水印的最佳置乱度置乱算法

黄志高

1 最佳置乱度

最佳置乱度的意义是通过计算置乱度判断图像置乱[1]的程度。图像中的任意两个像素的距离可用公式(1)表示：

式中(xi,yi)，(xj.yj)分别表示像素的空间坐标值，如果将图像以矩阵形式表示，相当于矩阵元素的行和列的值。某—矩阵元素和它相邻的元素之间的距离称为一阶距离，用 Dl(i,j)表示，将某一矩阵元素和它相距一个元素的元素之间的距离称为二阶距离，用D2(i,j) 表示，同理相距n个元素的元素之间的距离称为n阶距离、用Dn(i,j)表示，例如下式所示矩阵中(注意：矩阵中的数字是元素的标号)：

元素1和元素2,5,6之间的距离称为一阶距离，分别用D1(1,2)、D1(1,5)、Dl(1,6)表示，元素 1和元素 3,7,9,10,11之间的距离称为二阶距离，用 D2(1,3)、D2(1,7)、D2(1,9)、D2(1,10)、D2(1,11)表示。

一阶置乱度是图像 I中所有像素的一阶距离的均值和方差之比，用公式表示如下：

上式中通过引入一个加权系数AK来体现不同阶距离在置乱度中所起的作用，即首先考虑将相距最近的像素对尽量分散开，然后再考虑其它距离较大的像素对。

2 基于二维混沌映射的水印图像置乱

混沌现象是非线性动力系统中一种确定性的类随机过程，混沌信号具有对初始值的高度敏感性、不可预测性，并具有遍历性等特点。因此，特别适合于混沌保密通信。本文引入二维混沌映射[2]中的Arnold 变换对图像进行置乱。二维混沌映射可以看成是平面区域上点的空间变换，本论文介绍的 Arnold 变换是一种具有周期性的以取模形式的非线性变换，是V.I.Arnold在研究环面上的自同态时提出的。设有单位正方形上的点(x,y),将点(x,y)变到另一点(,)xy′′的变换为：

此变换称作猫变换。式（4）定义的变换实际上是一种点的位置移动，该变换是一一对应的，且具有周期性。对于数字图像来说，可以将其看成是一个函数在离散网格点处的采样值，这样我们可得到一个图像矩阵，矩阵中元素的值对应该点的灰度值或 RGB颜色分量值,设图像大小为 N×N,经过若干迭代后可得到一幅置乱了的图像：

设数字图像P=(Pij)的大小为N×N，采用公式5的Arnold变换，这里把Pij等同于它所处的位置，对给定的正整数N，二维混沌映射的周期为mN，mN是使得图像P经一系列变换后回复到P的最小自然数。

图1 二维混沌映射变换的周期的曲线

数字矩阵P=(Pij)里的每个元素Pij在Arnold变换的作用下，当且仅当属于某个轨道(也称链)。例如，(0,0)T是不动点，它所在链只有(0,0)T本身，而其它 3个元素(0,1)T，(1,0)T和(1,1)T属于同一个链，链的长度为3，此处链的长度是指它所含元素Pij的个数．对于给定的自然数N，二维混沌变换的周期实际上就是数字矩阵P中N2个元素所在的所有链的长度的最小公倍数。

本文用Matlab实现了周期计算的方法，由于在相同的图像大小的情况下，实验分析选择式(5)的K值的不同会产生不同的周期，我们选择了 K=1,即猫脸变换来分析不同阶数 N下二维混沌映射变换的周期。

表 1 周期表

由于对于不同的矩阵阶数N和式(5)中不同的K值，二维混沌变换有不同的周期。为了尽量减少二维混沌变换所带来的花费，我们希望变换的周期越短越好。如表1和图1所示列出不同阶数N下二维Arnold变换的周期。图1的X轴表示矩阵阶数N，Y轴表示相应的Arnold变换周期。

从图2可以看出，矩阵阶数N与二维混沌变换的周期并不成正比。因此我们在设计数字水印图像的大小时，应尽量选Arnold变换周期较小的阶数N。在选定了图像大小的情况下，可以选择适当的k值来减少置乱变化的周期；在实际运用上面，根据需要改变k值作为水印置乱的密钥，不同的k值通过运算可得到在该密钥下的最佳的迭代次数，以此来对图像做最佳的置乱；经过置乱的图像增强水印的在视觉方面对抵抗剪切攻击的有效性，因为置乱后的图像把原先相对集中的象素分散开来了，这样就在视觉上保持了原始水印图像的基本轮廓，当运用最佳置乱来置乱水印图像时，还可以直观地知道图像被剪切的情况，同时提取出的水印图像的视觉效果也较好。

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图2 k值与周期的关系曲线

当改变k值时图像的置乱周期被改变了，但是达到周期的一半或附近时，他们的图像置乱程度会是很接近的，这时从视觉上也可以看出图像置乱的程度比较大，因此在图像大小一定的情况下，可以选择恰当的k值，达到理想的置乱度且只需较少的计算量，在具体应用中，本文选择均值超过某一门限且置乱度达到最大时的 Arnold变换次数为最佳变换次数，即认为此时图像达到最乱。利用式(3)或式(4)我们就可以对阶数N的矩阵计算出经过各次Arnold变换后图像的置乱度和均值，根据置乱度和均值得到最佳变换次数。一般来说，图像的最佳置乱次数在Arnold变换周期的一半附近。由原始水印信号大小我们合理选择k值，可实现通过较小的计算量得到最佳置乱度。一般情况下，可以控制迭代次数小于30而达到最佳置乱，同时，k的取值可以作为算法的密钥，实现对水印信号的加密。

3 实验结果和分析

在实验中，结合常用的测试方法对图像进行攻击。然后用水印检测算法[3]从输出图像中提取水印，验证它与原始水印的相似度，如果相似度大于某一个阈值，则认为水印信号存在。以下我们用多种水印嵌入方案与本文的算法进行比较，以验证本文算法的优点。

方案1 采用Arnold变换对二值水印图像进行置乱，嵌入原始图像小波分解的LH2层，嵌入水印强度为5。

方案2 修改方案1中嵌入水印强度为18。用增加水印信号强度的方法与方案1做比较。

方案3 置乱后的水印信号嵌入到小波分解LH3层，水印强度为5。

方案 4 置乱后的水印信号嵌入到小波分解LL3层。水印强度为5。

(1)抗JPEG压缩能力分析

JPEG压缩是最常见的有损压缩方法，因此抵抗JPEG压缩的能力[4]是评价数字水印算法性能的重要指标之一。MATLAB中图像的JPEG压缩品质因子为0-100。

由实验数据可知：水印嵌入到相同的小波域，嵌入水印强度越大其鲁棒性越好；方案4在水印嵌入的强度和方案二一样的情况下，得到的效果比方案2更好，如表2所示，可抵抗的压缩比为8.06，此时图像的PSNR=32.5465 dB。由于嵌入的是二值图像，当出现部分误码的时候，经过人眼的观察仍然可以辨认水印的轮廓，因此小部分的误码时并不影响提出水印的直观感觉，当检测到的图像误码率[5]低于10%仍清晰可辨。

表2 JPEG压缩实验

由实验数据可以看出，在水印强度相同的情况下，嵌入的小波层越趋向于低频，其鲁棒性越好，然而相对高一级的小波层能嵌入的水印信息量也就越少。

(2)抗尺寸变换能力[6]分析

通过实验知道，对于放大操作，经还原后均能完全恢复出水印，对于缩小的操作，嵌入图像的方法有较好的抵抗能力，只要变化比例不是太大，都能较好的恢复水印，图3给出了不同方案缩放比例下得到的相似度的曲线。

图3 尺寸缩放实验

除了上述基本的攻击测试，近年来又出现了统计平均攻击和引发多著作权问题的多重水印攻击。在评测水印质量时也应考虑在内。可以预见到：在统一了测试方法、测试对象及评估标准[7]以后，水印算法的作者只需提供一份算法测试结果列表，其他研究者就能对算法的性能产生较为全面的认识，有利于对算法的深人研究及推广。

4 结语

通过实验证明，本文采用最佳置乱度置乱的方法，把集中剪切产生的误码在分散开来的同时也连续的分配到图像的区域中，使得提取出来的水印只是间隔性地出现攻击产生的误码，使得原始水印信号的相关性减弱，在遭到剪切攻击时，可以将提取出的水印信号的错误码元尽可能地分散开来，因此有效地提高了数字水印算法的抗剪切攻击性能，这样使得提取出来的水印具有更好的视觉效果

[1] 蔺鹏,张永,鲁江.一种彩色图像处理的水印新算法[J].兰州工业高等专科学校学报,2005,14(04)：14-20.

[2] 韦志辉.基于小波域中视觉门限模型的数字水印技术[J].东南大学学报,1998,28(05)：44-48.

[3] 顾宁,葛万成.基于 DWT域图像数字水印技术[J].通信技术,2009,42(05)：114-118.

[4] 朱香卫,肖亮,吴慧中.基于变换域数字图像水印技术的研究[J].通信技术,2008,41(12)：15-19.

[5] 刘芳,贾成,冯雁,等.图像置乱在数字水印中的应用研究[J].通信技术,2008,41(12)：58-63.

[6] ugad R, Ratakenda K, Ahuja N. A New Wavelet-based Scheme for Watermarking Images[J].IEEE, 2005,1(02)：231-240.

[7] Podilchuk C I. Image-adaptive Watermarking Using Visual Models[J].IEEE Journal on Selected Areas in Communications,2001,16(04)：525-539.