一个不等式问题的简证及其思考

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(咸阳师范学院基础教育课程研究中心 陕西咸阳 712000)

在《数学通报》1992年第10期的数学问题栏目中，黄汉生先生提出了如下不等式：

问题1已知x,y,z∈R+，求证：

原刊物的证明过程比较复杂，下面笔者给出该题的简化证明.

证明注意到简单不等式ab+bc+ca≤a2+b2+c2，得

即

因为

所以

由柯西不等式，得

得证.

对不等式(1)进行变形，可等价转化为：

问题2已知x,y,z∈R+，求证：

事实上，还可以证明如下的不等式：

问题3已知x,y,z∈R+，求证：

证明利用二元均值不等式得

即

同理可得

将这3个不等式叠加，立得不等式(3).

链接不等式(2)和(3)，可得如下不等式链：

问题4已知x,y,z∈R+，求证：

显然，不等式(4)是如下常见不等式的加细.

问题5已知x,y,z∈R+，求证：

在《中学数学月刊》2008年第1期中，田富德先生提出了这样一个分式不等式：

问题6若a,b,c∈R，且a,b,c都不为0，则

事实上，不等式(6)等价于

我们知道，a2+b2+c2≥ab+bc+ca，于是有比不等式(6)更强的结论:

若a,b,c∈R，且a,b,c都不为0，则

这正是问题5中的不等式！以上我们探讨了不等式(5)的一种加细，得到了比较优美的不等式(4).这里需要指出的是，不等式还有一些简单的应用,请看如下不等式：

(W.Janoux 猜想)

提示：对分母进行换元z+x=a,x+y=b,y+z=c,所证不等式等价于不等式(5).

提示：对分母进行换元，得所证的不等式等价于不等式(5).