Chan定位算法与TDOA估计精度的关系

丁宏毅， 柳其许， 王 巍

0 引言

1996年，美国FCC明确要求各移动通信运营商为移动用户提供E-911服务[1]，因此多个基站利用移动台无线信号到达时刻 TOA（Time-of-Arrival）[2]和到达时间差 TDOA(Time-Difference-of-Arrival)进行定位的方式在近年来受到了广泛关注[3-4]。

在众多基于TDOA的定位算法[5]中，Chan算法[6]得到了广泛的应用。这主要是因为该算法具备三大优势：①算法不需要初值；②仅进行两次迭代就可求得最终结果；③算法的定位精度在视距环境下能够达到克拉美罗下限。可见，Chan定位算法是一种相当实用的方法，适合实际工程。

Chan利用TDOA观测值在文献[6]中分析了算法的估计误差，但是没有分析 TDOA观测值的精度对最终定位精度的影响，也没有推导一定定位精度下TDOA允许的最大误差值。本文主要研究定位估计精度与 TDOA估计精度之间的关系，为工程实践提供理论参考，并进一步提高 Chan算法的实用性。

1 定位估计误差与TDOA估计精度的关系

本节直接引入 Chan算法及其推导的定位估计误差的协方差等结果，不再对其进行详细的解释。

假设MS当前坐标的真实值为(x0, y0)，Chan算法的估计结果为(ˆx, ˆy)。定位系统中，参与定位的基站数为M，其坐标分别为(xm, ym)，1≤m ≤M。令rm,0表示各基站与MS的真实距离值，即：

由文献[6]，估计误差的协方差矩阵为：

其中，c = 3*108(m/s)，且

式（2）中，矩阵Q表示TDOA估计误差的协方差矩阵，其维数为(M-1)× (M-1)；[.]T表示取矩阵的转置；[.]-1表示求矩阵的逆。式（3）中，[.](M-1)×2中的下标表示矩阵的二维维数。式（2）的结果同时也表示以第一个基站作为系统的参考基站。

假设M-1个TDOA的估计值都具有相同的方差值大小，且各TDOA估计值之间是相互独立的，则有：

其中，I(M-1)×(M-1)为(M-1)× (M-1)维的单位矩阵；σ2为 TDOA估计精度的方差。

将式（3）和式（4）代入式（2）中，可得：

其中：

现需对式（5）所表示的2×2阶矩阵求逆。

假设λ为式（5）中[.]的行列式的值，则有：

由式（7），可以得到Chan算法的定位估计误差的方差为：

其中，∆D表示Chan算法定位估计的误差且大于等于0。令：

将式代（9）入式（8），可得：

根据式（10），能够得到Chan算法定位估计误差与TDOA估计精度的关系为：

式（11）表示给定∆D时TDOA允许的最大估计误差。因此，本文对其修正，采用下式表示 Chan算法的定位估计误差与TDOA估计精度的关系：

其中：

2 物理意义和算法流程

式（12）具有的物理含义非常重要。通过分析，本文得到以下几个结论：

结论1 在给定定位估计误差∆D下，TDOA允许的最大估计误差和定位系统的拓扑结构存在关联。在式（13）中，本文采用了余弦的形式表达了系统的拓扑结构，使其更加直观和清晰。显然，拓扑结构是由定位系统各基站的布站结构和目标移动台的位置来共同决定的。它们共同影响着 TDOA允许的最大误差值。

结论2 当所有的基站与目标手机呈直线排列时，σmax趋向于无穷大。这个结论实际上说明，在此种情况下，无论 TDOA估计的精度有多高，最后的定位误差都会为无穷大。

结论3 在给定定位估计误差∆D下，TDOA估计精度的要求与基站数有关。由式（13）可以看出，当基站数目不同时，即使在相同的∆D下，σmax会可能不同。具体的关系可以从数值仿真中看出。

基于式（12），当给定定位估计误差∆D时，可以求出TDOA允许的最大估计误差，算法的具体流程如下：

① 确定定位系统的基站坐标和目标手机的坐标；

② 计算式（5）中[.]的行列式值，得到λ；

③ 由式（13），求出TDOA允许的最大估计误差。

3 仿真和分析

考虑几种具有对称结构的定位网络，坐标的单位都为米。A类（三角形）基站的坐标分别为：(200,200)、(-200,200)和(0,-282.8)，此时M=3；B类（四边形）基站的坐标分别为：(200,200)、(-200,200)、(-200,-200)和(200,-200)，此时 M = 4；C类（六边形）基站的坐标分别为：(200,200)、(-200,200)、(-200,-200)、(200,-200)、(-282.8,0)和(282.8,0)，此时 M=6。A1类（三角形）基站的坐标分别为(2000,2000)、(-2000,2000)和(0, -2828)，此时M=3；B1类（四边形）基站的坐标分别为：(2000,2000)、(-2000,2000)、(-2000,-2000)和(2000,-2000)，此时M=4；C1类（六边形）基站的坐标分别为：(2000,2000)、(-2000,2000)、(-2000,-2000)、(2000,-2000)、(-2828,0)和(2828,0)，此时M=6。A1类到C1类的坐标值分别是A类到C类坐标值的10倍。

考虑几种非对称结构的定位网络。D类（三角形）基站的坐标分别为：(-200,200)、(0,180)和(-20,-300)；E类（四边形）基站的坐标分别为：(-200,200)、(0,180)、(-10,-20)和(400,-100)；F类（六边形）基站的坐标分别为：(-200,200)、(0,180)、(-10,-20)、(400,-100)、(10，200)和(-50,150)。D1 类、E1类和F1类基站的坐标分别是D类、E类和F类坐标值的10倍。

图 1给出了目标移动台位置固定为(4,6)时，不同定位网络在给定定位误差下TDOA允许的最大估计误差。图2给出了目标移动台的横坐标在区间[-40 40]，纵坐标在区间[-40 40]之内随机选取（均匀分布）时，不同定位网络在给定定位误差下TDOA允许的最大估计误差。

从图1可以看出，对于对称定位网络，基线长度对TDOA精度的要求影响很小；非对称定位网络，基线长度对 TDOA精度的要求影响很大。图2表明了当定位系统与移动台间的拓扑结构发生变化时，TDOA允许的最大误差的变化情况。图2同样说明了对称定位网络的基线长度要求比非对称定位网络要低。

图1 移动台坐标给定时，不同定位网络TDOA允许的最大误差值

图2 移动台坐标随机选择时，不同定位网络TDOA允许的最大误差值

4 结语

Chan算法在移动台定位技术中得到了广泛的应用和研究。本文推导了Chan算法定位估计误差和TDOA估计精度之间的关系，通过该关系的表达式可以直接计算出系统所必须的最小时延估计精度，为工程实践提供理论参考，并进一步提高了Chan算法的实用性。

[1] Reed J H, Krizman K J, Woerrer B D,etal. An Overview of the Challenges and Progress in Meeting the E-911 Requirement for Location Service[J]. IEEE Communication Magazine,1998,36(04)：30-37.

[2] 张毅,罗元,汪经锋,等.基于移动台无线定位的研究[J].通信技术,2000(04)：37-40.

[3] Caffery J J Jr, Stuber G L. Overview of Radiolocation in CDMA Cellular Systems[J]. IEEE Communication Magazine,1998,36(04)：38-45.

[4] Christopher D,Malcolm M. Positioning GSM Telephones[J]. IEEE Communication Magazine,1998(36)：46-59.

[5] 罗磊, 田增山,孙冬梅,等.基站几何布局对定位误差的影响[J].通信技术,2008,41(02)：126-128.

[6] Chan Y T, Ho K C.A Simple and Efficient Estimator for Hyperbolic Location[J]. IEEE Trans on Signal Processing, 1994,42(08)：1905-1915.