二维泊松方程的交替方向迭代法

刘相国，谢如龙，郝江锋

（巢湖学院数学系，安徽巢湖 238000）

二维泊松方程的交替方向迭代法

刘相国，谢如龙，郝江锋

（巢湖学院数学系，安徽巢湖 238000）

利用交替方向迭代法求解二维泊松方程边值问题，得到了相应的误差分析，并进行了数值模拟，模拟结果表明该方法是可行的、有效的。

泊松方程；交替方向迭代法；误差

0 引言

在许多学科领域（如：物理学、力学、热传导学、声学、电磁学）和工程技术中，很多问题可以用微分方程描述。微分方程是描述与刻画物理过程、系统状态、社会与生物现象的有力工具，是数学科学联系实际的主要途径之一。要想“探求自然界的奥秘在于解微分方程”（牛顿）。这种由“原因”推得“结果”的探索过程无疑在人类认识自然与改造自然中起到了重要的作用。微分方程的数值解〔1-3〕是解决上述问题的有力工具。本文利用交替方向迭代法研究了Poisson方程边值问题〔4-5〕，并进行了误差性分析〔6-8〕，进行了相应的数值模拟，取得了较满意的数值试验结果。

1 数学模型

考虑以下的边值问题：

在区域Ω上，取沿x轴与y轴方向的步长分别为h1和h2，记h＝max（h1，h2），并有xi＝ih1，yj＝jh2，（i，j＝0，1，2…）。

设xi，j为内网点，对充分光滑的函数u，沿x轴方向由T aylor展式

这里［］i，j表示括号内的函数在xi，j处取值。类似

同样有：

（3）式与（2）式相减，并除以h1，则得

同理

2 交替方向迭代法

引进矩阵L1，L2：对向量u＝｛ui，｝j，定义〔9-10〕

即可将（6）写成

有交替方向PR迭代

按层合并，得

3 误差分析

差分解u＝｛ui，j｝满足（7）和（8）。因此迭代误差e（k）＝u－u（k）满足下方程〔11-12〕

假定τk＞0，则左端矩阵有逆。消去过渡层，得递推式：

因为L1，L2的乘积可换序知，Tk是对称矩阵，其特征值λlm（k），这样可得

4 数值算例

为了检验上述方法的有效性，利用上述算法编制程序进行数值模拟。

考虑P oisson方程第一边值问题

其中f（x，y）=2π2sin（πx）sin（πy），u（x，y）=sin（πx）sin（πy）

算例1：用PCG法求解（9），数值解、真解与数值解的误差解剖图，见图1。

图1 PCG法求解误差解剖图

当n＝10时，最大误差：0.107 7 运行时间T：0.388 2（s）

当n＝12时，最大误差：0.070 2 运行时间T：0.498 0（s）

算例2：用交替方向迭代法求解（9），数值解、真解与数值解的误差解剖分图如下

图2 交替方向迭代法求解误差解剖图

当n＝10时，最大误差：0.030 4 运行时间T：7.079 9（s）

当n＝12时，最大误差：0.023 2 运行时间T：8.433 6（s）

算例3：用CG法求解（9），数值解、真解与数值解的误差解剖图，见图3。

图3 CG法求解误差解剖图

当n＝10时，最大误差：1.571 2 运行时间T：0.123 0（s）

当n＝12时，最大误差：1.802 3 运行时间T：0.178 7（s）

5 结论

本文利用交替方向迭代法研究了Poisson方程边值问题，并建立了相应的误差估计。通过数值模拟可以看出，PCG法，CG法，交替方向迭代法求解此类问题都具有效性和可行性。但交替方向迭代法比PCG法，CG法，数值试验结果更好，更有效。

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On Alternating Direction Iteration M ethod of Two-dimensional Poisson Equation

LIU Xiangguo，XIE Rulong，HAO Jiangfeng
（DepartmentofMathematics,Chaohu Collge,Chaohu Anhui，238000）

In this paper,through the use of the alternating direction iteration method,two-dimensional Poisson equation with boundary conditions is resolved；the corresponding error estimation can be obtained.And then the numerical solution simulation is carried out.The numerical results show that thismethod is feasible and efficient.

Poisson equation;alternating direction iterationmethod;error

O241.82

A

1672-2345（2010）10-0001-05

巢湖学院科研基金资助项目（XLY-201006）

2010-08-24

刘相国，讲师，主要从事偏微分方程数值解研究.

（责任编辑 董 杰）