一类解析函数子类的Fekete-Szegö不等式

刘名生, 崔志锋

(华南师范大学数学科学学院,广东广州 510631)

一类解析函数子类的Fekete-Szegö不等式

刘名生, 崔志锋

(华南师范大学数学科学学院,广东广州 510631)

定义了解析函数类Mα(φ) (αgt;1),得到了它精确的Fekete-Szegö不等式.作为Fekete-Szegö不等式的应用,得到了通过分式微分定义的函数类的Fekete-Szegö不等式.

解析函数; 从属; 卷积; Fekete-Szegö不等式

记A表示具有如下形式

(1)

的全体解析函数f(z)所成的函数类, S表示A中的单叶函数子类.

1933年，FEKETE和SZEGÖ在文献[1]中首先对单叶函数类S建立了如下结果:

由此开始,许多作者对各种解析函数子类的Fekete-Szegö不等式进行了研究. 2002 年, 刘名生在文献[2]中引入了函数类

并且研究了它的Fekete-Szegö问题.

本文首先定义了新的解析函数类Mα(φ) (αgt;1), 得到了它的Fekete-Szegö不等式. 作为应用,本文也得到了通过分式微分定义的函数的Fekete-Szegö不等式.

1 定义与引理

为了得到主要结果, 首先引入下面的引理:

引理2[3]如果p1(z)=1+c1z+c2z2+c3z3+…是Δ内具有正实部的解析函数, 则对任意的实数ν, 有

同时, 当0lt;νlt;1 时不等式还可以改进为:

和

2 Fekete-Szegö不等式

在此首先说明, 本文所得结果都是精确的,因此不一一写出.

(2)

定义函数p1(z)为

(3)

1+b1z+b2z2+…

(4)

根据式(2)、(3)和式(4),可以得到

(5)

又由式(4)及αgt;1, 可得

(6)

当f(z)取A中满足下面方程的函数时等号成立:

和

定理2 设φ(z)=1+B1z+B2z2+B3z3+…满足定义1 的条件. 如果f(z)由式(1)给出, 并且属于Mα(φ), 则对任意的实数ν, 有

其中

1+b1z+b2z2+…

(7)

(8)

和

□

若σ1≤μ≤σ2, 根据引理2,定理2可以被改进为:

和

3 Fekete-Szegö不等式在由分式微分定义的函数类中的应用

定义2[7-8]假设函数f(z)是z平面上一个包含原点的单连通区域内的解析函数. 定义函数f(z)的δ阶分式微分为

这里(z-ζ)-δ的重数当z-ζgt;0 时log(z-ζ)取实数的情况下可以去掉.

其中

6:=,

7:=.

和

那么, 由定理 4 和定理 5分别得到下面的推论 3 和推论 4.

其中

[1] FEKETE M, SZEGÖ G. Eine bermerkung uberungerade schlichte functionen[J]. J London Math Soc,1933,8:85-89.

[2] 刘名生.某类解析函数的Fekete-Szegö不等式[J]. 数学物理学报, 2002,22A(1):8-14.

LIU Mingsheng. The Fekete-Szegö inequality for certain class of analytic functions[J]. Acta Mathematica Scientia,2002,22A(1):8-14.

[3] MA W, MINDA D. A unified treatment of some special classes of univalent functions[C]// LI Z,REN F,YANG L,et al.Proceedings of the Conference on Complex Analysis.Beijing:International Press Inc,1994:157-169.

[4] SHANMUGAM T N, SIVASUBRAMANIAN S. On the Fekete-Szegö problem for some subclasses of analytic functions[J]. J Inequal Pure and Appl Math,2005, 6(3):Art 71,6pp.

[5] RAVICHANDRAN V, BOLCAL M, POLATOGLU Y, et al. Certain subclasses of starlike and convex functions of complex order[J]. Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics, 2005,34:9-15.

[6] POMMERNKE C H. Univalent functions[M].Göttingen:Vandehoeck and Ruprecht,1975.

[7] OWA S. On the distortion theorems I[J]. Kyungpook Math J,1978,18:53-58.

[8] OWA S, SRIVASTAVA H M. Univalent and starlike generalized hypergeometric functions[J].Canad J Math, 1987, 39:1057-1077.

Keywords： analytic functions; subordination; convolution; Fekete-Szegö inequality

【责任编辑 庄晓琼】

FEKETE-SZEGÖINEQUALITIESFORSOMESUBCLASSESOFANALYTICFUNCTIONS

LIU Mingsheng, CUI Zhifeng

(School of Mathematics, South China Normal University, Guangzhou 510631, China)

A class of analytic functions Mα(φ) (αgt;1) is defined, and some sharp Fekete-Szegö inequalities are obtained. As the applications, Fekete-Szegö inequalities of functions defined through fractional derivatives are also obtained.

2009-03-31

国家教育委员会博士基金资助项目(20050574002)

刘名生(1965—), 男, 江西大余人, 博士,华南师范大学教授,主要研究方向：复分析，Email:liumsh@scnu.edu.cn.

1000-5463(2010)01-0001-04

O174.51

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