●彭世金 (常德市第六中学 湖南常德 415003)
笔者通过对圆锥曲线的研究,得到圆锥曲线与准线顶点有关的一个统一性质.
图1
由点P在切线PA,PB上,可得
消去x,并化简整理得
由根与系数的关系得因此
将椭圆在顶点E处的切线方程x=a与切线PA,PB的方程联立,可得点M,N的纵坐标yM,yN分别为
类似地,可证双曲线与抛物线的如下性质:
性质2 如图2,已知双曲线
图2
图3
性质3 如图3,已知抛物线y2=2px(p>0),F是抛物线的焦点,点E是抛物线的顶点,P是抛物线的准线l上任一点,过点P作抛物线的2条切线PA,PB,切点分别为 A,B,PA,PB 与抛物线在顶点E处的切线分别相交于点M,N.记抛物线的离心率为 e,A,B,M,N 的纵坐标分别为 yA,yB,yM,yN,则
从而切点弦AB的方程为
又由根与系数的关系得
将抛物线在顶点E处的切线方程x=0与切线PA,PB的方程联立,得点M,N的纵坐标分别为
由式(3),式(4)得
注意到抛物线的离心率e=1,故