基于工作过程的中职数学建模教学实践

□陈建忠

基于工作过程的中职数学建模教学实践

□陈建忠

以冲模板加工三角形孔的工作任务案例，对基于工作过程的中职数学建模教学进行了尝试性实践。基于工作过程的数学建模教学，目的在于构建全新的中职数学教学，既可以弥补当前数学基本概念（定理、法则等）教学与生产生活的实践应用环节教学的不足，又可以达到真正提高学生数学基础知识、技能与能力，以及职业技能的目的与要求。形成中职数学教学新特点：抽象问题直观化，复杂问题简约化，过程问题程序化，无序问题规范化。

工作过程；中职数学；建模教学

在职业教育改革的热潮中，中职数学教学改革在摸索中艰难前行。一直以来，从行政管理者、专家学者到一线课任教师对中职数学教学的改革充满着激烈的冲突。综观中职数学教学改革过程中的冲突，集中表现在以下四个方面：第一，中职数学学科该教哪些内容，深度广度该怎样控制？第二，中职数学学科内容以怎样的方式进行教学，嵌入到专业课程教学还是进行系统的数学学科式教学？第三，中职数学学科分模块阶段性教学还是按照数学学科体系整体性进行教学？第四，中职数学应用性问题教学该怎样的定位，该怎么进行教学？这些问题的冲突充分凸现了中职数学教学改革的深入争论与一线教师在教学改革过程中的实践性困惑。

中等职业学校数学教学新大纲的颁布，进一步厘清了中等职业学校数学课程的基本任务，“使学生掌握必要的数学基础知识，具备必需的相关技能与能力，为学习专业知识、掌握职业技能、继续学习和终身发展奠定基础”[1]。在新大纲的具体表述中，充分阐述了以数学核心概念（知识）为主干体系，生产生活的实践应用为教学载体的数学课程。严格要求中职数学课程与教学以一种全新理念进行重组与开发，为中职数学课程改革提供保障与支撑，为学生的成长奠基。从新大纲教学要求看，我认为构建基于工作过程的中职数学建模教学新体系，已成为中等职业教育数学教学改革的方向。

一、对“基于工作过程的中职数学建模教学”的基本思考

（一）“基于工作过程的中职数学建模教学”的内涵界定

基于工作过程的数学建模教学模式，以工作任务及其工作过程为依据整合、细化数学教学内容，科学的设计数学建模工作任务，最终达到教、学、做相结合，数学知识教学与实践应用形成一体化。基于工作过程的数学建模教学，目的在于构建全新的中职数学教学，既可以弥补当前数学基本概念（定理、法则等）教学与生产生活的实践应用环节教学的不足，又可以达到真正提高学生数学基础知识、技能与能力，以及职业技能的目的与要求。

基于工作过程的中职数学建模教学，教师从具体的工作任务出发，设定数学学习情境，然后将工作任务分解成为完成任务的多个小任务，产生学习单元，从而带动学生进行数学基础知识学习与实践操作，这样每一位学生通过对提出的工作任务进行认知、理解和知识的运用，提出解决问题的方案，既可以为每一位学生的思考、探索、发现和创新提供开放的空间，又能充分调动学生学习的主观性和能动性，提高学生发现问题、分析问题和解决问题的能力[2]。

（二）“基于工作过程的中职数学建模教学”的基本流程

基于工作过程的数学建模教学，根据不同的专业，确立核心数学概念与工作任务相结合的方式组织教学内容，打破传统的以章、节为基础的知识讲解，而是将完成某一主题的工作任务所需要的各个知识点进行整合，形成各个教学单元。特别把握住工作过程的数学建模教学的新特点：抽象问题直观化，复杂问题简约化，过程问题程序化，无序问题规范化。

通过核心数学概念（定理、法则等）与工作任务整合的方式，生成“基于工作过程的数学建模教学”基本流程图（见下图）。

基于工作过程的数学建模教学，要求任课教师采用基于行动导向的教学方法。每次教学任务要有确定的数学知识、技能与能力训练目标，选定训练载体——工作过程中的具体工作任务，围绕工作任务的载体，设计数学能力及职业能力的训练过程，即进行数学建模任务训练，使整个过程以学生为主体，选择行动导向的教学方法，切实做好教学过程的任务设计与建模实践。

（三）“基于工作过程的中职数学建模教学”的教育追求

纵观中等职业学校数学教学新大纲的变化，突出体现了从应用性问题切入到数学概念的教学，从高度的抽象中还原数学的原生态，把学生的学习引领到过程认识与问题分析、解决及再创造的能力，充分体现了中职数学学科的教育功能与职业教育的特点。基于工作过程环境下的数学建模教学充分切合了数学教学新大纲的变化，我们从以下三个方面来体现教育追求。

1.全国职业教育科研机构2007年5月基本信息调查表明，人的职业技能85%以上是在工作岗位上形成的。既然如此，就没有必要把那些只是为了体现数学学科本身的体系、逻辑，或者是借以用来表明数学学科的水准、高度而学生确实学无致用又力所不及的内容放进课程，那些完全可用计算机（器）来完成的繁琐计算、推理、证明等，也没有必要用来挤占学生的学习时间。而应该引导学生把更多的时间、精力和聪明才智用在动手实践，用在创造、创新和发展自己的个性、特长上，尽量考虑到社会需求的实际，做到以实用为本，以够用为度，这应是中职数学课程设置建模教学的主导思想。

2.基于工作过程环境下数学建模教学符合学生的实际和社会需求的实际，淡化知识体系的完整，淡化逻辑结构的严密，删减繁琐运算，扩大数学知识面，加强数学方法的教育，有意增加数学建模与计算技术的内容，侧重应用能力与计算能力的培养。

3.中职生在数学学习过中，多数表现为：感知肤浅、呆板，缺乏联想，他们习惯对问题表面的直观形象思维，而缺乏对数学知识更深一层的分析、综合和抽象思维。中等职业教育需要培养的是技能型与工程管理型的人才，岗位对个人技能的要求由专一型向复合型转化，由恒常不变向更新多变转化，由标准化向个性化转化。因此，在教学内容上：要求贴近学生，贴近岗位，贴近就业环境；在教学方式上：要求研发现代化的教学载体，构成新的教学支撑体系，加强职业教育信息化建设，改革以学校和课堂为中心的传统人才培养模式。

二、“基于工作过程的中职数学建模教学”的实践探索

基于工作过程的数学建模教学中，结合工作任务的背景材料，构建起数学教学的生成策略。我们从判断工作过程的任务开始，因“异”而导，生成数学教学的过程。下面以数控加工专业在冲模板上加工三角形孔为例，对工作过程环境下的数学建模教学尝试性实践进行剖析。

（一）职业工作中的任务描述

在冲模板上加工三角形孔是数控加工中比较典型的工作任务，包括根据工件图纸的尺寸和技术要求进行选料、下料、编程、测量及检验等工作过程。在工作过程中，需要进行多层面的数学知识运用。第一，在读图时，对相应三角形孔对应的三点坐标进行正确核对；第二，选料与下料的过程，从资料利用最优化的考虑下，进行选择与冲裁；第三，加工的方法，由于在冲模板上直接加工三角形孔的精度不高，一般在实际的操作过程中通过先镗三角形的内切圆，因此需要找到圆心坐标与圆的半径；第四，测量与检验的过程，是成品合格与否的关键环节，掌握量具的使用与正确的检测方法是专业人员的核心能力。

（二）“基于工作过程的中职数学建模教学”的工作任务解析

1.工作任务的教学目标。围绕冲模板上加工三角孔展开的工作任务，提出的问题涉及了以函数、三角及解析几何为主的几类数学问题，让学生运用数学建模思想，有目标地进行操作实施。促使学生融入有意义的工作任务完成的过程中，让学生积极地学习，自主地进行知识建构，以现实的、学生生成的知识和培养能力为最高成就目标。

根据涉及到的数学内容、实际问题和学生的学习水平来确定工作任务的教学目标。在冲模板上加工三角形孔的工作任务，要求学习：

（1）根据提供的六块冲模板毛料，选择合理的测量方法，为切割所需冲模板提供解决方案；

（2）建立几类数学模型，掌握数学建模的步骤；

（3）分析三角形定位问题及解决问题的方法；

（4）会计算三角形内切圆的半径及圆心位置；

（5）根据提供成品检验方法，准确运用测量的方法，并进行正确的操作。

2.工作任务的分解与设计。从冲模板上加工三角孔的工作任务分解与设计看出，工作过程环境作为整个数学建模教学的主线，把学生将要学习的相关数学知识、技能及能力贯穿于其中，达成数学教学目标。

将加工三角形孔的工作过程分解成三个主要工作任务：选料与下料、定位计算与解三角形、以及检测验收，每项工作任务设计相应的工作任务单。在选料与下料的工作任务中，设计6至8课时的教学方案，采用以下六个环节进行工作任务单编写：提供素材——设计问题——相关链接（包括数学基础知识、解决的基本方法等）——信息收集与整理——提出解决方案——解答与检验。通过六个环节的设计，对问题进行有层次的编排，将学生思维形成螺旋式上升的过程，突出数学教学目标的实现。基于工作过程的数学建模教学的六个基本环节确立为：

（1）根据核心数学概念与工作任务的特征确定教学目标，设计教学环节中学习方案、问题提纲、解决方案及整理归纳。

（2）综合学生的四项观察数据，进行合理分组。四项内容分别是：第一项是数学的认知基础，包括数学基础知识、基本技能与基本能力；第二项是语言表达的能力，特别是对直觉反应能力；第三项是非智力因素的层面，学习习惯、学习方式及学习态度等；第四项是团队合作互助的意识，通过跟踪观察学生的个休情况，确定小组合作学习的成员的工作职责与履行任务。

（3）分解任务，构建数学教学学习体系，并制定课时教学目标。

（4）在教学法的选择上，以行动导向教学法为主体，贯彻以学生为中心，教师扮演主持人、示范的角色，锻炼学生分析与解决实际问题的能力，以及提高学生职业能力。

（5）按照课时设置的工作任务，选定任务载体，围绕载体设计数学教学过程，即通过数学建模步骤，逐一实施工作任务式的数学教学。

（6）制定考核评价方案。单元任务考核占30%，数学建模考核占30%，综合考核占40%。

（三）案例描述——冲模板上加工三角形孔

1.选料与下料。根据冲模板工件的规范要求，需要一块40cm×30cm冲模板，现在储备室内有以下几块冲模块毛料：

（1）如图1所示，一块形状为直角梯形的冲模板角料，上下两底分别为为18cm，54cm，高为45cm；

（2）如图2所示，在边长为60cm×40cm的长方形冲模板上已切割下了一个直角三角形，两直角边分别为30cm，30cm；

（3）如图3所示，材料ABCD，上沿AD为圆弧，其圆心O在BC上，圆半径为60cm，均垂直于AB、CD均垂直于BC，且BO=CD=30cm；

（4）如图4所示，一块圆心角为120°，半径为40cm的扇形冲模板；

（5）如图5所示，在边长为80cm的正方形冲模板上切割下四个半径为40cm的图形；

（6）如图6所示，一块平行四边形ABCD冲模块，M为BC边的中点，已经割下了以B、C为圆心，BM长为半径的两个扇形模板，现测得以下两个数据：BC=54cm，M是到AD的距离为36cm。

图1

图2

图3

图4

图5

图6

问题1：根据对六块冲模板的测量，哪几块材料可以切割出的40cm×30cm冲模板，提出切割方案？

从六块毛料中进行选择，主要涉及到的数学知识有：函数式的建立及最值问题，解析几何中直线方程与圆的方程，三角知识中解三角形、弧长公式及扇形面积公式以及平面几何基础知识。同时，对学生收集、分析和组织信息的能力、估计能力、计算工具使用能力以及合理运用知识的能力进行综合的培养。

问题2：在切割出的40cm×30cm冲模板材料，怎么样落料能使剩料最合理（在剩料中，尽可能费料最少，可利用的料最多）？

从上述可切割出的40cm×30cm冲模板材料中，寻找最优化的问题，这里主要涉及的数学知识主要是对上述问题1的进一步深化，建立合理的数学模型，培养学生在实际生活中的合理选择能力，通过操作与分析，给出最合理的选择。

问题3：计算能切割出40cm×30cm冲模板的材料的利用率。

问题3是对上述最优化的问题的合理性计算，是对整体问题的进一步细化，达成数学建模教学的目标。这也是通过建模后的所得结论合理性分析，给学生一个整体分析思维的优化。

2.定位计算与解三角形。问题4：在40cm× 30cm冲模板上加工三角形孔，要求冲模板中心与三角形的重心重合，且在△ABC中，设AB=18cm，BC= 15cm，AC=13cm，点B到冲模板二边的距离均为12cm，BC边平行于冲模板的底边，如图7所示。试确定三角形的A、C两点的坐标。

图7

问题4是从上述三个问题解答完成后的起承转换，将工作过程的呈现更加完整与合理，对数学建模的过程的合理性进行有效规划。

问题5：在40cm×30cm冲模板上加工三角形孔时，为了保证直线尺寸的精度，先在三角形孔中镗一个圆孔，使圆与三角形的三边相切，在圆孔内用硫化铜着色后，再加工三角孔。图8所示，在△ABC中，设，AB=18cm，BC=15cm，AC=13cm，求内切圆的半径与圆心坐标。

图8

问题5的设计与衔接工作任务的过程，使学生掌握更丰富的专业工作过程，更突出让学生养成利用数学知识分析实际问题的能力。

3.检测验收。问题6：冲模板上加工的三角形孔是否合格，要经过测量检验，主要测量数据是各顶点到冲模板边上的距离以及各顶点到三角形孔各边的距离。

该问题涉及的知识是解析几何中的直线方程与点到直线的距离公式以及测量工具的选择。这对于学生来说，核心问题是正确计算，通过正确的计算，得出合理的数据，分析三角形孔是否合格。

三、实践后的反思

基于工作过程的数学建模教学，为中职数学教学提供一种可操作的样本。我们在数学概念教学的过程中，往往感觉到抽象、枯燥，运用工作过程环境下的数学建模教学，可以有效改变这一现象。对工作过程环境下的数学建模教学的工作任务设计中，可根据需要而设定课时，但是在工作任务的设计中，我们认识到以下几个问题：

（一）工作任务的教学准备

工作任务的教学准备是基于工作过程的中职数学建模教学的核心环节。教师确立工作任务后，针对学生实际掌握的数学知识与能力进行任务分解及问题的设计，同时必须准备相应的工具与教学材料，为课堂教学顺利推进作出正确的预设与延伸。

基于工作过程的数学建模教学的特点，在工作任务的教学准备时，必须关注以下几个问题：

1.工作过程背景的现实性，激发学生参与到课堂教学中来，并提出的实际问题要有较宽的切入口及可操作性，使多层次的学生都能参与到工作任务中来；

2.模拟工作过程的情境与相关数学知识整合的过程，需要提炼情境的模型化与合理化，切忌在教学准备中，出现相互割裂与形式堆积；

3.在教学准备的过程中，对学生学习方式进行合作学习的常规化与组织教学的渐进性，突出学生在学习过程的参与深度与广度，激活学生的学习积极性；

4.教师在教学准备过程中，要充分准备教法实施的多样性与学法指导的有效性，达到对教学过程的有效调控与实施；

5.在教学准备的各环节中，教师需要重视数学内容的介入与工作过程情境的衔接，达到无痕对接。

（二）找准学生知识链的端口、断口及最近发展区

在学生数学学习的过程中，通常发生因教师的教学活动高于或低于学生的心理能力水平，没有满足学生对知识、情感和技能的心理需求。教师需要找准学生困惑的源头，即理解当下内容所必需具备的知识链的起点以及学生相应的知识断口。为学生准备相关的数学知识链接，尽量弥补学生在学习过程中的知识断点，实现教学过程的顺利实施。同时，教师要依靠自己的教学经验、学科知识体系和对学生的了解，判断学生的最近发展区，把教学建立在“最近发展区”。对于学生来说，数学建模是非常难的行为，因为中职学生学习数学整体思维能力水平有一定的限制，所以在设计教学问题时，尽量避免“高开低走”，也就是设问的门槛要低一点，符合学生的实际发展水平。

（三）整合数学模型和预设教学情境

工作任务教学目标的实现，先决条件是提供合理的现实生活场景与工作过程，把抽象的数学进行还原与再发现。因而，基于工作过程环境下的数学教学，关键在于素材的分析与预设教学情境的设计，从而有效地整合数学模型与预设教学情境。只有设计出了有效的预设教学情境，运用演绎法与归纳法同步实施，将数学模型进行整体的确立。

（四）探究学生学习数学的动机

在每一项的工作任务教学过程中，对学生数学学习的困难是非常之多的，但教师要相信学生总是期待着取得进步，得到正面肯定，优化自己的学习和生活质量。教师相信学生意味着教师面对任何的问题，都要保持冷静和耐心的帮助和解答，达成每一项的教学目标。

[1]中华人民共和国教育部.中等职业学校七门公共基础课程教学大纲汇编［M］.北京：高等教育出版社，2009.

[2]胡庆芳，程可提.美国项目研究模式的学习概念［J］.外国教育研究，2003（8）：18-21.

责任编辑 葛力力

陈建忠（1971-），男，浙江慈溪人，浙江省慈溪市教育局职成教教研室教研员，研究方向为职业与成人教育。

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1001－7518（2010）15－0054－04