圆锥曲线与准线顶点有关的一个统一性质

2010-08-27 03:37彭世金常德市第六中学湖南常德415003
中学教研(数学) 2010年12期
关键词:准线纵坐标切点

●彭世金 (常德市第六中学 湖南常德 415003)

笔者通过对圆锥曲线的研究,得到圆锥曲线与准线顶点有关的一个统一性质.

图1

由点P在切线PA,PB上,可得

消去x,并化简整理得

由根与系数的关系得因此

将椭圆在顶点E处的切线方程x=a与切线PA,PB的方程联立,可得点M,N的纵坐标yM,yN分别为

类似地,可证双曲线与抛物线的如下性质:

性质2 如图2,已知双曲线

图2

图3

性质3 如图3,已知抛物线y2=2px(p>0),F是抛物线的焦点,点E是抛物线的顶点,P是抛物线的准线l上任一点,过点P作抛物线的2条切线PA,PB,切点分别为 A,B,PA,PB 与抛物线在顶点E处的切线分别相交于点M,N.记抛物线的离心率为 e,A,B,M,N 的纵坐标分别为 yA,yB,yM,yN,则

从而切点弦AB的方程为

又由根与系数的关系得

将抛物线在顶点E处的切线方程x=0与切线PA,PB的方程联立,得点M,N的纵坐标分别为

由式(3),式(4)得

注意到抛物线的离心率e=1,故

猜你喜欢
准线纵坐标切点
·更正·
更正
勘 误
再探圆锥曲线过准线上一点的切线性质
抛物线的切点弦方程的求法及性质应用
过圆锥曲线准线上一点的切割线性质
一种伪内切圆切点的刻画办法
椭圆的三类切点弦的包络
第五届播睿智杯“奇思妙想”有奖数学知识竞赛
圆锥曲线的一个性质及应用