8推荐的第一振型荷载形式作用下所测得的框架的侧推曲线。（d）第一个塑性铰形成时的框架侧移剖面。（e）换算到产生相当于框架屈服位移的μEDR＝4实际记录的位移谱

用早先用于评估单自由度体系的128次地震的记录来进行增量动态分析。用公式（3）把地面运动换算到6个级别（1～6级）的延展性。因此，共进行768次NTHA。每次运行记录3个反应量：

（一）最大的屋顶位移（Δroof）。

（二）最大的底层剪力（Vmax）。

（三）框架结构每层的最大侧移（θsi，max）。

这些反应量集中在早先单自由度体系研究中的Tm组中，对这些量进行统计处理以便算出对应每个延性水平的中值、16%和84%的量。在下面的小节中介绍对这些结果的详细检验。

3.1 屋顶位移

在抗震设计过程中非弹性位移的估计都是主要的方面，不考虑实行的设计理念。按照惯例，估算多自由度体系的位移都使用单自由度体系的非弹性位移（该位移是用1.2节讨论的方法算出）。如这篇论文先前所证明的：对于弹性周期低于地面运动平均周期的单自由度体系来说，非弹性位移率明显高于1。另一方面，弹性周期高于平均记录的平均周期对于系统来说，位移延性级别较高时修正系数降低到1以下。

本节中，我们检验了从增量动态分析中得到的5层抗弯框架的屋顶位移，并且与用等位移规则估计的屋顶位移进行对比。增量动态分析结果是对每一周期组的记录和相应延性水平以中值、16%和84%的形式给出的。图9给出了第1，3，5组的屋顶位移以及等位移规则估计值。通过对第一次屈服时屋顶位移的线性缩放计算出等位移规则量，第一次屈服是根据静力弹塑性分析与相应的位移延性得到的。正如预期的那样，对于所有组记录，观测到的多自由度体系的屋顶位移没有受到地面运动频率成分的显著影响。这是由于：所研究结构的基本周期比记录的平均周期高，并且屋顶位移受高振型的影响最小。除此之外，随着位移延性需求的增加，从增量动态分析得到的屋顶位移的中值降低。但是对于框架结构来说，以16%和84%形式测量的屋顶位移展现出严重的离散，特别是高水平延性需求时。然而等位移规则预测的所有Tm组的屋顶位移值较低。

图9 对框架结构进行增量动态分析得到的顶层位移中值、16%和84%以及等位移规则（EDR）估计值（原图为彩色图——译注）。（a）第1组（Tm＜0.35）；（b）第3组（Tm 为0.35～0.50）；（c）第5组（Tm＞0.80）

图10 中值、16%和84%的动态侧移曲线 （原图为彩色图——译注）。（a）第1组（Tm＜0.35）；（b）第2组（Tm 为0.35～0.50）；（c）第3组（Tm 为0.50～0.65）；（d）第4组（Tm 为0.65～0.80）；（e）第5组（Tm＞0.85）；（f）所有Tm 组的静态侧移曲线（SPO）和中值动态侧移曲线

3.2 动态静力弹塑性分析曲线

根据抗力设计法，按基本原理，抗弯框架除了底层的柱基以外应该只在梁内出现塑性铰。但是，柱子底部基底剪力和弯矩的增大（作为系统高振型反应的结果）可能会出现反常。尽管在弹性范围内对于相对较长的周期和不规则结构，较高振型对于基底剪力的影响是明显的，但这个反应量可能会受结构后屈服的严重影响。同样这可导致在短—中周期结构中的显著放大，正如Pettinga和Priestly（2005）所证明的。

这一方面的详细评估是使用增量动态分析结果去导出Vmax和μEDR成对的动态静力弹塑性分析（DPO）曲线。每组的中值、16%和84%的曲线显示在图10中。动态静力弹塑性分析从第1组到第5组明显展现出频率成分对基底剪力的影响。延性水平给定时，对于最低Tm组（第1组）基底剪力相对较高，相当于在框架振动的第二周期附近的Tm记录；对于Tm较高的组则减少，到第5组（Tm＞0.8s）变为最小。当位移延性的水平较高时，所有动态静力弹塑性分析图中的总趋势是数据的离散趋于增大。

通过将中值动态静力弹塑性分析曲线与使用欧洲规范8确定的侧向荷载分布获得的静力弹塑性分析结果进行比较可对此得到进一步的了解。这与前面在图8中说过的框架的第一振型位移剖面相当。这个图形阐述了频率成分对于高振型贡献的影响。平均周期的影响可从第1组（Tm＜0.35）和第2组（Tm为0.35～0.5）清楚看到，都在结构的高振型周期附近。频率成分对基底剪力的影响随着平均周期接近结构的基本周期而减小。尽管能观测到塑性对基底剪力放大的影响，但不能忽视平均周期的影响。

3.3 最大层间侧移剖面

最大层间侧移剖面提供了侧移和塑性分布要求的细节特征，这是由于结构高度的抗震作用所要求的。这一节给出了用θsi，max表示的每一Tm组的位移塑性为1和4以及分散量的结构最大层间侧移剖面的中值。应该提醒的是，第一振型位移形状在设计中是假定的，并用相应的欧洲规范8侧向荷载模式进行静力弹塑性分析。在第一塑性铰结构记录的侧移剖面在图8（d）给出。

图11 μEDR＝1的中值、16%和84%的最大侧移剖面（原图为彩色图——译注）。（a）第1组（Tm＜0.35）；（b）第2组（Tm 为0.35～0.50）；（c）第3组（Tm 为0.50～0.65）；（d）第4组（Tm 为0.65～0.80）；（e）第5组（Tm＞0.85）

图12 μEDR＝1时中值、16%和84%的最大侧移剖面（原图为彩色图——译注）。（a）第1组（Tm＜0.35）；（b）第2组（Tm 为0.35～0.50）；（c）第3组（Tm 为0.50～0.65）；（d）第4组（Tm 为0.65～0.80）；（e）第5组（Tm＞0.85）

图11显示的μEDR＝1的剖面所有Tm组的第一振型侧移剖面相似。然而，顶层的侧移轻微放大能在低Tm组观察到。当塑性要求增加时，侧移剖面按照图12中显示的μEDR＝4稍微修改。重要的侧移放大发生在顶部3层，特别是第1组（Tm＜0.35）和第2组（Tm0.35～0.50）的记录。另一方面，第5组（Tm＞0.80）的最大侧移剖面记录与在静态弹塑性分析中观察到的剖面相似，而第3组和第4组的中值侧移剖面进一步说明了从第1组到第5组更高振型影响的过渡。这种趋势可以通过绘制由增量动态分析获得的最大层间侧移剖面与用等位移规则所得层间侧移剖面之间的比率更清楚地说明。对于给定的位移延性，由等位移规则获得的层间侧移剖面，仅仅是如图8（d）所示由水平荷载分析所得侧移剖面乘以相应的延性系数。图13给出了μEDR为4和6的侧移剖面的比率。为了说明仅给出了第1组、第3组和第5组的结果。很明显，欧洲规范8严重高估了框架底部3层所有3组的侧移；这种侧移的高估对于高层来说相对减弱，原因是高振型的影响，尤其对于低Tm更明显。随着延性需求的增加，结果的离散性也显著增加。在一般情况下，对于框架的底层和顶层最大侧移的离散性相对较高。相对较低的离散性是从第5组记录观察到的，其平均周期接近于框架的基本周期。

借助最大层间侧移剖面，上文描述了平均周期对结构高振型反应的影响。对于给定的记录，这代表着一组最大层间侧移；因此，每层的最大层间侧移发生在不同的瞬间。在时程分析中，观测任何一层最大侧移发生瞬间的框架侧移是非常有意义的。为证明这一点，我们选择了平均周期相对较高的SJB213和较低HWA015－E两组记录进行研究。SJB213记录的是凯奥特湖地震，最大地震加速度为0.108g，地面运动平均周期为0.473s，土壤类型为C类，震中距为20km；而HWA015－E记录的是1999年台湾集集地震，地面运动平均周期为0.862s。其他地面运动的特征如第2部分中所述。两个记录的侧移剖面按框架中最大侧移发生瞬间的位移剖面示于图14中。记录被调整至目标位移μEDR＝4。在侧移和位移剖面中可看到两个记录的框架反应有明显区别。两个记录的最大侧移发生在记录中加速度高振幅发生期间。两个记录位移剖面的形态进一步说明了高阶振型的影响。对于低Tm的SJB213记录，框架在高阶振型作用下产生响应，而对于高Tm的 HWA015－E记录，侧移剖面随着第一振型产生。这两个记录的最大基底剪力分别为898.9和1091.5kN。

根据记录的平均周期，分析了多自由度系统的高阶振型反应。因此，按照给定框架的位移延性要求，对屋顶位移、基底剪力和最大侧移剖面进行了检验。如前所述，由于之前详述过的原因，屋顶位移受频率成分的影响最小。另一方面，由于施加在该系统的位移延性要求的提高，基底剪力和最大层间侧移明显地受到频率成分的影响。可看到在平均周期接近于框架第二周期的记录有显著的高振型的影响。通常，可观测到屋顶位移的最大分散作用随延性要求增加而增加。另一方面，还可看到框架基底剪力的最小分散作用，而且随着延性要求的增加而增加。

在欧洲规范EC8的现行版本中，对基本周期小于2s或4倍Tc的结构，可借助基本周期的频谱信息计算基底剪力。根据第一振型位移剖面，这样得到的基底剪力沿着整个结构的高度分布。在计算非弹性位移剖面时，假定了结构经受非弹性变形时位移剖面仍保持不变；对于基本周期高于Tc的结构还应结合等位移规则来进行计算。本文介绍的多自由度体系的结果突出强调了现有系统的不足。这证明屋顶位移随着施加在多自由度系统的延性要求的增加而减小是正确的。但是，正如在3.3所述，这种在非弹性位移的减少是连同载荷模式的修正一起进行的，说明了框架顶层侧移要求的转变。此外，高振型对基底剪力作用增大的影响具有特殊意义，这个问题在大多数抗震设计规范中包括欧洲规范8都没有论述。然而，直接的基本位移设计（Priestley et al，2007）明确指出了这个问题并提出了相应的简化设计公式来解释延性对基底剪力的影响。但是，并未解释频谱成分的影响，因此需要一个更具包容性的设计方法来适应这个参数。这可以使反应预测的准确性有很大改善。

4 结论

在本文中关于单自由度和多自由度体系非弹性反应的研究是根据平均周期进行的，平均周期是地面运动频率成分的一种量值。

对于单自由度体系，发现最大非弹性反应取决于Te/Tm比率以及延性水平。可以看出，如果地面运动是根据Tm分类的，就能更准确地预测单自由度体系的非弹性反应。这是由于地面运动的频率成分与震级、距离和场地条件相关。因此，它为传统的地面运动分组提供了合适的替代方法，即单独使用震级和距离，或者场地条件分类。对于高延性要求水平这些观测结果变得更加明显。

对于多自由度体系，可以看出，由于高阶振型的作用，Tm明显影响5层框架结构的基底剪力和最大侧移剖面。高阶振型对基底剪力的影响随着地面运动的Tm接近结构的更高周期而增大。如果地面运动是根据Tm分类的，在最大层间侧移剖面上就可观察到相似的趋势。Tm对于高阶振型贡献的影响随着对结构延性要求的增加而增大。

总之，本文介绍的地面运动平均周期对单自由度体系和多自由度体系影响的评估表明，Tm看来是一个代表频率成分的好参数（与基于振幅的烈度一起测量），因为这一参数是与震级、距离和场地条件有关。然而，需要进行综合统计研究以便对其他参数的特性进行评估，例如同样与震级、距离和场地条件有关的Tavg和To；这些研究是本文作者当前的重点。而且本文证明，借助该参数可提高多自由度系统的非弹性反应。这一参数可用于研制包含有多自由度体系动力特点和地面运动周期的简化模型，以便更准确地预测侧移和延性要求。

本文强调了欧洲规范8中频谱形状的表达式需要改进，以适应各种危险情形下提高单自由度系统的非弹性反应的估计。除此之外，欧洲规范8需要更完善的方式来解释由于非弹性和高阶振型作用引起的响应参数的变化。

译自：Earthquake Engng Struct Dyn.2011.40：237～256

原题：Influence of the mean period of ground motion on the inelastic dynamic response of single and multi degree of freedom systems

（核工业第五研究设计院 梁铁锚译；崔秋文校）