一类β级扩展的Bazilevic函数及其Fekete-Szegö问题

鲍春梅， 李书海

(赤峰学院数学学院,内蒙古赤峰 024001)

一类β级扩展的Bazilevic函数及其Fekete-Szegö问题

鲍春梅， 李书海

(赤峰学院数学学院,内蒙古赤峰 024001)

引进了一类β级扩展的Bazilevic函数，讨论了该类函数的Fekete-Szegö问题，给出了极值函数，并改进了一些已有的相关结果.

单叶函数； Bazilevic函数； 从属于； Fekete-Szegö不等式

显然B(α,0,0)为熟知的Bazilevic函数类.

设f(z)与g(z)在E内解析，若存在E内满足|w(z)|≤|z|的解析函数w(z)(不必单叶)，使得f(z)=g(w(z))，则称f(z)从属于g(z)，记为f(z)g(z).

文献[2]-[4]分别研究了某些星像函数类和近于凸函数类Fekete-Szegö的问题；文献[5]研究了某Bazilevic函数子类的Fekete-Szegö问题, 文献[6]讨论了一类扩展的Bazilevic函数子类：

文献[6]讨论了函数类A(α,0)，得到如下Fekete-Szegö不等式：

但并未给出不等式对应的极值函数.

本文的目的是讨论函数类A(α,β)的Fekete-Szegö不等式, 并得到极值函数.改进文献[6]的结果，从而给出了文献[6]没有讨论的极值函数.

为了在函数类A(α,β)中建立Fekete-Szegö不等式，需要如下2个引理：

引理1[8]设w(z)=d1z+d2z2+…在E内解析且满足|w(z)|≤|z|，则|d1|≤1，|d2|≤1-|d1|2.

下面给出本文的主要结果及其证明.

(1)

(α+1)a2=αb2+2d1(1-β)，

(2)

(3)

其中b2=p1=2ρeiφ,0≤ρ≤1.

2(1-β)(1-r2)+2(1-β)(β+(1-β)x)r2cos(2θ)，

其中d1=reiθ,0≤r≤1.所以

其中

ψ(x)=2α(1-ρ2)+2α2xρ2cos(2φ)+2(1-β)(1-r2)+

2(1-β)(β+(1-β)x)r2cos(2θ)+

4(1-β)αxrρcos(φ+θ).

ψ(x)≤2α+2α2x+2(1-β)-

2(1-β)[(1-(β+(1-β)x)cos(2θ))r2-2αxr]=

2α+2α2x+2(1-β)-2(1-β)(1-(β+

所以

当μ1≤μ≤μ2时，不存在对应的极值函数.

2α+2(1-β)+2α(1-β)，

所以

ψ(x)=ψ(x0)+(x-x0)(2α2ρ2cos(2φ)+

2(1-β)2r2cos(2θ)+4(1-β)αrρcos(φ+θ))≤

2α+2(1-β)+2α(1-β)+

(x-x0)(2α2+2(1-β)2+4(1-β)α)=

2α+2β(1-β)+2[α+(1-β)]2x=

所以

当0≤μ≤μ1时，不存在对应的极值函数.

ψ(0)=2α(1-ρ2)+2(1-β)(1-r2)+

2β(1-β)r2cos(2θ)≤2α+2(1-β).

ψ(x1)-2(α+(1-β))=

-2αρ2+2α2x1ρ2cos(2φ)-

2(1-β)(1-(β+(1-β)x1)cos(2θ))×

[(α+1+αcos(2φ))(α+1-(β(α+1)-

(1-β))cos(2θ))-α(1-β)cos2(φ+θ)].

令

M(β)=(α+1+αcos(2φ))(α+1-(β(α+1)-

(1-β))cos(2θ))-α(1-β)cos2(φ+θ)，

则M(β)是β的一次函数，且

M(0)=2αcos2φcos2θ+αcos2θ+αcos2φ+2cos2θ+

2α2cos2φ+2αcosφcosθsinφsinθ≥

cos2θsin2φ+α2cos2φsin2θ+2αcosφcosθsinφsinθ=

(cosθsinφ+αcosφsinθ)2≥0，

M(1)=(α+1+αcos(2φ))(α+1-(α+1)cos(2θ))=

2(α+1)(1+2αcos2φ)sin2θ≥0，

故当0≤β<1时，M(β)≥0，从而ψ(x1)≤2α+2(1-β).对于0≤≤1，有

ψ(x1)=ψ(x1)+(1-)ψ(0)≤

2α+2(1-β)，

当b2=0,b3=2,d1=0,d2=1时等号成立.当α>0时，对应的极值函数为

当α=0时，对应的极值函数为

综上所述，本定理得证.

注1 定理1中β=0时，就得到定理A的改进及其对应不等式的极值函数.

1)当0≤μ≤μ1和μ1≤μ≤μ2时，不存在对应的极值函数.

2)当μ2≤μ≤1时，存在对应的极值函数. 当α>0时，对应的极值函数为

当α=0时，对应的极值函数为

[1] FEKETE M, SZEGÖ G. Eine bermaerkung uber ungerade schlichte function[J]. London Math Soc, 1933, 8: 85-89.

[2] 刘名生. 强拟星象函数的Fekete-Szegö不等式[J]. 数学研究与评论，2000，18(1): 99-104.

LIU Mingsheng.The Fekete-Szegö inequality for strongly Quasi-Starlikefunctions[J]. Journal of Mathematics Research and Exposition, 2000，18(1)：99-104.

[3] 郭栋，刘名生.关于解析函数类的Fekete-Szegö问题[J].华南师范大学学报:自然科学版，2007(2)：33-38.

GUO Dong, LIU Mingsheng.On the Fekete-Szegö pro-blem for the class of analytic functions[J]. Journal of South China Normal University:Natural Science Edition, 2007(2):33-38.

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LI Zongtao, LIU Mingsheng.The functional of coefficients for a class of analytic functions[J]. Journal of South China Normal University:Natural Science Edition, 2005(3):86-91.

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[6] 张洪光，李书海. 关于Bazilevich函数族的一个扩展及其Fekete-Szegö问题[J].纯粹数学与应用数学，2008，24(1)：167-173.

ZHANG Hongguang,LI Shuhai.On an expand for a class of Bazilevich function and Fekete-Szegö problem[J].Pure and Applied Mathematics,2008,24(1)：167-173.

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LI Shuhai,MU Lin.A class of analytic functions about Close-To-Convex functions[J].Journal of Mathema-tics, 2005，25(4)：428-434.

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[9] 泊茂仁克 CH.单叶函数[M]. 杨维奇,译.北京：科学出版社，1987.

Keywords： univalent function； Bazilevic function； subordinate； Fekete-Szegö inequality

【责任编辑 庄晓琼】

ACLASSOFβRANKEXPANDEDBAZILEVICFUNCTIONANDFEKETE-SZEGÖPROBLEM

BAO Chunmei， LI Shuhai

(Department of Mathematics, Chifeng Colloge, Chifeng, Inner Mongolia 024001, China)

A class ofβrank expanded Bazilevic function is introduced. The Fekete-Szegö problem of this class is discused and the extremal function is given, which generalize some existing results.

2009-09-14

内蒙古自治区自然科学基金资助项目(2009MS0113)；内蒙古高校科研基金资助项目(NJzy08150)

鲍春梅(1962—),女，蒙古族，内蒙古赤峰人，赤峰学院副教授，主要研究方向：复分析及其应用， Email:baochunmei19621020@126.com.

1000-5463(2010)03-0007-04

O174.51

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