平面非自治 Hamilton方程的 Lagrange稳定性＊

金慧萍

(义乌工商职业技术学院,浙江义乌 322000)

0 引 言

20世纪 60年代早期,英国著名数学家 Littlewood[1]研究了平面非自治 Hamilton方程

是否具有 Lagrange稳定性,即方程的每个解 x(t)是否都在 t∈(-∞,+∞)上存在,且

后来,把这一问题称为 Littlewood有界性问题,且所考虑的方程也更一般,为

关于 Littlewood有界性问题的第 1个正面结果是Morris[2]在研究方程

时得到的.接着,Dieckerhoff和 Zehnder[3]把Morris的结果推广到如下多项式系统:

式 (3)中:0≤l≤2n;pj(t)(j=0,1,…,l)为充分光滑的周期为 1的函数.在这一问题上,人们又得到了一系列结果[4-12].

证明周期Hamilton方程具有Lagrange稳定性的大致想法如下:设D={(x,x·)∈R2:x2+x·2≤r2}为相平面(x,x·)上一个充分大的圆盘;在R2D上寻找恰当的辛变换,将原系统变为一个近可积Hamilton系统,此时相应的 Poincare映射接近于扭转映射;由Moser扭转定理可得该 Poincare映射在距离相平面(x,x·)的原点任意远处存在不变曲线,它微分同胚于圆环且围绕原点;每个这样的不变曲线对应于原系统的一个在扩展相空间(x,x·,t)∈R2×R上的周期不变柱面;由初值问题的解的存在唯一性,方程的任一解就被限制在这些周期不变柱面之间.

本文将研究多项式系统

其中

式 (5)中:m,n∈N;I为 (N∪{0})2的有限子集;pi,j∈C∞(t).笔者将证明如下结果:

定理 1 设在系统 (4)和系统 (5)中,若所有 (i,j)∈I满足 ni+m j<2m n,则系统 (4)的每个解都在(-∞,∞)上存在且有界.

注 1 显然,当 n=1,j=0且 i<2m时,式 (4)就是式 (3).

注 2 类似于文献[9],如果将 pi,j对 t的光滑性减弱为 C2,则仍能得到定理 1.

以下总用字母 C表示某些大于 0的常数.

1 辛变换

考虑未扰动系统

设 (C(t),S(t))为该方程的满足初始条件 (x(0),y(0))=(0,1)的唯一解,其周期为 T＊,则

(1)nC(t)2m+mS(t)2n=m;

(2)C′(t)=S2n-1(t),S′(t)=-C2m-1(t),且 C(0)=0,S(0)=1;

(3)C(t+T＊)=C(t),S(t+T＊)=S(t).

容易验证式 (6)是一个辛变换.变换 (6)将系统 (4)与系统 (5)变为

其中

以下将忽略非零常数 d,因为忽略 d不会影响定理 1的证明.

设ρ∈R,(θ,t)∈T2,称函数 f(ρ,θ,t)∈F(r),如果 f∈C∞且对任意的 i,j,k∈N∪{0},存在 ρijk>0,使得

容易证明 F(r)有如下性质:

(1)若 r1

(2)若f∈F(r),则Diρf∈F(r-i),Djθf∈F(r);

(3)若 f1∈F(r1),f2∈F(r2),则 f1·f2∈F(r1+r2);

和平环

性质 1 考虑 Hamilton函数

其中 h1∈F(c),h2∈F(b),且 a>max{1,c,b},则存在一个周期为 t的辛变换

式 (10)中:U∈F(b-(a-1));V∈F(b-a);Aλ+⊂Φ (Aλ0)⊂ Aλ-(1≪λ-<λ0<λ+),且变换后新的Hamilton函数形如

先寻找恰当的生成函数来构造所需的变换Φ.设Φ隐式定义为

以下在函数中隐去变量 t,并记 h0(ρ)=ρa+h1(ρ,t).在变换Φ的作用下,式 (9)变为

其中

设

即

则

引理 1 设 S由式 (13)和式 (14)定义,则由式 (12)定义的辛变换Φ关于 t是周期的,形如

且对充分大的λ满足U∈F(b-(a-1)),V∈F(b-a).

在变换Φ的作用下,式 (15)变为

式(18)中:

引理 2 函数 R1,R2和 R3满足

多次应用性质 1可以得到性质 2.

性质 2 存在常数ε0>max{0,a-2}及周期为 t的正则变换Φ =Φj°Φj-1°… °Φ1,使得对 1≪λ-<λ0<λ+,有 Aλ+⊂Φ (Aλ0)⊂ Aλ-,且在Φ的作用下,式 (8)变为

这就是为什么需要ε0>a-2的原因 (见引理 3).文献 [3]所考虑的是 n=1的情形,此时 a-2<0,所以相应的ε0只需大于 0即可.而本文所考虑的一般情形中,n可以是任意自然数,从而相应的 a-2也可以任意大.

2 定理 1的证明

接下来将运用Moser扭转定理证明定理 1.将性质 2应用于式 (8),得

下面估计 f和 g.由于 a可以任意大,所以本文中的 f和 g与文献[3]中的估计有所不同.利用不等式ε0>max{0,a-2}可以得到引理 3.

引理 3 对任意 i,j∈N∪{0},有

式 (25)和式 (26)两边对λ求偏导,得到

于是,也证明了 i=1,j=0的情形.同样地,式 (25)和式 (26)两边对 φ求偏导,得到

因而,对情形 i=0,j=1同样成立.其他情形可类似证得,故略.引理 3证毕.

作变换 r=r(λ),得到一个新映射

从而,当 t=0时,式 (23)从这条不变曲线出发的解决定了一个在扩展相空间 (r,φ,t)∈Ar0×R中的不变周期柱面.由初值问题的解的存在唯一性定理知,初值位于这些不变周期柱面内部的解永远被限制在其内部.从而定理 1得证.

[1]Littlewood J.Unbounded solutions ofy"+g(y)=p(t)[J].J LondonMath Soc,1966,41(1):491-496.

[2]Morris G.A case of boundedness in littlewood′s problem on oscillatory differenial equations[J].BullAustralMath Soc,1976,14(1):71-93.

[3]Dieckerhoff R,Zehnder E.Boundedness of solutions via the twist theorem[J].Ann Scuola Norm Sup Pisa,1987,14(1):79-95.

[4]Jin Huiping,WeiBaoshe.OnLittlewood′sproblem for a classof nonpolynomialpotentials[J].南京大学学报:数学半年刊,2008,25(2):178-189.

[5]LeviM.Quasi-periodic motions in superquadratic periodic potentials[J].Comm Math Phys,1991,143(1):43-83.

[6]LeviM.KAM theory for particles in periodic potentials[J].Ergod Th&Dynam Sys,1990,10(4):777-785.

[7]Liu Bin.Boundedness for solutions of nonlinear Hill′s equations with periodic forcing terms via Moser′s twist theorem[J].Differential Equations,1989,79(2):304-315.

[8]Liu Bin.Boundedness of solutions of nonlinear periodic differential equations via Moser′s twist theorem[J].Acta Mathematica Sinca New Series,1992,8(1):91-98.

[9]Wang Yiqian,You Jiangong.Boundedness of solutions in polynomial potentialswithC2coefficients[J].ZAMP,1996,47(6):943-952.

[10]You Jiangong.Boundedness of solutions of super-linearDuffing′s equations[J].Scientia Sinica,1991,8:805-817.

[11]Yuan Xiaoping.Invariant torus ofDuffing equation[D].北京:北京大学,1995.

[12]Yuan Xiaoping.Boundedness of solutions ofDuffing-type Equation[J].Science in China,1998,41(6):595-605.