宽光谱平像场全息凹面光栅的优化研究＊

皮道锐 黄元申 张大伟 倪争技 庄松林

(上海理工大学光电信息与计算机工程学院,上海 200093)

宽光谱平像场全息凹面光栅的优化研究＊

皮道锐 黄元申†张大伟 倪争技 庄松林

(上海理工大学光电信息与计算机工程学院,上海 200093)

(2009年2月27日收到;2009年5月14日收到修改稿)

基于凹面光栅的几何理论,推导了子午、弧矢聚焦曲线的数学表达式和全息平像场凹面光栅制作参数的计算关系式.提出了一种新的在整个使用波长范围内同时消除子午和弧矢像差的最佳优化设计方法.这种方法不同于以光线追迹技术为基础的标准光学设计软件如CODE V或ZEMAX的优化设计方法,而是从数学表达式出发,采用光栅优化因子,对凹面光栅的子午聚焦曲线和弧矢聚焦曲线进行拟合,从理论上找到最佳的能够使子午和弧矢像差同时趋于零的像平面,然后再根据拟合参数设计制作光栅.用Matlab软件解决了子午聚焦曲线超越方程无法解的困难;讨论了不同光栅常数和入射角度时对两聚焦曲线拟合程度的影响.提出了在宽光谱使用条件下,可以通过减小入射角度和光栅刻线数来提高光谱像质.

凹面光栅,宽光谱,像差,聚焦曲线

PACC:4240E,0765E

1.引言

全息凹面光栅同时具有分光和聚焦光学元件的特性,广泛应用于各种光谱分析仪器中,而其中应用最广泛的是平像场全息凹面光栅.这种光栅的光谱连续分布在一个平面上,非常适合与面阵探测器结合使用,达到高速分析的目的,并实现仪器的小型化和轻型化.自Rowland提出凹面光栅以来,凹面光栅理论得到了不断的发展[1—5].1945年, Beutler[6]总结并建立了使用条件在Rowland圆上的凹面光栅理论,消除了子午像差,但其缺点是像点在远离凹面球心时具有较大的弧矢像差.20世纪70年代,Namioka等[7]建立了比较完善的凹面光栅几何理论,适用于各种全息和机刻凹面光栅[8,9].文献[10—12]对一些特殊的非球面凹面光栅进行了理论研究.在过去的几十年里,以这些理论为基础,采用各种优化设计方法,制作了大量全息凹面光栅,如文献[13]用几何光学方法计算优化球面光栅以及非球面光栅,文献[14]用最小二乘法计算优化全息凹面光栅,文献[15]用全息补偿法优化像差.近年来为满足面阵光谱探测器使用和遥感图像等二维图像信息分析的需要[16],对优化设计具有宽光谱平像场的全息凹面光栅提出了要求[17].目前全息凹面光栅的设计方法主要有两种,一种是采用标准的光学设计软件CODE V或ZEMAX进行优化设计,它们是根据光线追迹的点列图评价像差然后逐步优化逼近的思路进行设计的,不能达到在全部使用的波长范围内同时消除子午和弧矢像差的目的.另一种方法是将入射狭缝放置在球心位置,入射角为0°,臆断这种条件下子午聚焦曲线最接近像平面.

本文以凹面光栅的几何理论为基础,提出了一种新的能够在全部使用波长范围内同时消除子午和弧矢像差,适合宽光谱平像场全息凹面光栅的优化设计方法.这个方法是采用光栅优化因子,先在Matlab软件平台上对全息凹面光栅子午聚焦曲线和弧矢聚焦曲线进行拟合,即在拟合的像平面上子午和弧矢像差同时趋于零,然后再根据拟合参数设计制作光栅,并且讨论了不同光栅常数和入射角度对拟合的影响程度.提出了在宽光谱使用条件下,可以通过减小入射角度和光栅刻线数来提高光谱像质.

2.全息凹面光栅的像差理论

如图1所示,凹面光栅垂直水平面放置,O为凹面光栅中心,x轴为光栅表面法线,xy平面平行于水平面.光栅面曲率半径为R.考虑到大多数光栅装置的入缝都是垂直并对称于xy平面的,为了简化问题,选择入缝中点来建立光程函数.假定波长为λ的光线从入缝中点A(rAcosα,rBcosα,0)经光栅表面上任意点P(x,y,z)衍射到像点B(rBcosβ,rBsinβ, 0),则光线APB的光程函数为

其中k为光栅衍射级次,m为P点到O点的刻线数.对上式进行幂级数展开

其中,

光栅函数m(y,z)是一个表示凹面光栅表面刻线分布的函数,其m(0,0)=0,并可以展开成以下幂级数形式:

其中e0是光栅中心处刻线间隔,uij为常数,定义为优化因子.m(y,z)的整数值就是P点到O点的刻

由(2)和(4)式并应用费马原理得

图1 全息平场凹面光栅光路

其中

显然凹面光栅理想成像时,光程函数F≡0,即要求所有Fij≡0,但是无论怎样选择uij值都不可能满足这个要求.每一项Fij≠0代表一种像差.所谓消除凹面光栅像差只是在一定程度上消除某些项的像差.令

那么在一定的使用波长范围(λ1—λ2)内,消除Fij项的像差就是对Iij求最小值.将(6)式代入(7)式并将Iij对uij求导可以得到

其中β1=arcsin(kλ1/e0-sinα),β2=arcsin(kλ2/e0-sinα).

优化因子uij确定以后,凹面光栅的刻线分布m(y,z)也就确定了,即设计了满足使用条件的,同时消除了某些项像差的凹面光栅.

3.全息凹面光栅的点光源制作设计

如图1所示,C,D是两个在xy平面上制作点光源,光线CO,DO的长度分别为r1和r2,与x轴的夹角为θ1和θ2,λ0为制作激光的波长.那么

将其展开成幂级数得

其中,

显然全息凹面光栅的刻线分布由记录点光源的四个位置参数(r1,r2,θ1,θ2)和激光波长λ0决定.比较(4)和(10)式,虽然形式相同,但前者中的uij值可以任意选择,通过某一种选择获得最佳刻线分布;后者是由两个点光源形成的刻线函数,Hij由四个记录参数确定.为了使点光源制作后的光栅具有最佳刻线分布,必须满足

由(12)式可知通过调整Hij中包含的四个制作参数,最多可以满足四个uij的取值要求.联立四个方程,解出四个制作参数,用这组参数制作出的光栅就能够满足四个uij值.

4.全息凹面光栅的优化设计

因为低级像差比高级像差对像质的影响大,所以消像差主要是消除y2和z2项的像差,即要找到能够使F20和F02都趋于零的像平面.y2项代表子午像差;z2项代表弧矢像差.方程F20=0和F02=0中包含参数rA,rB,α,β和u20或u02,其中rA,α是入缝位置参数,rB,β是像面位置参数,u20和u02为优化因子.在入缝位置和优化因子确定以后,它们是关于像面位置参数的两条曲线,F20rB,β=M20-u20M10=0称为子午聚焦曲线,曲线上子午像差为零;称为弧矢聚焦曲线,曲线上弧矢像差为零.因此可以用优化因子和入缝位置参数来优化设计凹面光栅,找到子午和弧矢聚焦曲线拟合的像平面.

对凹面光栅的分类,本文采用大多数文章的提法,即法国Jobin-Yvon公司的分类方法,将光栅分为Ⅰ—Ⅳ型凹面光栅.本文讨论的平像场光栅即为Ⅲ型凹面光栅,其规定为

根据点光源制作条件,选取四个uij分别为u10,u02,u30=0,u20≠0,那么这种平像场凹面光栅的弧矢聚焦曲线为

子午聚焦曲线为

拟合的方法就是通过u20值来使子午聚焦曲线最大限度地接近像平面.

由(8)式得

u20和方程(14)都与rA,α和rB,β以及波长范围(λ1—λ2)和刻线数1/e0有关,但是满足u20的像面参数rB, β不一定满足方程(14).因此我们可以通过改变入缝位置参数rA,α或在满足使用条件的情况下改变刻线数1/e0来拟合子午和弧矢聚焦曲线.方程(14)是一个超越方程,采用一般的方法无法求解.这部分工作我们用计算机仿真模拟,在确定使用条件以后,对α在[-90,0]内赋值,不同的α值对应的两条聚焦曲线的拟合度不一样,直到找到最佳拟合时的u20值,再根据这个u20值计算出制作参数.用这样的制作参数制作的全息凹面光栅,可以达到在宽光谱使用的平像场平面内同时消除子午和弧矢像差.

5.计算机仿真模拟及结果分析

图2 光栅刻线数为1200 g/mm,波长范围为190—400 nm时,不同入射角度对像差的影响 (a)入射角为0°,(b)入射角为10°,(c)入射角为20°

如图2—4所示,实线为使用条件下入射光线,带正方形标记和带三角标记的实线之间为-1级衍射光的使用波长范围,点虚线为子午聚焦曲线及其渐近线,圆点线为弧矢聚焦曲线,同时将像平面放在这个平面上,(0,0)为凹面光栅中心.这些图给出了在不同的入射角度、刻线数时,使用波长范围内子午和弧矢聚焦曲线的拟合情况.

5.1.不同入射角度对像差的影响

图2的凹面光栅光栅刻线数为1200 g/mm,使用波长范围为190—400 nm.入射角度分别为0°, 10°,20°.0°时,子午聚焦曲线斜率与弧矢聚焦像平面相差较大;10°时,很好地拟合在一起,而20°时,只有一个交点,其余均有很大的像差.可见0°入射并非是最佳设计,臆断这种条件下子午聚焦曲线最接近像平面是不严谨的.假如采用根据点列图的评价不断优化的设计方法,很难找到在全部使用波长范围内同时消除子午弧矢像差的最佳设计.

5.2.光栅刻线数恒定时宽光谱范围的像差修正

图3的凹面光栅光栅刻线数为1200 g/mm,使用波长范围为190—600 nm.由于光谱范围扩大,子午聚焦曲线的对应的优化因子u20也随之增大,增大了子午聚焦曲线在使用波长范围内的斜率,像差也随之增大.图3(a)与图2(a)相比具有更为严重的像差;如图3(c)入射角度在20°时,548—600 nm波长范围的光波成为倏逝波,而且在整个190—548 nm的波长范围内比图2(c)有更大的像差.如图3 (b)入射角度在10°时,靠近长波长区域比短波长区域有更大的像差,而且曲线与图2(c)相仿,说明使用波长范围越宽,入射角度应该越小,具有更好的像质,因为入射角度越大,子午聚焦曲线对应的优化常数u20越大,使用波长范围越小.如图3(d),入射角度为5°时修正了图3(b)中长波长区域的像差,但由于光谱像面太长,无法找到一个合适的入射角度达到理想拟合的目的,图3(d)的像差仍比较严重.

图3 光栅刻线数为1200 g/mm,在宽光谱范围内(190—600 nm),不同入射角度下对像差的修正 (a)入射角为0°,(b)入射角为10°,(c)入射角为20°,(d)入射角为5°

5.3.光栅刻线数的改变对像差的影响

图4(a),(b)的凹面光栅光栅刻线数为900 g/mm,图4(c),(d)的凹面光栅光栅刻线数为1400 g/mm,它们的使用波长范围均为190—600 nm.

根据(8)式可知,当光栅刻线数减小时,衍射角度也随之减小,光谱像面长度变短,有利于修正像差,但这会降低凹面光栅的分辨率.在对分辨率要求不高的光谱器件中,我们可以适当地减小光栅的光栅刻线数来修正像差.如图4(a),(b)与图2 (a),(b)相比扩大了使用波长范围,同时减小了光栅的刻线数,结果子午聚焦曲线的变化趋势一致,在入射角度为10°时像差较小.说明在宽光谱使用时,可以通过减小刻线数来提高像质,如图4(c), (d)与图2(a),(b)相比增加了刻线数,像差更加严重.

6.点列图评价

文献[18]对凹面光栅的光线追迹进行了详细阐述和推导,据此编制了凹面光栅的评价程序,对以上各种设计情况进行点列图评价,如图5—7所示,发现两条聚焦曲线拟合程度好的点列图是最佳的.

7.结论

本文以凹面光栅的几何理论为基础,提出了一种新的在整个使用波长范围内同时消除子午和弧矢像差的最佳优化设计方法.从光程函数的幂级数展开出发,采用光栅优化因子,对凹面光栅的子午聚焦曲线和弧矢聚焦曲线进行拟合,从理论上找到最佳的能够使子午和弧矢像差同时趋于零的像平面,然后再根据拟合参数设计制作光栅.讨论了不同光栅常数和入射角度时对两聚焦曲线拟合程度的影响.提出了在宽光谱使用条件下,可以通过减小入射角度和光栅刻线数来提高光谱像质.

图4 宽光谱范围内(190—600 nm),光栅刻线数改变对像差的影响 (a)入射角为0°,刻线数为900 g/mm;(b)入射角为10°,刻线数为900 g/mm;(c)入射角为0°,刻线数为1400 g/mm;(d)入射角为10°,刻线数为1400 g/mm

图5 对应图2的点列图 (a),(b),(c)分别对应图2(a),(b),(c)

图6 对应图3的点列图 (a),(b),(c),(d)分别对应图3(a),(b),(c),(d)

图7 对应图4的点列图 (a),(b),(c)(d)分别对应图4(a),(b),(c),(d)

[1]Noda H,Namioka T,SeyaM 1974Opt.Soc.Am.64 1031

[2]Bayanheshig,Zhu H C 2007Acta Phys.Sin.56 4982(in Chinese)[巴音贺希格、朱洪春2007物理学报56 4982]

[3]DubanM 1999Appl.Opt.38 4019

[4]CashW 1995Appl.Opt.34 2241

[5]DubanM 1999Appl.Opt.38 3443

[6]Beutler H G 1945Opt.Soc.Am.35 311

[7]Noda H,Namioka T,SeyaM 1974Opt.Soc.Am.64 1043

[8]Zhou C H,WangL,Wang Z H 2001Acta Phys.Sin.50 1046 (in Chinese)[周传宏、王 磊、王植恒2001物理学报50 1046]

[9]Wang C H,LiuL R,YanAM,Zhou Y,LiuD A,Hu ZJ 2007 Chin.Phys.16 100

[10]Webster C,Cash J 1984Appl.Opt.23 4518

[11]DubanM 1987Appl.Opt.26 4263

[12]Namioka T,KoikeM,ContentD 1994Appl.Opt.33 7261

[13]Namioka T 1959Opt.Soc.Am.49 446

[14]SeyaM,WatanabeM 1980Opt.Soc.Am.70 305

[15]Bazhanov YV 2004Opt.Technol.71 10

[16]KongW J,YunM J,Sun X,Liu J H,Fan Z X,Shao J D 2008 Acta Phys.Sin.57 4904(in Chinese)[孔伟金、云茂金、孙欣、刘均海、范正修、邵建达2008物理学报57 4904]

[17]KhaterM A,Costello J T,Kennedy E T 2002Appl.Spectros.56 970

[18]Noda H,Namioka T,Seya M1974Opt.Soc.Am.64 1037

PACC:4240E,0765E

Opt im ization of the flat-field holographic concave grating in wide spectral range＊

Pi Dao-Rui Huang Yuan-Shen†ZhangDa-Wei Ni Zheng-Ji Zhuang Song-Lin

(School of Optical-Electrical and Computer Engineering,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China)

27 February 2009;revised manuscript

14 May 2009)

Based on the geometric theory of concave grating,we deduce the mathematical expressions of the meridional curve, Sagittal curve and the relational expression for the holographic flat-field image concave grating.We also propose a new optimal method in all used range for correcting the meridional and sagittal aberrations.Different from the design method using CODE V or ZEMAX,we use mathematical expression and adopt grating optimal factor instead.By fitting the meridional focusing curve and Sagittal focusing curve of concave grating,we find an image surface in theory to ensure that the meridional and also the Sagittal aberrations tend to zero,and then design and fabricate the grating based on the fitting parameters.We solve the problem that the meridional curve transcendental equation cannot solve byMatlab,and discuss the influence of two curves for different grating constants and different incidence angles.We find that the aberrations in a wide spectral range can be corrected by diminishing the incidence angle and increasing the grating scribed lines.

concave grating,wide spectral range,aberration,focusing curve

＊国家科技支撑计划(批准号:2006BAK03A03)、上海市科委创新行动计划(批准号:07DZ22026,08DZ2272800)和上海市自然科学基金(批准号:08ZR1415400)资助的课题.

†通讯联系人.E-mail:hyshyq@sina.com

＊Project supported by the National Key Technology Research and Development Program of theMinistry of Science and Technology of China(Grant No.2006BAK03A03),the Shanghai Science&Technology Innovation Program,China(Grant Nos.07DZ22026,08DZ2272800),and the Natural Science Foundation of Shanghai,China(GrantNo.08ZR1415400).

†Corresponding author.E-mail:hyshyq@sina.com