二维Landau-Lifshitz-Darwin耦合模型整体弱解的存在性

黄丙远, 丁时进

(华南师范大学数学科学学院，广东广州 510631)

二维Landau-Lifshitz-Darwin耦合模型整体弱解的存在性

黄丙远, 丁时进*

(华南师范大学数学科学学院，广东广州 510631)

运用先验估计和Galerkin方法,证明了二维Landau-Lifshitz方程耦合Maxwell方程的Darwin模型的整体弱解存在性.

整体弱解; Landau-Lifshitz方程; Darwin模型; Galerkin方法

本文考虑二维Landau-Lifshitz方程耦合Maxwell方程的Darwin模型

ut=u(Δu+HD)-u(u(Δu+HD)),

(1)

-Δ(HD+u)=×f+××u,

(2)

(3)

(4)

(5)

关于Maxwell 方程耦合Landau-Lifshitz 方程，已经有了很多工作.例如， GUO和SU[1]利用Galerkin方法建立了在三维空间中周期初值的整体弱解存在性，DING等人[2]利用Galerkin 方法及粘性消失逼近获得了Landau-Lifshitz-Maxwell方程的整体弱解存在性, CARBOU和FABRIE[3]利用Ginzburg-Landau逼近方法证明了在三维空间中Neumann 边值的整体弱解存在性，并且通过时间平均方法研究了弱解的长时间性态.

但是, 当没有高频现象或电流变化不快时，Darwin模型是Maxwell方程组的一个很好的逼近模型，已在文献[4]-[6]中研究过. Landau-Lifshitz方程耦合Darwin模型的局部正则解在文献[7]中已研究，本文考虑它在二维空间中整体弱解的存在性.

本文考虑的Landau-Lifshitz-Darwin模型是包含着Landau-Lifshitz方程与Darwin模型. 对于方程(5),容易得到它的解，我们只需要研究方程(1)～(4),证明它的周期边值的整体弱解存在性.

我们称函数f(x)为2D-周期函数, 如果f(x+

2Dei)=f(x) (i=1,2), 其中(e1,e2)为2的单位正交基,常数D>0.

这里对方程(1)～(4)提出下面初值条件

(6)

本文假设u0(x)是2D-周期. 我们记Ω⊂2 为二维空间中每个方向的宽度都是2D的, 也就是，Ω={x=(x1,x2)xixΩ, 0

注1 有关方程(2)～(4)的推导如下：

(7)

(8)

(9)

(10)

引理2[10]设ξ(t)在[0,T]上对几乎处处的时间t是非负可积函数，对于常数C1,C2≥0有积分不等式

成立. 那么，对于几乎处处的时间0≤t≤T，成立不等式

ξ(t)≤C2(1+C1eC1t).

引理3[11]设Banach空间X⊂E⊂Y且满足X＇＇E. 那么下面的嵌入是紧的, 如果1≤q≤∞,或1

1 初边值问题的逼近解

本部分我们将利用Galerkin方法获得问题(1)～(4)及(6)的整体弱解存在性.

设ωn(x) (n=1,2,3,…)为问题-Δωn=nωn,ωn(x-Dei)=ωn(x+Dei)的特征函数，且n(n=1,2,3,…)为相应的不同的特征值. 我们构造方程(1)～(4)及(6)的Galerkin近似解

(11)

(12)

(13)

(14)

初值条件

(15)

显然成立

(16)

方程(11)写成以下形式

也就是

(17)

方程(12)写成以下形式

(18)

类似地, 方程(13)写成以下形式, 有

(19)

联合方程(17)和方程(18),我们得到关于αsN(t) (s=1,2,…,N)的非线性常微分方程

(20)

初值条件

(21)

问题(20)～(21)可归结为下面的一阶常微分方程

根据常微分方程组的基本理论, 方程组(11)～(16)存在唯一局部解. 由下面的先验估计，令N→∞，我们得到方程组(11)～(16)的整体解.

(22)

(23)

其中常数C,C1,C2,C3,C4不依赖于N.

方程(12)对时间t求导,得

(24)

把方程(3)变为

所以式(23)成立,其中C3=C2C2,C4=C2+C.

引理5 在引理4的条件下,对于初边值问题(11)～(16)的解, 有以下结果:

(25)

(26)

(27)

其中常数C5,C6,C7,C8不依赖于N,2≤p<∞,q<2.

证明(1)用αsN(t)与方程(11)做向量积，并对s=1,2,…,N求和,得

那么成立

(28)

(29)

用βsN(t)与式(11)做向量积, 并对积分求和，得

εuN

(30)

应用引理1、引理4与式(28),得

(31)

(32)

其中

用βsN(t)与式(12)相乘,对s=1,2,…,N求和再应用Cauchy不等式, 得

令ε=1/4,那么

(33)

联合式(32)与(33),有

C13+C14uN,

(34)

其中

联合式(28)、(33)及(34),应用Gronwall不等式, 我们可得到式(25)、(27).利用嵌入定理及Hölder不等式,式(26)成立. 证毕.

引理6 在引理4的条件下,对于初边值问题(11)～(16)的解存在不依赖于N的C15>0，使得

(35)

其中p≥2.

(36)

当s≥N+1, 成立

那么利用引理5,成立

证毕.

在引理6中取p=6,再应用引理4，有下面推论:

推论1 在引理4的条件下,对于初边值问题(11)～(16)的解存在不依赖于N的C16,C17>0,使得

(37)

2 弱解的存在性

首先, 类似于定义, 我们也可以定义问题(1)～(4)的弱解. 现在我们来证明下面定理.

(38)

(39)

(40)

(41)

∀p≥2;

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

由式(41)与式(45)及引理3，有

uN(x,t)→u(x,t) inLp(QT), ∀p≥2.

(47)

类似式(47)的证明，用式(43)、(46)及引理3,得

(48)

(49)

用ηs(t)分别与式(11)～(13)做向量积，并对s=1,2,…,N的积分求和, 然后分部积分，得

(50)

(51)

(52)

利用引理4～引理6, 当N→+∞时，成立

(Ⅰ)

事实上

(Ⅱ)

(Ⅱ)的证明和(Ⅰ)的证明类似，故此略去.

(Ⅲ)

事实上

为了处理式(50)的最后一项，我们需要证明下面式子成立.

(1)uNi=1,2;

(53)

(54)

(asN→+∞),

其中已经用到式(41)、(47). 因此式(53)得证.

现在需要证明式(54). 由引理5知，(uN在L2(QT)中关于N一致有界, 那么(uN存在一个序列仍然记为(uN与一向量U(x,t)L2(QT), 使得对任意试验函数Ψ(x,t)C1(QT), 当N→+∞时，有

另一方面, 当N→+∞时,

其中已用到式(53). 事实上，当N→∞时，

(55)

那么有

因此在分布意义下下式成立：

uΔu=(U-(uH))L2(QT).

所以式(54)得证. 我们只需要证明

事实上，

IN+JN+KN+LN.

由式(53), 当N→+∞时IN→0成立. 同时, 当N→+∞时, 成立

|JN|uN

类似地可得, 当N→+∞时，KN→ 0,

[1] GUO B L, SU F Q. Global weak solutions for the Landau-Lifshitz-Maxwell equation in three space dimensions[J]. J Math Anal Appl, 1997,211: 326-346.

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[11] GUO B L, DING S J. Landau-Lifshitz equations[M]. Singapore: World Scientific, 2008.

Keywords： global weak solution; Landau-Lifshitz equations; Darwin model; Galerkin method

【责任编辑 庄晓琼】

GLOBALEXISTENCEOFWEAKSOLUTIONSFOR2DLANDAU-LIFSHITZEQUATIONSCOUPLEDWITHDARWINMODEL

HUANG Bingyuan, DING Shijin

(School of Mathematics, South China Normal University, Guangzhou 510631, China)

By using a priori estimate and the Galerkin method, the existence of the global weak solution for the two dimensional Landau-Lifshitz equation coupled with Darwin model of Maxwell equation is obtained.

2009-10-30

国家自然科学基金资助项目(10471045);广东省自然科学基金资助项目(7005795);国家973项目(2006CB805902)

黄丙远(1983—)，男，广东湛江人，华南师范大学2007级硕士研究生，Email：huangby8@yahoo.cn;丁时进(1959—), 男, 湖南常德人, 博士, 华南师范大学教授,博士生导师，Email：dingsj@scnu.edu.cn.

*通讯作者

1000-5463(2010)03-0024-07

O175.4

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