带非线性时变滑动区域的变结构控制系统设计

孙彩贤, 王 磊

(1.郑州大学 数学系,河南 郑州 450001; 2.河南工业大学 理学院,河南 郑州 450001)

在变结构控制(VSC)系统的设计中，切换面(如：使用切换方程来进行表示)和切换规律(如：VSC率)需要保证在足够长的时间内，系统轨迹要进入切换面.例如，当系统轨迹进入切换面时，切换模型发生，递减模型使得滑动系统是稳定的[1-3].一般来说，我们可以通过线性二次型来设计切换面，如在[4]中，用其来研究线性系统，而在文献[5]中，对于满足特殊形式的非线性系统，用其研究了非线性优化系统.但由于特殊模型的限制，这种方法显然无法适用于很多复杂的非线性系统.而文献[6]使用Lyapunov逼近法直接构建了切换面，这种方法适用于求解代数Ricatti方程(ARE)，不需要系统满足某些特殊条件.但是在文献[6]中，只讨论了线性系统的情况.

为了解决在VSC系统中固有存在的复杂现象，文献[7]提出使用饱和方程来替代符号函数，而文献[8-9]使用高阶滑动模控制来替代.相对于滑动模，文献[10]提出了滑动区域来降低系统条件.而我们已经证明，对于线性时不变(LTI)系统，在状态空间中存在一个称为滑动区域的子集，在其中，Lyapunov函数递减，不需要任何控制率的附加.因此，在文献[10]中，设计了一个滑动区域控制(SSC)率，使得在此控制率之下，系统轨迹最终被转移到滑动区域中，从而在控制率的反馈之下，系统二次稳定.

本文在前人一些工作成果的基础上描述了所要研究的系统以及需要解决的主要问题，根据一个前置SDDRE的解定义给出了NTV滑动控制区域，同时还给出了NTVC控制率，最后给出了SSC，证明了系统在SSC之下全局稳定.

1 问题描述

考虑带不确定性的输入非线性时变仿射输入系统：

(1)

其中，x∈Rn和u∈Rl分别为状态变量和输入变量，f(x，t)∈Ck，g(x，t)∈Ck是满足适当维数的函数.其中，对于∀x∈Rn， ∀t∈R+，有g(x，t)≠0.d(x，t)为不确定项，此不确定可能是由于参数的不确定性或者是扰动所造成 .

假设f(0，t)=0(对于任意的t∈R+)，且f(x，t)为连续可微的，则非线性时变系统(1)可以被表示为如下的决定于状态的线性时变(SDLTV)系统:

(2)

其中，A(x，t)x=f(x，t)，B(x，t)=g(x，t).

假设1 二元组(A(x，t)，B(x，t))对于∀x∈Rn， ∀t∈R+是能控的；

假设2 不确定项d(x，t)满足：

|d(x，t)|≤q(x，t)‖x‖+p(t)， ∀x∈Rn， ∀t∈[0，+∞)，

(3)

其中，q(x，t)和p(t)为已知的正函数，且p(t)以常数为界，‖·‖表示为二位欧式范数.

我们主要研究的控制问题是找到一个VS控制率，使得系统(2)全局渐近稳定，且可以已知系统中的不确定因素.

2 NTV滑动区域

对于LTI系统，如果在状态空间中存在一个子集，使得该系统的Lyapunov函数在此子集中且在相应的控制之下保持一致递减，则称这个子集为LTI系统的LTI滑动区域.而在考虑参数不确定或者系统存在某些扰动的时候，文献[11]给出一VS控制率从而保证了系统的Lyapunov函数在滑动区域中一致递减.同样，可以使用相同的方法来给出如下关于SDLTV系统(2)的SDLTV滑动区域.

定义1 称S(t)为SDLTV系统(2)的NTV(SDLTV)滑动区域，若其满足：

S(t)={x/s2(x，t)≤δ2(x，t)，x∈Rn，t∈R+}，

(4)

其中，Lyapunov函数定义为：

V(t)=xTP(x，t)x>0， ∀x∈Rn(x≠0)，

∀t∈R+.

(5)

在VSC控制率下，此Lyapunov函数递减，且其沿SDLTV系统(2)的轨迹的微分满足：

∀x∈S(t)，

其中，P(x，t)∈Rn×n为对称正定矩阵，R(x，t)∈Rn×n为对称半正定矩阵，R(x，t)=CT(x，t)C(x，t)，C(x，t)∈Rl×n，l≥1.对于∀x∈Rn， (C(x，t)，A(x，t))能观，且SDLTV切换函数s(x，t)，状态决定时变二次函数δ2(x，t)的平方根δ(x，t)如下描述：

s(x，t)=S(x，t)x，S(x，t)∈Rl×n，

(6)

(7)

注：NTV滑动区域中有4个设计参数，其中，P(x，t)和R(x，t)决定着系统在滑动区域中的性质，而s(x，t)和δ(x，t)给出了区域的形状.同时，在滑动区域中使用的VSC控制率要保证Lyaponov函数在此区域中一致下降.

对于线性时不变系统，文献[11]使用ARE来设计系统的滑动区域，同时使用ARE的解来定义Lyapunov函数.本文使用SDDRE来设计NTV滑动区域.我们已知使用带边界条件的SDDRE的解来构建最优二次控制率，该控制率可以使二次性能指标最小，在文献[12]中使用的是Hamilton-Jacobi方程(HJE)，而文献[13]使用的是Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程.但是，后置系统的引入使得要求SDDRE当前时刻的解却需要之后时刻系统的信息，这对于SDLTV系统(2)显然是不可行的.

本文中，对于如下SDDRE：

(8)

我们使用初始条件为P(x(t0)，t0)=PT(x(t0)，t0)>0来替代边值条件，从而可以使用前置系统来研究此方程，通过此方程来设计NTV滑动区域(4)，其中，Q(x，t)∈Rn×n为对称正定矩阵函数.

由于系统(2)中的二元组(A(x，t)，B(x，t))能控，Q(x，t)对于∀x∈Rn， ∀t∈R+都是正定的，则SDDRE(8)存在对称正定矩阵解P(x，t)∈Rl×n[12-13].通过改变权重矩阵Q(x，t)，我们可以得到不同的SDDRE(8)的解P(x，t)，从而来构造出NTVC控制率：

u=-BT(x，t)P(x，t)x(t).

(9)

(10)

则在控制率(9)控制下，d(x，t)=0，无扰动系统(2)全局稳定.

证明对于Lyapunov函数(5)，其沿系统(2)轨迹的微分为：

AT(x，t)P(x，t))x+2xTP(x，t)B(x，t)u=

如果我们使用SDRRE(8)的解P(x，t)来定义Lyapunov函数(5)，则其沿系统(2)轨迹的微分可以表示为：

(11)

其中s(x，t)=BT(x，t)P(x，t)x.

定理1 对于满足假设1和假设2的SDLTV系统(2)，如果：

(1)Q(x，t)∈Rn×n为对称正定矩阵，对称正定矩阵函数P(x，t)是SDDRE(8)的解，基于P(x，t)可以构造Lyapunov函数(5)；

则NTV(SDLTV)滑动区域可以被表示为式(12)，

S(t)={x‖s(x，t)‖≤δ(x，t).x∈Rn，t∈R+}.

(12)

s(x,t)为NTV(SDLTV)切换函数，δ(x，t)为状态决定二次时变函数δ2(t)的平方根，和在滑动区域中所使用的VSC控制率表述为如下形式：

s(x,t)=S(x,t)x，S(x,t)=B(x,t)TP(x,t)，

u=-ki(x,t)sgn(s(x,t))，

(13)

其中ki(x,t)是一正增益函数且满足

ki(x,t)≥q(x,t)‖x‖+p(t). ∀x∈Rn， ∀t∈R+，

q(x,t)‖x‖+p(t)为描述在(3)中不确定性d(x,t)的界.

证明根据(11)式，当引入VSC控制率(13)时，有：

s2(x，t)-δ2(x，t)-xTR(x，t)x≤-xTR(x，t)x， ∀x∈S(t).

因此，根据滑动区域的定义可以得到，由SDDRE(8)给出来的区域(12)是NTV滑动区域.

3 带NTV滑动区域的VSC控制率

通过前面的分析得知，当时s2(x，t)<δ2(x，t)，也就是在NTV滑动区域(12)内部时，在VSC控制率控制之下，Lyapunov函数沿着SDLTV系统(2)的轨迹单调递减.由此想到，可以设计一个带NTV滑动区域的VSC系统，如SSC系统，使得在此控制系统下，系统轨迹在最终时刻从滑动区域外部转移到滑动区域内部，从而可以保证这个带NTV滑动区域(12)的VSC系统全局且二次稳定.

(14)

可使系统轨迹最终进去区域(12)，从而保证系统全局二次稳定.

在16式中，k0(x，t)和ki(x，t)为正增益函数且满足：

k0(x，t)≥|β(x，t)|(q(x，t)‖x‖+p(t)+ε)，∀x∈Rn， ∀t∈R+，

ki(x,t)≥q(x,t)‖x‖+p(t)，

∀x∈Rn， ∀t∈R+，

其中，q(x,t)‖x‖+p(t)为描述在(3)中不确定性d(x,t)的界.ε为正常数，函数α(x,t)和函数β(x，t)如下定义：

(15)

(16)

同时假定函数β(x，t)∈R1可逆.

证明首先我们假设初始状态在NTV滑动区域(12)之外.则SSC控制率表示为：

u=-β-1(x，t)(α(x，t)+k0(x，t)sgn(s(x，t))).

(17)

在系统状态还未进去滑动区域之前，系统使用此控制率.故：

-2e|s(x，t)|<0， ∀x∉S(t).

可以看出NTV函数s(x,t)的平方单调减少，即系统状态将要最终进入滑动区域.

而在滑动区域之中时，系统的控制输入为：

u=-ki(x,t)sgn(s(x,t)).

在定理1中我们已经给出，在此控制之下，Lyapunov函数沿着系统轨迹的微分满足：

综上可以得到，对于SDLTV系统(2)，SSC控制率(14)可以保证系统轨迹最终进入滑动区域，而在滑动区域中，由于Lyapunov函数单调下降，故SDLTV系统(2)全局二次稳定.

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