基于时间优化的输入整形法抑制一种 3-DOF并联机器人的残余振动*

李兵,谢里阳,武滢,魏玉兰

(1.东北大学机械工程与自动化学院,沈阳 110004;2.多伦多大学机械与工业工程系,多伦多 M5S 3G8加拿大)

0 引言

机器人被广泛地应用在现代加工技术、机械装备、航空航天等领域里。并联机器人相对串联机器人具有高强度比、刚度比和更精确的运动轨迹而越来越多被采用。为了提高系统运动的速度和加速度,较轻的结构被采用。但由于机器人结构的柔性和惯性力造成了系统的残余振动,而这些振动影响了机器人的运动轨迹,使系统控制更为困难。输入整形法能有效地抑制柔性机构和机器人的残余振动[1-2]。

输入整形法,这种简单有效的前反馈方法,它根据系统模型的共振频率和阻尼比计算出一系列脉冲信号,将这一系列脉冲与系统期望的输入信号进行卷积并作为输入信号输出给系统,从而抑制了系统的残余振动。对于参数不确定系统也可以使用这种方法[3],与闭环控制策略相结合可以提高系统的鲁棒性[4],也可以很好的抑制非线性系统的残余振动[5]。在脉冲序列里加入负脉冲能减少系统响应的时间延迟,即负脉冲输入整形器能在抑制系统残余振动的同时获得更快的运动响应[6]。然而脉冲的幅度影响系统的减振效果,需要选择一个合理的脉冲幅度,从而既能减少系统响应的时间延迟又能更好地抑制系统的残余振动。单位幅度负脉冲输入整形器能够满足这种要求。

1 系统模型和动态方程

1.1 系统模型

一种 3自由度(3-DOF)平面并联机器人是由 3个对称布置的连接杆以闭环形式组成,每一个连接杆都有 2个转动约束和一个直线位移约束,如图 1。选用质量比较轻的连接杆为了提高系统运动的速度和加速度,但却造成了系统强烈的残余振动。系统的残余振动越严重,运动轨迹精度越差。因此,必须使用一个有效的方法抑制系统的残余振动。

图 1 3-DOF并联机器人系统的装置图

1.2 系统的动态方程

这种 3-DOF平面并联机器人系统坐标系图,如图2,给出了每个连接杆变形与不变形的两种状态[7]。三个连接杆的尺寸是一样的,长为 200mm,宽为 30mm,厚为 2mm,运动平台上每两个旋转铰链的中心距离是100mm,每个滑块所允许的运动行程为 400mm,连接杆的材料是一种铝合金,这种材料的弹性模量E=7.1×1010N/m2,材料的质量密度 ρ=2.77×103Kg/m3,两个连接杆末端的集中转动惯量为 JBi=JCi=5.815×10-5Kg◦m2。把连接杆看成柔性体,并将其简化为Euler-Bernoulli梁模型,同时把运动平台和滑块看作刚体。根据机器人的特性,柔性连接杆采用了两端简支的边界条件。

图 2 3-DOF并联机器人系统的坐标系图

使用拉格朗日方法,这种 3-DOF并联机器人的动态方程矩阵为[7]：

其中,M是系统的模态质量矩阵,K是模态刚度矩阵,Ffg是刚体在弹性振动中运动所造成的模态力,--表示刚体运动对柔性连接杆造成的弹性振动的影响。

通过数字仿真可得,这种 3-DOF机器人柔性连接杆的前三阶固有频率为 70.5Hz、170.6Hz和 280.8Hz。由实验获得的前两阶固有频率和阻尼比分别为76.6Hz、231.2Hz、0.057和 0.017。

2 负脉冲输入整形

负脉冲输入整形器会减少系统响应的时间延迟。不像正脉冲输入整形器中各个脉冲幅度均为正值且幅度和等于 1,负脉冲输入整形器的部分连续脉冲的幅度和小于或等于一个值 Q,且脉冲的幅值可以为负值。一个含有负脉冲的三脉冲输入整形器和执行过程如图 3,脉冲幅度为 A1,A2,A3的负脉冲输入整形器的约束方程为：

图 3 含有负脉冲的输入整形过程

2.1 N-ZV输入整形

当 ZV输入整形器加入负脉冲时,即为负脉冲零振动(N-ZV)输入整形器。最小长度的 N-ZV输入整形器是 3脉冲输入整形器,其脉冲幅度为：

通过脉冲幅度 Q、共振频率和阻尼比可以得出脉冲的作用时间。根据残余振动约束方程[1],一个正弦和一个余弦约束方程必须被满足,如方程(4)。为了实现最小长度整形器,令 t1=0。

2.2 N-ZVD输入整形

当系统存在建模误差或者不能获得准确的共振频率和阻尼比时,N-ZV输入整形器就不能有效地抑制系统的残余振动。添加零导数约束方程可以提高整形器的不灵敏度,零导数约束方程就是令残余振动方程对模型频率的导数等于零[8]。当含有负脉冲时,所构成的整形器就是负脉冲零振动和零导数(N-ZVD)输入整形器,N-ZVD整形器最少由 5个脉冲组成,其脉冲幅度为：

2.3 N-EI输入整形

为了获得更高的整形器不灵敏度,可以放宽零残余振动约束方程的限制,采用 EI输入整形器[9]。当含有负脉冲时,所形成的整形器就是负脉冲极不灵敏(N-EI)输入整形器。N-EI整形器最少由5个脉冲组成,其脉冲幅度可由方程(5)得出。

当考虑阻尼 ζ时,N-ZV、N-ZVD和 N-EI输入整形的脉冲作用时间 t2,t3,t4,t5可通过约束方程使用数值法得出。

3 单位幅度负脉冲输入整形

由于普通负脉冲输入整形器的脉冲幅度是通过部分和约束方程求出,整形命令的幅度会超过未整形命令的幅度,这样会造成输入过流现象,如图 4。有可能影响系统的执行效果,而且还会降低减振性能。Q越大,造成的过流现象越大,对系统影响越严重。这就需要我们对负脉冲输入整形器进行优化。

图 4 含有负脉冲的过流输入

通过改变脉冲幅度的约束方程,采用单位幅度约束方程,即各个脉冲幅度可表达为：

这种输入整形法成为单位幅度负脉冲(UMN)输入整形法[6]。这种方法能够消除过流现象,适合各种负脉冲输入整形器。最小长度的单位幅度负脉冲零振动(UMN-ZV)输入整形器为 3脉冲输入整形器;最小长度的单位幅度负脉冲零振动和零导数(UMN-ZVD)输入整形器为 5脉冲输入整形器;最小长度的单位幅度负脉冲极不灵敏(UMNEI)输入整形器为5脉冲输入整形器。当考虑阻尼 ζ时,各个脉冲的作用时间可通过输入整形的残余振动约束方程使用数值法得出。

4 仿真

通过实验可获得系统第一阶共振频率 f=76.6Hz,阻尼比 ζ=0.057,此外 t1=0,Q=1,系统输入信号为单位阶越信号。UMN-ZV、UMN-ZVD和UMN-EI输入整形器的各个脉冲作用时间见表 1。

表 1 单位幅度负脉冲输入整形器参数

系统输出响应曲线如图 5～图 6,在振动幅度小于5%的情况下,UMN-EI输入整形器的系统输出响应曲线如图 7。

图 7 无整形与EI整形作用下的系统响应

从图 5中可以看出,ZV、N-ZV和 UMN-ZV输入整形器能有效的减少系统的残余振动,ZV输入整形器的系统输出响应最慢,N-ZV输入整形器的系统输出响应最快,其比 ZV输入整形器响应快 0.0028s;UMN-ZV输入整形器仅比 N-ZV输入整形器多用时 0.006s,但减振效果却好于 N-ZV输入整形器。对于 ZV、N-ZV和UMN-ZV,系统输出响应时间分别为 0.0065s、0.0037s和0.0043s。

从图 6中可以看出,ZVD输入整形器的系统输出响应最慢,但减振效果最好,N-ZVD输入整形器的系统输出响应最快;N-ZVD比 ZVD减少响应时间 0.004s,但第一个振动周期减振效果较差;UMN-ZVD输入整形器仅比 N-ZVD输入整形器多用时 0.006s,但减振效果却好于 N-ZVD输入整形器。对于 ZVD、N-ZVD和UMN-ZVD,系统输出响应时间分别为 0.013s、0.009s和0.0096s。

从图 7中也可得到相同的结论,EI输入整形器的系统输出响应最慢,但减振效果最好,N-EI输入整形器的系统输出响应最快;N-EI比 ZEI减少响应时间0.004s,但第一个振动周期减振效果较差;UMN-EI输入整形器仅比 N-EI输入整形器多用时 0.006s,但是减振效果却好于 N-EI输入整形器。对于 EI、N-EI和UMN-EI,系统输出响应时间分别为 0.013s、0.009s和0.0096s。

灵敏度曲线可看出系统频率对残余振动抑制的影响,输入整形器的不敏感性可通过估算在一定残余振动水平下的灵敏度曲线宽度得出。ZV、N-ZV与 UMNZV,ZVD、N-ZVD与 UMN-ZVD,EI、N-EI与 UMN-EI输入整形器的灵敏度曲线如图 8,图 9,图 10。

从图 8～图 10中可看出,对于振动幅度小于 5%的情况下的不灵敏度,N-ZV比 ZV的小 0.02,N-ZVD比 ZVD的小 0.02,N-EI比 EI的小 0.02。正脉冲输入整形器的灵敏度曲线宽于负脉冲整形器的灵敏度曲线,即负脉冲整形器的不灵敏度小于正脉冲整形器。3-DOF并联机器人的 UMN-ZV,UMN-ZVD,UMN-EI输入整形器的灵敏度曲线,如图 11所示。

从图11中可以得到,在振动幅度小于 5%的情况下,UMN-ZV,UMN-ZVD,UMN-EI输入整形器的不灵敏度分别为 0.05,0.274,0.36。对于 UMN-ZV,UMN-ZVD,UMN-EI输入整形器,当模态共振频率误差分别超过±2.5%,±13.7%,-18.5%～17.5%时,系统的残余振动将不能限制在 5%以下。仅仅当模态共振频率等于系统实际共振频率时,振动才能完全被抑制。对于动态模型的不确定性,UMN-EI输入整形器具有最好的鲁棒性,但响应时间较长。

对于 UMN-ZV,UMN-ZVD,UMN-EI输入整形器,其不灵敏度与 N-ZV、N-ZVD和 N-EI输入整形器的不灵敏度几乎相同,系统响应时间延迟较小,但改善了系统残余振动的抑制。

5 结束语

介绍了一种 3-DOF并联机器人系统,表达了动态方程,根据实验获得了系统固有频率和阻尼比。介绍了N-ZV,N-ZVD,N-EI,UMN-ZV,UMN-ZVD和UMN-EI输入整形器的构造方法和特性,并应用到这种 3-DOF并联机器人系统。根据数字仿真,负脉冲输入整形器在抑制系统振动的同时能明显减少系统响应的时间延迟,而且整形器的鲁棒性比正脉冲输入整形器仅有微小的降低,但减振效果降低。单位幅度负脉冲输入整形器比部分和负脉冲输入整形器仅有较小的系统响应时间延迟,但降低了系统的残余振动。尤其在 UMNZVD和 UMN-EI输入整形器作用下,系统输出响应的残余振动明显降低。从而实现了在减少系统响应时间延迟的同时更好地减少系统残余振动。

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