船舶在随机海浪上的稳性和倾覆研究进展

王迎光，谭家华

（上海交通大学船舶海洋与建筑工程学院，上海 200240）

1 引 言

船舶稳性是指在外力作用下，船舶发生倾斜而不致倾覆，当外力的作用消失后，仍能回复到原来平衡位置的能力，船舶的完整稳性是指船舶在未破损状态时的稳性。船舶的完整稳性是船舶的最重要的技术性能之一。为保证所设计的船舶有良好的完整稳性，船舶工程师们通常都是要依据国际海事组织（IMO）制定的有关完整稳性衡准，即IMO的A.749（18）法案及其补充条款MSC.75（69）决议案。而IMO的A.749（18）法案主要又包含IMO在1968年的决议案A.167（ES.IV）的内容以及它在1985年的决议案A.562（14）的内容[1]。IMO基于对一些失事船舶的统计分析和船舶静力学的原理，得出了为保证船舶完整稳性的初稳性高下限值和静水中船舶扶正力臂曲线上几个特定参数的下限值[1]，此即A.167（ES.IV）衡准的内容，可见A.167（ES.IV）几乎是一个基于经验的衡准。此后为了把“在海途中影响船舶导致倾覆或不能接受的横倾角的外力也考虑进来”，IMO合并了已经在几个国家实施了的气象衡准而制定了A.562（14）决议案[3]。A.562（14）决议案虽然考虑了风倾力矩和船舶横摇角的影响，但是横摇角幅度的计算和风倾力矩的计算被大大地简化了，计算中忽视了非线性的影响，而且横倾物理模型仍然是基于假定的在静水中的扶正力矩曲线。可见A.562（14）决议案仍然是一个半经验的衡准。总之，现行的IMO完整稳性衡准并不是基于一个实际的物理模型，风、浪作用的随机性，船舶运动的非线性以及各自由度运动之间的耦合效应等因素都几乎没被考虑进来，因而依据这些衡准设计的船舶的安全程度并不能被确切的量化[3]。同时这些衡准并不能给设计者提示应修改哪个船舶参数才能改进设计[3]。因而国际海事组织提出了完整稳性衡准长期的发展目标是应从这些约定俗成的规则（prescriptive rules）过渡到基于性能的理性规则（performance-based rational rules)[3]。即新衡准应建立在“基于第一原理分析”的基础上[3]。

但是船舶在随机海浪上倾覆却是一个极其复杂的问题，虽然经过了近几个世纪时间的研究，人们仍然缺乏对倾覆现象的完全的数学描述和透彻的物理理解[4]。至今人们在处理船舶在随机海浪上的倾覆问题时采用的“基于第一原理”的分析方法有时域仿真、迈尔尼科夫法和首次穿越理论等。本文将结合作者研究小组的工作来对国内外这一领域内的研究进展做出综述。

2 时域仿真

假定船宽、吃水与船长相比是小量，并且将船舶视为一无阻尼转动振子，威廉姆-傅汝德（William Froude）推得了船舶在正弦横浪中的横摇运动表达式[5]，他的理论至今仍然是现代船舶在随机海浪上倾覆研究的基础。在十九世纪末，克雷罗夫（Alexei N.Krylov）延伸了傅汝德的上述理论，他根据波浪激励的傅汝德克雷罗夫假定而建立了船舶六自由度振荡运动的理论[6]。以下对基于上述思想的现代船舶运动理论作一简要介绍。

2.1 船舶运动微分方程的建立

船舶在不规则波中的响应可被认为是船舶在对应于此特定不规则波谱范围内所有频率的规则波中的响应之和[7]。首先让我们考虑一艘以定常速度U在规则正弦波中航行的船舶，船舶的航向角是任意的，在图 1[8]中，（x,y,）z是一个对照船的平均位置而被固定的右手坐标系，z轴通过船舶的重心而垂直向上，x的方向同船舶前进的方向，坐标系原点取在未受扰动的自由表面平面内。在海面上航行的不受约束力的船舶将产生六个自由度的运动，即船舶运动可被认为是由三个平移成分（纵荡、横荡和升沉）和三个转动成分（横摇、纵摇和首尾摇）组成。在图1中，令在x、y和z方向上的相对于坐标原点的船舶平移位移分别为η1、η2和η3，那么 η1代表纵荡位移，η2代表横荡位移，η3代表升沉位移。进一步，令相对于x、y、z轴的角位移分别为 η4、η5和 η6，那么 η4代表横摇角，η5代表纵摇角，η6代表首尾摇角。假定船舶的振荡运动是线性的和谐和的，则可得到六个线性的和耦合的船舶运动微分方程。利用下标记号，这六个船舶运动微分方程可被简写为[9]：

其中Mjk是船舶的广义质量矩阵中的成分，Ajk是船舶的广义附加质量系数矩阵中的成分，Bjk是船舶的阻尼系数矩阵中的成分，Cjk是船舶的静水复原力系数矩阵中的成分，Fj是激励力和力矩复数幅值，激励力和力矩由的实部给出。F1代表纵荡激励力幅值，F2代表横荡激励力幅值，F3代表升沉激励力幅值，F4代表横摇激励力矩幅值，F5代表纵摇激励力矩幅值，F6代表首尾摇激励力矩幅值，以上诸力（力矩）又分别包括傅汝德-克雷罗夫力（力矩）和绕射力（力矩）两部分。ω代表遭遇波浪频率，这个频率也等于响应频率。符号（·）代表对时间求导，因而η˙k代表速度项，η¨k代表加速度项。

在上述方程（1）中，附加质量系数Ajk和阻尼系数Bjk可根据线性势流理论求得，例如利用线性势流理论求得的计算A44的公式为[9]：

利用线性势流理论求得的计算B44的公式为[9]：

上述方程（2）和（3）中的积分是沿整个船长进行的。a44是船舶某一个两维切片（在应用线性切片理论时，假定将船舶沿船长方向切成一定数目的薄片）的横摇附加质量系数，计算这个系数的方法将在下面介绍。b44是船舶某一个两维切片的横摇阻尼系数，计算这个系数的方法将在下面介绍。ξ是在x方向的积分变量。是船舶最后面的一个两维切片的横摇附加质量系数是船舶最后面的一个两维切片的横摇阻尼系数代表粘性横摇阻尼实际上是非线性的，但文献[9]给出了其拟线性化的计算方法。

在方程（1）中，波浪激励力或力矩也可根据线性势流理论求得，例如利用线性势流理论求得的计算横摇激励力矩幅值的公式为[9]：

其中两维切片的傅汝德克雷罗夫“力”可按下式计算[9]:

两维切片的绕射“力”可按下式计算[9]：

方程（4）到（6）中的数值积分是先沿切面Cx进行，再沿整个船长进行的，Cx是船舶某一个两维切片的外轮廓围线，dl是Cx的方向元素，ξ是在x方向的积分变量。α是波浪幅值，ρ是流体的质量密度，g是重力加速度，k 代表波数，β代表航向角（随浪时 β=0°），N2、N3和 N4是在（y-z）平面内的两维广义法线，ψ4是船舶某一个两维切片的两维横摇速度势，下面将介绍求取ψ4、a44和b44的方法：

计算ψ4、a44和b44等两维系数是船舶运动计算过程中最复杂和最耗时的，然而为了获得有用的最终结果，精确计算这些两维切片上的系数又是绝对必须的。数学上，计算这些两维切片上的系数的问题被称为混合边界值问题，在船舶水动力学中解决混合边界值问题的一种最常用的方法是边界积分法。在应用边界积分法时，先将某一船舶切片上的船舶横剖线分成一系列直线段，然后在每一直线段上分布带定常（但未知）强度的流体源，选择单位源的势函数的形式以便在自由表面和无穷远处的边界条件被满足，通过满足在每一直线段的中点上的船体边界条件而求得未知的源强。求得了源强以后，横摇速度势ψ4就可被求得，那么a44和b44可根据下列公式求出[8]：

请注意上式是通过复数的实部和虚部分别相等来求解的。边界积分法的优点是计算速度快，对船舶横剖线近似的精度可通过多取直线段的办法来提高，求得了ψ4、a44和b44等两维系数以后，船舶的运动响应和稳性就可根据方程（1）到（6）求得。所谓的用时域仿真来研究船舶在随机海浪上的稳性，即是用四阶龙格—库塔法来对微分方程（1）进行数值积分，并对求得的各响应历经做统计处理。对一般情况下的横稳性研究来说，这种方法可生成两种类型的结果：达致倾覆所需的平均时间；或在一特定时间段内超过一特定横摇角的概率。

2.2 国内外对船舶在随机海浪上的稳性的时域仿真研究

加州大学的Paulling教授从上世纪八十年代开始进行船舶在随机海浪上的稳性的时域仿真研究。他和其学生开发了一个数值模型来决定船舶在恶劣波浪状况下（包括那些能导致倾覆的海况）的大幅值运动[10]。他们检查了船舶大幅值运动方程中的各种力成分，并进行了分析来决定横摇响应对这些力成分的变化的敏感度。McTaggart等人[11]提出了用时域仿真来决定给定海途和运营状况下的船舶的倾覆危险的一个有效方法，最大横摇角对波浪过程的依赖度被通过以下方法建模：将一合适的分布拟合到由中等数量的仿真得出的各最大横摇角上。通过一驱逐舰的实例计算显示：龚贝尔分布可很好地拟合到由不同波浪实现得到的各最大横摇角上。De Kat等人[12]预报了船舶和近海平台的极端运动和倾覆行为，他们仔细处理了数值建模的各个细节。De Kat等人[13]提出了一个对舰船进行倾覆概率评估的方法，他们用时域仿真得到了极端横摇角的短期和长期统计分布。

近期王迎光等人[14-15]对用时域仿真分析海洋结构物在随机海浪上的极端响应和稳性的原理做了详尽的阐述：即首先为海洋结构物建立运动微分方程，并以有限数目的带不同幅值频率和随机相位角的三角函数叠加来仿真随机海浪[16-17]，接着可用四阶龙格—库塔法来对运动微分方程进行数值积分，就可获得该海洋结构物位移响应的一个时间历经，用同样的方法可获得该海洋结构物位移响应的一阶导数的一个时间历经。将该海洋结构物位移响应的时间历经的足够多次记录的总体取均值可获得结构位移响应的概率密度曲线，用同样的方法可获得该海洋结构物位移响应的一阶导数的概率密度曲线，基于这些单个随机变量的概率密度曲线的信息，响应值与响应值一阶导数的联合概率密度可被求得。接下来可由Rice公式求得结构系统的响应的跨越某一水准的比率（向上水准跨越率）。最后随机激励下海洋结构物极端响应的问题可用数学上随机过程求极值的理论来处理[18-20]。王迎光等人[15，21]并用上述程序求得了一张力腿平台在随机海浪上的纵荡响应的向上水准跨越率。

2.3 时域仿真的优缺点

用时域仿真分析船舶在随机海浪上的稳性的原理上是十分简明的，执行起来也很方便。而且显见前几节中的时域仿真的过程是一个基于“第一原理的”分析计算的过程。该方法分析的是一个现实的物理模型，它可将船舶本身的各个物理参数与船舶的完整稳性表现关联起来，因而可使得设计者直接得到改进稳性和优化设计的具体方案。用时域仿真可方便灵活地处理复杂的非线性随机问题，但处理在极端气象下的极端运动的三维非线性水动力/空气动力模型现在还没有被摆上议事日程[3]。同时也需要国际上的合作来使时域仿真计算机软件标准化，这一目标显然在短时期内是难以达到的。

用时域仿真分析船舶在随机海浪上的稳性的另一缺点是耗时巨大，王迎光[22]也用计算实例对此做了定量的说明。我们都知道在对船舶运动微分方程进行数值积分时，应该给出在0时刻的运动位移和运动速度，即给出两个运动的初始条件，另外还要给出积分的时间域。积分的时间域是可以指定的，例如激励力特征周期的50倍，但运动的初始条件实际上确是千变万化的。在一般情况下的横稳性分析时，对每一运动的初始条件都应对运动方程进行数值积分，直到船舶的横摇角到达一预定的倾覆角。因而应对运动方程进行很多次数值积分（对应于各个不同的运动初始条件）才能得到统计上有意义的“达致倾覆所需的平均时间”或“在一特定时间段内超过一特定横摇角的概率”。这势必会耗费大量的计算时间。

3 迈尔尼科夫法

国内外的科研工作者为开发更高效的理性分析船舶稳性的方法做出了不懈的努力，人们基于现代的非线性随机动力学理论，开发出了理性分析船舶动态稳性的迈尔尼科夫法（Melnikov method），并通过实船运用和船模实验证明了迈尔尼科夫法的合理性。在一般情况下的横稳性分析时，迈尔尼科夫法并不直接求解船舶横摇运动的非线性随机微分方程，取而代之的是，迈尔尼科夫法专注于研究系统的质的方面的行为（或者更精确地说，质的方面不同的行为间的转变）。迈尔尼科夫法的一个重要分析结果是迈尔尼科夫（Melnikov）函数，有关迈尔尼可夫理论的阐述可见Guckenheimer John和 Holmes Philip[23]，Wiggins[24]以及 Moon[25]等人各自的专著。迈尔尼可夫函数可以预报在一定种类系统中的混沌的产生，在存在混沌的情况下，质的方面不同的行为的相位空间域（例如，船舶横摇运动安全域和船舶倾覆域）可以从一个域（例如，船舶横摇运动安全域）被传输到另一个域（例如船舶倾覆域）,这将导致船舶意料外倾覆的发生。以下对迈尔尼科夫法的原理和公式作一简要介绍。

3.1 迈尔尼科夫法的原理和公式

在绝大多数情况下，船舶都是被设计成为左右对称的,当船舶左右对称时，纵荡与横摇、升沉与横摇、纵摇与横摇之间的一阶耦合均为零。但横荡与横摇、首尾摇与横摇之间的一阶耦合却不为零。在本研究中，首尾摇与横摇之间的耦合被假定为小量，因而只需考虑横荡和横摇之间的耦合。一般来讲，因为有阻尼，横摇和横荡运动是不能被解耦的，但在一些特殊的情况下，例如无阻尼或带成比例阻尼的船舶，我们可以证明在这些情况下船舶将像一个单摆一样绕一个横摇中心横摇，因而横摇运动和横荡运动可被解耦。当存在一般性的阻尼时，如果假定一个伪横摇中心存在，则我们可获得如下的带非线性横摇阻尼系数的单自由度横摇运动微分方程[26]：

其中I4代表船舶质量对于船舶纵轴的惯量系数，A42代表由船舶的单位横荡位移引起的在横摇方向上的附加质量系数，Rc是伪横摇中心在船舶重心之上的距离。φ是横摇角，符号（·）代表对时间求导。A44代表船舶附加质量对于船舶纵轴的惯量系数，M代表船舶质量系数，zc是船舶重心垂向高度，B44代表船舶在横摇方向上的阻尼力矩系数，B24代表由船舶的单位横摇角引起的在横荡方向上的阻尼力系数，A22代表船舶在横荡方向上的附加质量系数，ω代表遭遇波浪频率，Δ是船舶的排水量，GZm（φ）是非线性横摇复原力臂的多项式近似。A是波浪幅值，Froll（ω）是每单位波浪幅值的激励力矩，Froll（ω）可用一些商用的水动力软件求出。ψ是激励力矩和入射波之间的参考相位角。ξ（t）是一个理想的、零均值和δ相关的高斯白噪声，这个附加的高斯白噪声近似了对外界谐和激励力的随机扰动。这种做法在船舶初始设计阶段是允许的，此时船舶的各个详细参数还没有被最后确定，还没经过详细计算得出船舶的响应幅值算子，或者还没有进行模型试验得出船舶的响应幅值算子，用谐和激励附加高斯白噪声来近似实际的随机波浪外激励可快速地评价船舶的响应和稳性表现，以便提出改进方案而进入下一轮循环设计。

为研究船舶的动态稳性，一般的做法是用四阶龙格—库塔法来对微分方程（8）进行数值积分，在求得了船舶横摇运动的响应的时间历经以后来与静稳性消失角或进水角 （如果进水角小于稳性消失角的话）比较。在经过很多次仿真以后，将所得到的结果进行统计分析，从而找出带规律性的结论。但是一个没有经验的仿真者可能会对微分方程（8）来进行日复一日的数值积分，却永远也发现不了其中最重要的或最关键的结论。

迈尔尼科夫法能够为船舶工程师分析船舶动态稳性提供一条新的途径，迈尔尼科夫法是建立在现代的非线性动力学理论的基础之上的。在用迈尔尼科夫法进行船舶动态稳性分析的过程中得到的一个重要结果是迈尔尼科夫衡准，在有些情况下，这个衡准能将船舶设计参数（船舶静稳性臂曲线形状和阻尼）和波浪特征参数以一个简单的解析公式联系起来，这将极大地提高人们理性地分析船舶动态稳性的效率。即使是在有些情况下我们得不出迈尔尼科夫函数的解析表达式，我们也可以很直截了当地用数值方法来求解此函数。为了方便地应用迈尔尼科夫分析，我们先将方程（8）写成如下无因次形式[27]：

请注意在方程（9）中我们重新取了一个以船舶谐摇频率ωn表示的比例时间τ，方程（9）中的求导是对时间τ而言的，在变换过程中我们将方程（8）两边同除了［I44′＋A44′（ω）］，而且非线性横摇复原力臂取了Thompson的α-参数族复原力函数[27]。方程（9）中的c、f是在代数推导过程中得到的中间系数，〈η（τ）〉＝0，〈η（τ′）η（τ）〉＝kδ（τ′- τ） ，δ（…）是狄拉克 δ函数，k代表高斯白噪声强度。 请注意，这里不失一般性我们取了ψ=0。用统计线性化的办法对平方阻尼项进行等效线性化，方程（9）可被简化为：

近期王迎光等人[28]对用迈尔尼科夫法分析船舶动态稳性的原理做了详尽的阐述，介绍了迈尔尼科夫法对船舶意料外倾覆机理的解释，指出为了避免船舶意料外倾覆则迈尔尼科夫函数不应该有简单零点。如果迈尔尼科夫函数无简单零点，稳定流形和不稳定流形将不横向相交，异宿缠结将不会生成。因而跨越伪分界线的相位空间传输将不能实现，船舶意料外倾覆将不会发生，王迎光等人[28]推导得出了下述船舶在随机激励下大幅值混沌横摇运动响应的迈尔尼科夫衡准，该衡准以参数f，Ω，β，α和k表示如下[28]：

当方程（11）中的等式成立时就可获得混沌横摇运动的临界面的均方值表达式。

3.2 国内外对迈尔尼科夫法分析船舶稳性的已有研究

Makoto Kan等人[29-32]的船模实验在迈尔尼科夫法的早期发展过程中起了很大的促进作用。实验的对象是一条135m长的集装箱船（模型船长3.5m），实验在日本船舶技术研究所的80m×80m的方形水池中进行，在总共763次在不规则波和规则波的运行中，发现了225次倾覆，而且发现其中25%的倾覆是与倍周期分叉（period doubling bifurcation)现象联系的，根据非线性动力学理论，出现倍周期分叉现象是系统中产生混沌的前奏，同样根据非线性动力学理论，迈尔尼可夫函数可以预报在一定种类系统中的混沌的产生，这即从实验和理论上证明了用迈尔尼可夫法预报船舶倾覆行为的可行性。Makoto Kan等人[29-32]进一步也进行了极大数量的仿真来预报船舶的倾覆行为，并与迈尔尼可夫法预报的结果作了比对，同样发现迈尔尼可夫解析分析可以被用来作为倾覆衡准（criteria for capsizing)。

Falzarano等人[33-34]用迈尔尼可夫法研究了一艘小渔船（Patti-B）的瞬态横摇运动，这是一条倾覆过两次的渔船，船长22.9m。它的第一次倾覆发生在靠近海岸附近，当时它被人们救起了。时隔两年以后，它在远离海岸处发生了第二次倾覆，永远沉没了。在设计过程中进行稳性计算时，发现这艘渔轮的稳性是超出了规范要求的衡准值的。这是一个典型的发生船舶意料外倾覆的例子，Falzarano等人在事后研究中认为Patti-B渔船的倾覆是与现行静稳性衡准还没有考虑到的一些动态效应有关的，他们在事后研究中导得了该船的横摇运动微分方程，并根据某线性水动力软件计算得到了该渔轮运动方程中的各水动力参数，接着通过重取一个比例时间将该船的横摇运动微分方程化成了无因次形式的。他们接着用迈尔尼可夫法和相位空间传输理论对该渔轮的意料外倾覆机理做了解释，在导得该渔轮的迈尔尼可夫衡准公式后，计算得到了导致该渔轮倾覆的临界波浪横摇激励力矩值和临界波高值。

Hsien，Shang-Rou等人[35]用一单自由度横摇模型来研究船舶在随机海浪中的倾覆问题。他们在分析中考虑了海浪谱，非线性复原力矩特性和非线性阻尼等几个因素。通过迈尔尼可夫函数，相位空间面积通量和随机振动的结合而开发了一套非线性概率法。获得了用有义波高、波浪特征周期、阻尼和刚度系数表达的发生船舶倾覆的条件,他们在研究中证明了迈尔尼科夫解析解的有效性。Bikdash等人[36]用迈尔尼科夫法的观点检查了船舶横摇平方型和立方型非线性阻尼系数之间的等效性。Lin Huan等人[26]开发了一套基于均方值的随机迈尔尼可夫法来研究船舶在随机激励下的倾覆问题，但他们的运动方程中的复原力矩都是对称型式的。

密歇根大学的船舶科研人员Jiang等人[37-38]用随机迈尔尼可夫法（Stochastic Melnikov method）研究了船舶在随机海浪中的强非线性横摇运动和倾覆问题，他们考虑了船舶有初始横倾的影响。在他们的研究中，他们应用了非线性动力系统分析的最新发展。Jiang等人[38]在未受扰动系统模型的相平面内定义了安全域和不安全域来区分本质上不同的船舶倾覆运动和非倾覆运动。当系统的解逸出安全域时就代表了倾覆的发生，Jiang等人[38]用迈尔尼科夫（Melnikov）函数和相流率的概念研究了出现这种解的概率，他们的研究显示这些解析工具能够提供有关船舶在一给定海况下倾覆的可靠的、有预见性的信息。Jiang等人[38]在研究中同时指出：蛮力仿真（brute force simulation,虽然字面上这样翻译，但并无贬义，这是学术界对仿真直截了当地处理问题的一种形象描述）只能作为理性分析方法的辅助工具，却永远也替代不了理性分析方法。

Chen[39-42]通过详细的数学推演和将变量数降低，将迈尔尼可夫法成功地应用于船舶的多自由度非线性运动问题。

Thompson在其综述文献[27]中指出：迈尔尼可夫曲线总能很好的估计倾覆（稍微有点保守）。Scolan[43]讨论了用迈尔尼可夫法研究带高阶多项式复原力矩的船舶横摇的可行性。迈尔尼可夫法被逐渐应用于一些更复杂的横摇数学模型，Jiang等人[44]在2000年应用迈尔尼可夫法时考虑了流体动力的记忆效果，使得所考虑的动力系统有无穷维。Spyron等人[45]对2000年以前迈尔尼可夫法的重要进展应用作了回顾。Spyrou等人[46]利用迈尔尼科夫法来评估了横浪中一带横摇初始倾斜的船舶的安全性，他们获得了表征倾覆性和将临界波倾、横倾量和阻尼联系起来的闭合型关系式，在他们的研究中迈尔尼科夫公式的精确性得到了验证。McCue[47]指出了将迈尔尼科夫法与实验法联合应用来处理非常规船型和高性能船舶稳性的前景。近期Spyrou[48]利用迈尔尼科夫法来研究了随浪中船舶的非对称纵荡问题。

值得注意的是国内的科研人员也在将迈尔尼科夫法积极地运用到船舶稳性的研究中，例如上海交通大学的沈栋[49-50]在随机横浪作用下船舶倾覆概率的研究中就曾采用过迈尔尼科夫法。纪刚等人[51]运用安全池理论计算了船舶稳性，安全池在一定条件下将发生破损，此时船舶极易倾覆，他们用迈尔尼科夫法导出安全池破损的条件，以某型船舶为例，计算了该船舶安全池破损的阈值，对五个海况进行了安全性校核，并与现行规范采用的极限载荷法进行了比较，通过数值仿真绘制了各参数条件下的安全池。袁远等人[52]用迈尔尼科夫法研究了船舶在规则波中的倾覆。袁远等人[53]随后用迈尔尼科夫法研究了船舶在随机横浪中的倾覆，他们应用非线性随机动力系统理论，从系统稳定性的角度来分析船舶在随机横浪上的运动稳定性，籍此来研究随机海浪中船舶倾覆的机理。他们的研究发现随机动力系统的全局分岔是导致系统失稳并导致船舶倾覆的一种途径，基于这一思路借助随机迈尔尼科夫法，通过求取相流函数零点得到了船舶运动全局稳定性丧失时海浪条件的阈值，从而可以对船舶的抗倾覆能力做出定量的考察。金咸定等人[54]基于非线性动力学理论，以系统运动的全局分岔为出发点，来探索在规则横浪中船舶倾覆的机理，应用迈尔尼科夫法，通过构造船舶运动的迈尔尼科夫函数来获得导致船舶倾覆的海浪条件的阈值，从而对船舶的安全营运起到一定的指导作用。为了解决解析分析迈尔尼科夫函数的难题，他们在研究中还提出了便于工程分析应用的迈尔尼科夫函数的数值算法。唐友刚等人[55]应用迈尔尼科夫函数和相空间转移率研究船舶在随机波浪中的强非线性横摇运动及其倾覆问题，分析了波浪特征频率、特征波高、船舶非线性复原力臂以及阻尼特性对相空间转移率的影响。以长30.7m、宽6.9m的渔船为例，采用ISSC波浪谱，在时域内计算了迈尔尼科夫函数，得到了相空间转移率与迈尔尼科夫函数之间的关系以及有义波高对相空间转移率的影响，他们的研究表明：随着有义波高增大，相空间转移率不断增大，船舶航行的安全域迅速减小。从而揭示了相空间转移率与船舶倾覆的内在密切联系，为船舶的设计和稳性衡准提供了有价值的参考。刘利琴等人[56]综述了国内采用非线性动力学理论和方法研究船舶运动的复杂动力学行为方面的进展，特别总结了在船舶非线性耦合运动、横浪运动、纵浪上参数激励运动和波浪上参数与波浪联合激励运动方面的研究现状及取得的主要成果，介绍了船舶在随机横风横浪中安全池的分析方法及采用迈尔尼科夫法研究船舶倾覆运动特性取得的进展。浦金云等人[57]系统地分析了具有淹水舱的舰船在波浪中横摇运动时船和舱内水的能量耦合作用,根据拉格朗日方程建立了具有淹水舱的舰船横摇运动两自由度微分方程，并在此基础上，用迈尔尼科夫法对某实船破损进水后的横摇运动进行了非线性分析，验证了所建模型的实用性，为进一步分析破损进水舰船在风浪中的横摇运动特性提供了可行的数学模型。

3.3 应用迈尔尼可夫法时应注意的问题

我们注意到在推导迈尔尼科夫衡准公式（11）时只考虑了横摇和横荡运动，这也就是说在用已有的迈尔尼科夫衡准作实例分析时只研究了船舶的横稳性。因为所有的船舶都主要是在横向倾覆[58]，用迈尔尼科夫分析就可以辅助处理初始设计阶段大多数的船舶稳性问题。但是船舶的随浪稳性问题目前也在引起人们的注意，用迈尔尼科夫解析分析来处理此类问题看来是有局限的[48]，因为在数学建模时要包含作用于船上的载荷的过多细节[48]。

4 首次穿越理论

4.1 国内外对用首次穿越理论分析船舶稳性的已有研究

研究船舶在随机海浪中的稳性和倾覆问题的另一方法是利用随机结构动力学中的首次穿越（first passage）理论。目前对于首次穿越问题只有基于马尔科夫（Markov）随机过程的一阶问题才有解。文献[59]的作者研究了由谐和和白噪声联合激励的非线性振荡系统的首次穿越时间。他们首先用随机平均法将系统运动方程降阶为一组伊藤（Itô）随机微分方程，接着建立了控制条件可靠性函数的后向科马格诺夫（Kolmogorov）方程和一组控制首次穿越时间条件矩的广义庞垂亚根（Pontryagin）方程。最后通过解带适当的初始和边界条件的后向Kolmogorov方程和广义Pontryagin方程获得了条件可靠性函数和首次穿越时间的条件概率密度和条件矩。他们用数值仿真验证了其解析解。以上即是解决首次穿越问题的一般步骤。已故英国学者Roberts[60-64]不但对首次穿越理论的发展贡献颇多，而且首先应用首次穿越理论来进行船舶在随机海浪中的横摇和倾覆研究。他[65-67]首先采用基于能量包线的随机平均法来预报受不规则波激励的船舶和运输驳船的横摇响应的平均首次穿越时间，基于能量包线的随机平均法并不受外激励水平高低的限制。但是应该指出文献[65]、[66]和[67]研究的重点是开发船舶横摇运动的随机理论，有关船舶稳性的首次穿越理论并没有被完整地系统地阐述出来，所提供的计算的例子也太过于简化。近期王迎光等人[68]在Roberts的初步工作的基础上做了进一步的研究，他们利用一组基于广义谐和函数的变换首先将船舶横摇方程降阶为一组一阶随机微分方程，接着利用一个新的随机平均程序获得了幅值过程微分方程的平均漂移和扩散系数的闭合形表达式，接下来建立了控制横摇幅值过程平均首次穿越时间的Pontryagin-Vitt方程。推导了Pontryagin-Vitt方程的两个边界条件，通过数值求解该边界值问题获得了平均首次穿越时间和首次穿越概率值。他们还首次研究了非线性阻尼系数对平均首次穿越时间的影响。

Cai等人[69-70]采用基于能量包线的随机平均法研究了在随机海浪中遭受外激和参激联合作用的船舶的首次穿越问题。Yim[71]等人在2005年研究了一艘驳船的非线性耦合运动，建立了一个拟二自由度随机模型，并进行了在随机海浪中的稳性分析。由于非线性横摇和升沉运动的耦合效应是明显的，通过利用观测到的升沉幅值试验测量结果和波浪高程的强依赖性，他们将二自由度横摇升沉模型中的升沉值表示为波高的函数，因而开发了一个精确和有效的拟二自由度模型。利用此拟二自由度模型基于首次穿越时间公式对此驳船进行了随机稳性分析。根据美国海军制定的运营和生存海况（1到9级），结果显示在7级以上海况运营时，该驳船的可靠性显著降低。

4.2 应用首次穿越理论时应注意的问题

建立在马尔科夫扩散过程理论和随机平均法之上的首次穿越理论是很严密和精深的，将其应用于船舶在随机海浪上的稳性和倾覆预报可以说是一种非常积极和有意义的探索。但是对首次穿越理论本身的理解和将理论应用于具体问题都是有相当难度的，尤其是要达到使工业界的船舶工程师能理解这套理论并应用于日常的设计实践中难度将更大，因而还需船舶教学和科研工作者们继续为此做出不懈的努力。

5 研究展望

在新概念船型的初始开发过程中，特别是一些高性能特殊船型和一些军用的高速舰船的初始开发设计中，稳性问题将是一个突出的问题，因为现行的稳性规范衡准仅在应用于普通常规船型时才是可靠的，在这方面，迈尔尼科夫分析可被用作为一个分析船舶动态稳性的高效的辅助工具。笔者认为诸如此类的针对迈尔尼科夫法的应用研究是很值得进行的。另外，在一些用迈尔尼科夫解析分析来处理有局限的问题上，例如船舶的随浪稳性问题，是否可将迈尔尼科夫法和时域仿真配合起来使用？即先用迈尔尼科夫分析缩小应研究的船舶初始条件和控制参数的范围，然后再有针对性地进行时域仿真，这将大大提高时域仿真的效率，作者认为在这方面也值得进行进一步的研究。

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