Hil ber t空间中加权框架的扰动性及其应用

马亚丽, 叶万洲

(上海大学 理学院,上海 200444)

Hil ber t空间中加权框架的扰动性及其应用

马亚丽, 叶万洲

(上海大学 理学院,上海 200444)

加权框架具有良好的冗余性,从而为信号重构和图像处理提供了非常有用的信息.借鉴对 Hibert空间中Riesz框架扰动和摄动的研究,着重讨论加权框架也具有类似的扰动性结果.另外,讨论了加权框架在实际信号消噪中的应用,并初步提出加权阈值消噪法的主要思想.

加权框架;Riesz框架;扰动性;阈值消噪;Hilbert空间

Abstract:Because the weighted frame possesses good redundancy,it supplies useful information for signal reconstruction and image p rocessing.Thispaper borrows ideas from the research on the Riesz frame perturbation in the Hilbert space,and in particular,discusses the top ic that a weighted frame has the similar perturbation result.Furthermore,application of weighted frames in the p ractical signal de-noising is considered,and the idea of the framed threshold de-noising isproposed.

Key words:weighted frames;Riesz frames;perturbation;threshold de-noising;Hilbert space

Hilbert空间中的框架理论概念起源于非调和Fourier级数的研究.1952年,Duffin等[1]在研究非调和 Fourier级数时正式提出框架的概念.小波分析中的框架通常是指 Hilbert空间中满足某种特性的一列向量组成的集合.框架是正规正交基的一般推广,是研究小波分析的一个主要工具,它在小波分析的发展中起到了非常重要的作用,广泛应用于信号处理、数据压缩、采样理论、数学领域本身等许多学科.

关于框架扰动性的研究,Christensen[2-3]做了大量的工作,并给出许多有意义的结果.本研究受其启发,对加权框架 (比一般框架具有更好的性质)做了类似讨论,并给出加权框架扰动的一个简洁形式.另外,讨论了加权框架在信号消噪中的应用,并初步提出一种改进的阈值消噪法——加权阈值消噪法的主要思想.

1 基本概念

定义 1[4]可分的 Hilbert空间 H中的向量序列{fi}i∈N称为框架,如果存在常数 A,B>0,使得任意 f∈H,有

式中,A,B为框架界.若框架界 A=B,则框架{fi}i∈N称为紧框架;若 A=B=1,则框架{fi}i∈N称为孤立框架.最优框架界 Aopt和 Bopt分别为满足上不等式的所有A的最大值和B的最小值.

事实上,当框架{fi}i∈N为孤立框架且‖fi‖=1时,框架{fi}i∈N即为 H的标准正交基.

注:本研究涉及到的所有的 H均为可分的Hilbert空间,N为自然数集.

定义 2[5]对序列 {wi}i∈N,如果存在常数 b≥a>0,使得对所有的 i∈N,都有 a≤wi≤b,则称序列{wi}i∈N为半正规序列.

定义 3[5]设 F={fi}i∈N是 H中一族 ,{wi}i∈N为一正序列,称 F={fi}i∈N为 H的加权框架,如果存在两个常数 0

事实上,正序列 {wi}i∈N也称作加权框架 F={fi}i∈N的严格正的权.

定义 4[6]序列{fi}i∈N⊆H称为 Riesz基 ,如果{fi}i∈N在 H中完全且存在常数 m,M>0,使得任意数列 {ci}i∈N∈l2(N),有

满足该不等式的最大的 m和最小的M称为 {fi}i∈N的 Riesz基常数.若 {fi}i∈N的每个子列都是框架点列且具有一致的下界,框架 {fi}i∈N⊆ H称为 Riesz框架.

2 基本定理及引理

引理 1[7]框架与半正规序列的乘积仍为框架,即设{wi}i∈N是界为 a,b的半正规序列,如果{fi}i∈N是界为 A,B 的框架 ,则 {wifi}i∈N也为框架 ,且框架界为 a2A,b2B.

注:引理 1仅为充分不必要条件,非半正规序列与框架的乘积也可以构成加权框架,甚至有些非有界的序列亦可.虽然权序列非半正规且无界,但{wn,lφn,l}={0}∪{en}仍是框架.

引理 2[8]设{fi}i∈N是 H中的框架,则下列条件等价:

(1){fi}i∈N是 Riesz框架 ;

(2)存在 A>0,对任意满足{fi}i∈N线性无关的有限集Δ⊆N,{fi}i∈N有下 Riesz基常数 A.

定理 1 设{wi}i∈N是界为 a,b的半正规序列,{fi}i∈N是 H中的 Riesz框架 ,则序列 {wifi}i∈N也是H中的 Riesz框架.

该定理的应用很广泛,比如在信号重构中,如果给定的 Riesz框架不能很好的重构信号,可以通过给其适当的权值,来减小重构信号与原信号的误差.

3 加权框架的扰动性结果

定理 2 设 {wi}i∈N是界为 a1,b1的半正规序列,为 H中的加权框架,且框架界为 a21A,是 H中的一个序列 ,其中 {μ}是界

定义算子 T:span{wifi}i∈N→ H,使得

显然 T是定义好的线性算子.由文献 [9]知,T可延拓到整个 Hilbert空间且可逆,并且有

所以 ,{μigi}i∈N是 H上的 Riesz框架.

4 加权框架的应用

之所以加权框架引起越来越多学者的注意,是因其比一般框架具有更好的冗余性,而框架的冗余性有助于在低精度下比较精确地重构信号,具体表现在数值稳定、误差小等方面.在实际应用中,该冗余性所带来的成效也是显著的.

例 定义 CN中的标准正交基 B={b1,b2,…,bN},和一冗余度为 2的加权框架 G={g1,g2,…,g2N}={b1,b1,b2,b2,…,b2N,b2N},其中 N是自然数.下面分别用以上定义的标准正交基和加权框架来逼近被噪声σjε污染的信号f(其中σj～N(0,1),j=1,2,…,N).

法 1 用正交基来恢复,其重构的期望误差为

显然,法 2的期望误差仅是法 1的 1/2,也就是说,框架越冗余越能更好的逼近信号.

另外,我们猜想能否将加权的思想应用于小波消噪.例如,对某一有限离散含噪信号 {f(k)}k=K1k=-K1进行消噪,其中 K1以及后面的 N,M,K均为自然数.按照传统的做法,首先,要对其进行M层小波分解,并分别记录尺度系数 cj(j=N-1,N-2,…,N-M)和小波系数 dj(j=N-1,N-2,…,N-M);其次,选取每层阈值,并对小波系数 dj(j=N-1,N-2,…,N-M)进行阈值处理,大于阈值的系数保留,而小于阈值的系数用零替代,这样无疑主观地夸大了大于阈值部分噪声信号的作用,而磨灭了低于阈值部分的有用信号在信号重构中的作用.为了弥补这一缺憾,我们试想给其加权,即通过加权,增强信号所需部分,压制信号不需要的部分而不是完全的滤掉.由此,我们对大于阈值的系数用 mj(j=0,1,…,K)标记,并给其权ωj(j=0,1,…,K);小于阈值的系数用 nj(j=0,1,…,K)标记,并给其权ηj(j=0,1,…,K)(其中 ωj+ηj=1).再次,我们令 dj=

该研究的基本思想是容易理解的,但目前还存在一些问题.比如,该方法是否具有稳定性,即最后结果是否依赖初始值的选取,以及 Q的最优解的求解方法等,这些都是将要进一步研究的问题.

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[11] 程乾生.信号数字处理的数学原理 [M].2版.北京:石油工业出版社,1993:744-749.

(编辑:孟庆勋)

Per turbation of W eighted Frames in Hil ber t Space and Applications

MA Ya-li, YEWan-zhou
(College of Sciences,ShanghaiUniversity,Shanghai200444,China)

O 174.2

A

1007-2861(2010)03-0277-04

10.3969/j.issn.1007-2861.2010.03.012

2008-12-09

国家自然科学基金资助项目(60672160)

叶万洲 (1963～),男,副教授,博士,研究方向为小波分析及其应用.E-mail:yewanzhou@eyou.com