一类新广义Jordan(α,β)-导子的刻画

杜卫平,王素芹

(陕西职业技术学院计算机科学系,陕西西安 710100;2.枣庄三中,277160)

一类新广义Jordan(α,β)-导子的刻画

杜卫平1,王素芹2

(陕西职业技术学院计算机科学系,陕西西安 710100;2.枣庄三中,277160)

设Tn(R)是一个含单位元的可交换环R上的上三角形矩阵代数,M是Tn(R)的-双模,引进了广义Jordan (α,β)-导子,刻画了上三角形矩阵代数上的广义Jordan(α,β)-导子的特征性质.

导子;广义(α,β)-导子;广义Jordan(α,β)-导子.＊

0 引言及预备知识

导子和广义Jo rdan导子在代数上是一个重要的课题,本文在文献[1]的基础上,引进了另外一类广义Jo rdan(α,β)-导子的概念,并且刻画了上三角形矩阵代数上的广义Jo rdan(α,β)-导子的特征性质,为了叙述的方便,我们给出以下概念:

设R是一个含单位元的可交换环,A是环上的含单位元I的代数,M是A的-双模,我们称一个从A到M上的映射Δ是R-线性的,即对任意的r∈R,a,b∈A,我们有Δ(a+ b)=Δ(a)+Δ(b),Δ(ra)=rΔ(a),设α,β是A上的自同构.本文假设所有的双模M都是2-非挠的.

定义:(1)设φ:A→M是一个R-线性映射,如果对任意的a,b∈A有φ(ab)= φ(a)β(b)+α(a)φ(b),则称φ是(α,β)-导子.

(2)设φ:A→M是一个R-线性映射,如果对任意的a,b∈A有φ(ab)=φ(a)β(b) +α(a)(b),则称φ是广义(α,β)-导子,其中是(α,β)-导子.

(3)设δ:A→M是一个R-线性映射,如果对任意的a,b∈A有δ(ab)=δ(b)β(a) +α(b)(a),则称是广义(α,β)-反导子,其中是(α,β)-反导子.

(4)设Δ:A→M是一个R-线性映射,如果对任意的

1 主要结论

引例1.1 设Δ是一个-线性映射,下列命题是等价的

(1)Δ是广义Jo rdan(α,β)-导子;

证明 (1)⇒(2),令a=b,我们就得到(2.1),因为所有的模都假设是2-非挠的. (2)⇒(1),假设Δ(a2)=Δ(a)β(a)+α(a)(a),那么

(1)⇒(3),假设Δ是广义Jo rdan(α,β)-导子,那么

由(2.5),(2.6)展开可知(2.2)成立.

(3)⇒(2),令b=I知(2.1)成立,这样引理2.1成立.

由引理2.1知,假设ab=ba=0,

设Tn(R)是一个含单位元的可交换环R上的上三角形矩阵代数,M是Tn(R)的-双模,若Δ:Tn(R)→M是广义Jo rdan(α,β)-导子,令eij∈Tn(R),且eij表示第(i,j)个元素为1其余元素均为0的n×n矩阵.由(2.7)我们得到下面两个式子

对任意的1≤i

并且当k,j≠i时,由(2.8)知

根据(2.9)我们得到φ(eii)=Δ(eii),1≤i≤n.

引例1.2 线性映射φ:Tn(R)→M是广义(α,β)-导子.

情形1 j≠k时,那么φ(eijekl)=0,我们只要证明φ(eij)β(ekl)+α(eij)˜φ(ekl)=0.由(2.12)知

若i≠k时,那么由(2.11)知上式等于α(eii)[(eij)β(ekk)+α(eij)(ekk)]β(ekl)= 0.

若i=k时,

这样情形(1)成立.

情形2 j=k时,我们需要证明

若i

若i=j

若i

若i=j=l时,那么φ(eii)=Δ(eii)=Δ(eii)β(eii)+α(eii)(eii)=φ(eii)β(eii)+ α(eii)(eii).

这样对所有的i≤j,k≤l我们有φ(eijekl)=φ(eij)β(ekl)+α(eij)(ekl).对任意的a,b∈Tn(R),设a=aijeij,b=bklekl,其中aij,bkl∈R易证φ(ab)=φ(a)β(b)+ α(a)(b).所以φ是广义(α,β)-导子,这样引理2.1成立.令δ=Δ-φ,则δ(eij)= Δ(eij)-φ(eij),并且δ(eii)=Δ(eii)-φ(eii)=0,所以δ(Dn)=0.其中Dn是对角矩阵.

引例1.3 线性映射δ:Tn(R)→M是一个广义(α,β)-反导子,并且δ(Dn)=0.

证明 我们已经知道δ(Dn)=0,由(2.10)与(2.12)知,当i

所以δ(eij)=Δ(eij)β(eii)+α(eij)(eii)=(φ(eij)+δ(eij))β(eii)+α(eij)(eii)+ δ˜(eii))

=φ(eij)β(eii)+δ(eij)β(eii)+α(eij)(eii)+α(eij)(eii)=φ(eijeii)+δ(eij)β(eii)

=δ(eij)β(eii).由δ是广义Jo rdan(α,β)-导子知

所以

我们要证明δ是广义(α,β)-反导子,只要证明对任意的i≤j,k≤l都有δ(eijekl)=

成立即可.

情形1 j≠k时,那么δ(eijekl)=0我们只需证明δ(ekl)β(eij)+α(ekl)(eij)=0.

若i=k并且j=l时,那么由δ也是广义Jo rdan(α,β)-导子知δ(eijeij)=δ(eij)β(eij) +α(eij)(eij)=0.若i≠k并且j≠l时,那么

若i=k并且j≠l时,由(2.14)和(2.16)知

若i≠k并且j=l时,由(2.14)和(2.16)知

知δ(ekj)β(eij)+α(ekj)(eij)=α(ekj)(eij)=α(ekk)(ekjeij+eijekj)=α(ekk)(eij)=0.

情形2 j=k时,若i=j=l,那么δ(eii)=0=δ(eii)β(eii)+α(eii)(eii).

若i

那么δ(ejl)β(eij)+α(ejl)˜δ(eij)=δ(ejl)β(ejj)β(eij)+α(ejl)α(ejj)(eij)=0,

又因为δ(eil)=δ(eijejl+ejleij)=δ(eij)β(ejl)+α(eij)˜δ(ejl)+δ(ejl)β(eij)+ α(ejl)˜δ(eij)

=δ(eij)β(eii)β(ejl)+α(eij)α(ell(ejl)+δ(ejl)β(ejj)β(eij)+α(ejl)α(ejj)(eij)=0.

所以δ(ejl)β(eij)+α(ejl)(eij)=0=δ(eil).所以由情形1,情形2知(2.15)成立.

所以δ是一个广义(α,β)-反导子.

定理1.4 如果Δ:Tn(R)→M是一个广义Jo rdan(α,β)-导子,则它可以分解成一个广义(α,β)-导子φ和一个广义(α,β)-反导子δ之和,即Δ=φ+δ,其中δ(Dn)= 0.

证明:由引理(2.2)和(2.3)即可证明.

推论1.5 如果Δ:Tn(R)→M是一个广义Jo rdan(α,α)-导子,则它可以分解成一个广义(α,α)-导子φ和一个广义(α,α)-反导子δ,即Δ=φ+δ,其中δ(Dn)=0.

[1]孙亮吉,吉国兴.上三角形矩阵代数上的Jordan导子和广义Jordan导子[J].山东大学学报(理学版),2007,10:100 -105.

[2]孙亮吉,广义Jordan-导子和Jordan-同态的稳定性的刻画[J].山东大学学报(理学版),2008,12:77-79.

[3]FeiMa,Guoxing Ji.Generalized Jordan derivations on triangular matrix algebras[J].Linear and multilinear Algebra, 2007,55:355-363.

[4]D.Benkovic.Jordan derivations and an tiderivations on triangular matrices[J].Linear Algebra Appl,2005,397:235-244.

[5]M.Brecar.Jordan derivationson semi prime rings[J].Algebra1989,127:218-228.

Abstract:Let R be a commutative ring and let Tn(R)be an upper triangular matrix algebra over R,the concept of generalized Jordan(α,β)derivation is introduced and the properties of generalized Jordan(α,β)-derivation on upper triangular matrix algebras.

Keywords:Derivation;Generalized(α,β)-derivation;Generalized Jordan(α,β)-antiderivation.

Characterizations of a New Generalized Jordan Derivation

DUWei-ping;WANG Su-qin
(Computer Science Department,Shaanxi Insititute of Ocational and Technical, X i’an 710100,China)

O 177

A

1004-7077(2010)02-0019-04

2009-11-28

杜卫平(1979-),男,山东枣庄人,讲师,硕士,主要研究方向为算子代数.

[责任编辑:陈庆朋]