周期系数高阶线性微分方程的次正规解

黄志波， 李 倩

(1.华南师范大学数学科学学院,广东广州 510631；2.华南农业大学应用数学系, 广东广州 510642)

周期系数高阶线性微分方程的次正规解

黄志波1， 李 倩2*

(1.华南师范大学数学科学学院,广东广州 510631；2.华南农业大学应用数学系, 广东广州 510642)

考虑周期系数高阶线性微分方程

其中n≥2,Pj(z),Qj(z) (j=0,1,2,…,n-1),R1(z)和R2(z)均是关于z的多项式, 且Pj(z),Qj(z) (j=0,1,2,…,n-1) 不全为常数. 在条件degPjlt;degP0(j=1,2,…,n-1)下, 获得方程的次正规解的表示.

高阶线性微分方程; 次正规解; 周期系数

考虑二阶齐次线性微分方程

f″+[P1(ez)+Q1(e-z)]f′+
[P2(ez)+Q2(e-z)]f=0,

(1)

其中P1(z),P2(z),Q1(z)和Q2(z)均是关于z的多项式, 且不全为常数. 众所周知,方程(1)的所有解均为整函数[1].

定义1 设f(z)为整函数,则函数f(z)的e-型级定义为

(2)

定义2 设f(z)≢0是方程(1)的解且满足ρe(f)=0, 则称f(z)为方程(1)的次正规解. 特别地, 称f(z)≡0也是方程(1)的次正规解.

关于方程(1)的次正规解的研究, 我们可以参考文献[2]-[7]. 在文献[2]中, 黄志波和陈宗煊给出了方程(1)的所有次正规解的表示, 即:

定理A[2]设f(z)是方程(1)的次正规解,其中P1(z),P2(z),Q1(z)和Q2(z)均是关于z的多项式且不全为常数.

(1)如果degP1gt;degP2和P2+Q2≡0, 那么方程(1)的任一次正规解必为常数.

(2)如果degP1gt;degP2和P2+Q2≢0, 那么f(z)的表示形式为

f(z)=g2(e-z),

其中g2(z)是关于z的多项式且deg{g2}≥1.

(3)如果degP1lt;degP2, 那么方程(1)唯一的次正规解f(z)≡0.

(4)如果degP1=degP2≥1, 那么f(z)的表示形式为

f(z)=eβ1z[g1(ez)+g2(e-z)]+
eβ2z[g3(ez)+g4(e-z)],

其中β1和β2是复常数,gj(z) (j=1,2,3,4)均是关于z的多项式.

考虑更一般的微分方程

f″+[P1(ez)+Q1(e-z)]f′+[P2(ez)+Q2(e-z)]f=

R1(ez)+R2(e-z),

(3)

其中P1(z),P2(z),Q1(z),Q2(z),R1(z)和R2(z)均是关于z的多项式, 且不全为常数. 在文献[3]、[4]中，获得方程(3)的所有次正规解的表示, 即

定理B[3-4]设f(z)是方程(3)的次正规解,其中P1(z),P2(z),Q1(z),Q2(z),R1(z)和R2(z)是关于z的多项式, 且不全为常数.

(1)如果 degP1gt;degP2和degP1gt;degR1, 那么f(z)的表示形式为

f(z)=eβz[g1(ez)+g2(e-z)],

其中β是一复常数,g1(z)和g2(z)是关于z的多项式.

(2)如果degP1gt;degP2和degP1≤degR1,那么f(z)的表示形式为

f(z)=eβz[g1(ez)+g2(e-z)]+c1zg3(e-z)+
c2g4(e-z)+g0(ez),

(3)如果degP1lt;degP2, 那么f(z)的表示形式为

f(z)=eβz[g1(ez)+g2(e-z)],

其中β是一复常数,g1(z)和g2(z)是关于z的多项式.

(4)如果degP1=degP2≥1, 那么f(z)具有下面2种形式之一:

f(z)=ceβ1z[g1(ez)+g2(e-z)]+
eβ2z[g3(ez)+g4(e-z)],

其中c、β1和β2是复常数且β1不为整数,gj(z) (j=1,2,3,4)是关于z的多项式, 或者

f(z)=enzeβz[g1(ez)+g2(e-z)]+
c1zg3(e-z)+c2g4(e-z)+g0(ez),

其中n是一整数,β、c1和c2是常数,gj(z) (j=0,1,2,3,4)是关于z的多项式且deg{g3}≥1.

问题: 定理A和定理B是否可推广到高阶微分方程

(4)

(其中n≥2,Pj(z),Qj(z) (j=0,1,2,…,n-1),R1(z)和R2(z)均是关于z的多项式且Pj(z)和Qj(z) (j=0,1,2,…,n-1)不全为常数)?

4) 独立盘管系统(见图2)采用空气-水系统空调型式，独立风机盘管既可安装于舱室卫生单元背部或舱室其他空间，也可安装于舱室外部区域，使用灵活，可有效利用船上的布置空间。经过新风空调机组处理的风送至风机盘管与回风混合，混合后经过冷媒水盘管或电加热盘管处理，通过风管送至房间内的布风器。房间内的温度由安装的温度控制器设定。温度控制器通过控制风机盘管的风量达到控制室内温度的目的。风机盘管相当于一套变风量子系统。

在下面的定理中, 我们研究了方程(4)和它所对应的齐次方程

f(n)+[Pn-1(ez)+Qn-1(e-z)]f(n-1)+…+

[P1(ez)+Q1(e-z)]f′+[P0(ez)+Q0(e-z)]f=0,

(5)

在条件degPjlt;degP0(j=1,2,…,n-1)下回答了这个问题.

1 高阶齐次线性微分方程的次正规解

引理1[8]设f(z)是超越亚纯函数,αgt;1是一个给定的实数,kgt;j≥0. 那么存在C=C(α)gt;0使得下面2个结论成立, 其中r=|z|.

(6)

定理1 设f(z)是方程(5)的次正规解, 其中n≥2,Pj(z)和Qj(z) (j=0,1,…,n-1)均是关于z的多项式, 且不全为常数. 如果degPjlt;degP0(j=1,2,…,n-1), 那么方程(5)的唯一次正规解f(z)≡0.

证明设整函数f(z)是方程(5)的次正规解. 因为degPjlt;degP0(j=1,2,…,n-1), 那么f(z)不可能为多项式. 下面, 考虑f(z)为超越整函数. 由方程(5)知,

(7)

(j=1,2,…,n),

(8)

其中C和α如同引理1. 于是, 对任意给定的εgt;0,当z沿着射线argz=ψ趋于z→∞时, 由式(7)、(8)和degPjlt;degP0(j=1,2,…,n-1)可推出1≡0, 矛盾. 这表明, 当degPjlt;degP0(j=1,2,…,n-1) 时， 方程(5)的唯一次正规解为f(z)≡0. 证毕.

2 高阶非齐次线性微分方程的次正规解

引理2[2]设整函数f(z)是n阶微分方程

P0(ez,e-z)f(n)+P1(ez,e-z)f(n-1)+…+
Pn(ez,e-z)f=Pn+1(ez,e-z)

(9)

的次正规解,其中Pj(ez, e-z) (j=0,1,…,n+1)是关于ez和e-z的多项式且P0(ez, e-z)≠0. 如果f(z)和f(z+2πi)线性相关, 那么f(z)的表示形式为

f(z)=eβz[g1(ez)+g2(e-z)],

其中β是复常数,g1(z)和g2(z)是关于z的多项式.

定理2 设f(z)是方程(4)的次正规解, 其中n≥2,Pj(z),Qj(z)(j=0,1,…,n-1),R1(z)和R2(z)均是关于z的多项式, 且不全为常数. 如果 degPjlt;degP0(j=1,2,…,n-1),那么方程(4)的次正规解可表示为

f(z)=eβz[g1(ez)+g2(e-z)],

(10)

其中β是复常数,g1(z)和g2(z)是关于z的多项式.

证明设整函数f(z)是方程(4)的次正规解,那么f(z+2πi)也是方程(4)的次正规解. 令

h(z)=f(z)-f(z+2πi).

(11)

那么h(z)是方程(5)的次正规解. 由定理1知,h(z)≡0. 由式(11)知,f(z)≡f(z+2πi). 结合引理2,f(z)具有表示式(10). 证毕.

注1 定理1和定理2分别推广了定理A的(3)和定理B的(3).

3 高阶线性微分方程的次正规解的例

例1 如果n和q是2个整数, 那么次正规解f(z)=enz+e-qz满足方程

f″+(ez+q+e-z-n)f′+(e2z+qez-nq+qe-z)f=

e(n+2)z+(n+q)e(n+1)z+(n+q)e(n-1)z+e(2-q)z, 这里n=2, degP1=1lt;degP0=2.

例2 次正规解f(z)=e2z-e-z满足方程

f‴+(ez+e-z+1)f″-f′+(e2z-ez+e-3z)f=
e4z+3e3z+10e2z+3ez-e-2z-e-4z,

这里n=3, degP1=1, degP2=0, degP0=2.

下面的例3～例5说明满足注2中条件

的方程(4)和方程(5)的次正规解是存在的.

例3 次正规解f(z)=e-iz+e-z满足方程

f‴+(ez+1)f″+[(1+i)ez+1]f′+(iez+1)f=0,

这里n=3, degP2=1, degP1=1, degP0=1.

例4 次正规解f(z)=e(-1+i)z+ez满足方程

f‴+(2-i)f″+[ez+1]f′+[(1- i)ez+(1+i)]f=
(2-i)e2z+5ez,

这里n=3, degP2=0, degP1=1, degP0=1.

例5 次正规解f(z)=eiz+ez满足方程

f‴+(iez+ 1)f″+(ez+1)f′+f=
(1+i)e2z+4ez,

这里n=3, degP2=1, degP1=1, degP0=0.

[1] LAINE I. Nevanlinna theory and complex differential equations[M].Berlin:Walter de Gruyter,1993.

[2] 黄志波，陈宗煊.周期系数二阶齐次线性微分方程的次正规解[J].数学学报：中文版，2009,52(1):9-16.

HUANG Zhibo, CHEN Zongxuan. Subnormal solutions of second order homogeneous linear differential equations with periodic coefficients[J]. Acta Math Sinica: Chinese Series,2009, 52(1): 9-16.

[3] HUANG Zhibo, CHEN Zongxuan, LI Qian. Subnormal solutions of second order nonhomogeneous linear differential equations with periodic coefficients[J]. J of Inequalities and Application, Vol 2009, Article ID 416273, 12 Pages, doi:10.1155/2009/416273.

[4] HUANG Zhibo, XIA Xiaohua, LI Qian, et al. Subnormal solutions of second order nonhomogeneous linear periodic differential equations[J]. Commun Nonlinear Sci Numer Simulat, 2010,15: 881-885.

[5] CHEN Zongxuan, SHON K H. On subnormal solutions of second order linear periodic differential equations[J]. Science in China: Series A, 2007, 50(6):786-800.

[6] GUNDERSEN G G,STEINBAT E M. Subnormal solutions of second order linear differential equations with periodic coefficients[J]. Results in Math,1994, 25:270-289.

[7] YANG C C. On factorization of entire functions satisfying differential equations[J]. Kodai Math J, 1991,14:123-133.

[8] GUNDERSEN G G. Estimates for the logarithmic derivative of a meromorphic functions, plus similar estimates[J]. J London Math Soc,1988, 37(2):88-104.

Keywords： higher order linear differential equation; subnormal solution; periodic coefficient

【责任编辑 庄晓琼】

SUBNORMALSOLUTIONSOFHIGHERORDERLINEARDIFFERENTIALEQUATIONSWITHPERIODICCOEFFICIENTS

HUANG Zhibo1, LI Qian2*

(1.School of Mathematics, South China Normal University, Guangzhou 510631, China;2. Department of Applied Mathematics, South China Agricultural University, Guangzhou 510640, China)

The representations of subnormal solutions for the higher order linear differential equation

2009-03-30

国家自然科学基金资助项目(10871076);华南师范大学数学科学学院青年教师基金资助项目

黄志波(1977—),男,江西东乡人,博士,华南师范大学讲师, 主要研究方向: 复域差分方程和复域微分方程, Email:hzbo20019@sina.com.

*通讯作者

1000-5463(2010)01-0005-04

O174.5

A