扩展不确定度包含因子的简单计算

张建群

（福建省计量科学技术研究，福建 福州 350002）

一、引言

在测量不确定度评定过程，需要选择包含因子k或kp，在JJF 1059-1999《测量不确定度评定与表示》（以下简称“JJF 1059”）中7.1条，对计算扩展不确定度有两种方法：一种直接选择k=2或3，乘合成标准不确定度uc（y）得扩展不确定度U；另一种在给定概率p下，查“t分布临界值”的kp，然后乘合成标准不确定度uc（y）得扩展不确定度U。但没有明确在什么情况下选择那种包含因子评定扩展不确定度，只提到“但veff充分大时，可以近似认为k95=2、k99=3”。因此本文主要根据ISO、IEC等7个国际组织联合制定并发布《测量不确定度表达指南》〔（GUM）ISO：1993（E）〕有关内容阐述如何简单选取包含因子计算扩展不确定度。

二、对《测量不确定度表达指南》中推荐的简单方法的理解

根据《测量不确定度表达指南》附录G选取包含因子简单选择方法有：在Y和uc（y）表征的概率分布近似为状态分布，且uc（y）的有效自由度veff较大时，可取k=2，其所形成的区间±2uc（y）具有置信概率约为95%；若取k=3，其所形成的区间±3uc（y）具有置信概率约为99%。具体成立条件为：

1、被测量Y的估计值y，是由适当的输入量Xi的估计值xi得到的，Xi由良好概率分布描述，如正态分布或矩形分布；

2、可由A类或B类评定输入量的估计值的标准不确定度u（xi），它们对测量结果合成不确定度uc（y）有一定的贡献；

3、由不确定度传播律要求的线性近似是合适的；

4、uc（y）的不确定度是很小的，因其有效自由度veff具有足够的大小，如veff＞10。

实际评定测量不确定度对上述4个条件中大部分满足前3条。其中第1、2条主要是应用中心极限定理所要求的，在实际评定过程中基本也满足要求；第3条是应用在不确定度传播律要求，在推导不确定度传播律时，根据泰勒级数展开中只取一阶近似数；第4条要求uc（y）是很小的，veff＞10。

评定测量不确定度中，怎样利用“指南”的介绍简单方法，进行简单选取包含因子进行测量不确定度评定？如果直接根据韦尔-萨特思韦特公式计算veff，查“t分布临界值”的kp=tp（veff），那无所谓简单方法了，另外计算veff工作量是有一些的。如果不按“指南”中规定选取条件，直接取k=2或3，并认为形成的区间±2uc（y）（或±3uc（y））具有置信概率95%（或99%），似乎存在是否合理的疑问？哪到底怎样选取包含因子？因此利用《测量不确定度表达指南》提供的简单方法，在满足veff＞10，根据置信概率可以直接取k=2或3。

三、《测量不确定度表达指南》简单方法分析

如果利用《测量不确定度表达指南》提供的简单方法，在满足veff＞10可以直接取k=2或3，其对扩展不确定度存在多少不可靠因素？分析说明如下：

1、假设veff=6（veff＜10），则分别按k=95%与k=99%查“t分布临界值”的kp=tp（veff）为：

k95=t95（6）=2.45、k99=t99（6）=3.71

如果直接k=2或3，则测量不确定度偏小了22.5%与23.7%，这是不可不考虑的问题。

2、假设veff=11（veff＞10），则分别按k=95%与k=99%查“t分布临界值”的kp=tp（veff）为：

k95=t95（6）=2.20、k99=t99（6）=3.11

如果直接k=2或3，则测量不确定度偏小了10%与4%，这是可以考虑的问题。

将选取几个veff＞10的有效自由度与k=2或3比较结果如下（见表1）：

表1 veff＞10的查表kp值与k=2或3比较结果

从veff＞10：直接选取k=2看出，扩展不确定度偏小均在10%以内，这是简单方法所允许的；直接选取k=3看出，扩展不确定度从偏小4%到偏大11%，偏大等于把扩展不确定度放宽了，造成扩展不确定度比较保守了，使得最佳测量能力的数值变大，这是允许的。

因此，在不知道是否满足veff＞10的情况下，直接选取k=2或3存在一定的风险。所以在实际评定测量不确定度时应根据使用接受的程度，以满足veff＞10条件下，可以采用《测量不确定度表达指南》简单方法：包含因子直接取k=2或3。

四、判定veff是否满足veff＞10

在实际评定测量不确定度中，如何采用《测量不确定度表达指南》的简单方法，直接选择包含因子进行测量不确定度评定。那怎样判定veff是否满足veff＞10？

由JJF 1059的韦尔-萨特思韦特公式计算veff：

设vmin为v1，v2，v3，…，vN中最小的一个自由度，且Xi之间不相关的情况下，对式（1）推导如下：

由式（1）、式（2）得

由式（3）我们可以判定veff是否满足veff＞10。即：

1、若vmin≥10时，可判断出veff＞10，则可对于p=95%，取k＝2；对于p=99%，取k＝3。

2、若vmin≤10时，可判断出veff≤10，则不能采用《测量不确定度表达指南》简单方法在置信概率情况下直接取包含因子k=2或3。应根据JJF 1059方法计算有效自由度 ，判定veff＞10？，在置信概率情况下取包含因子k=2或3，也可以直接查“t分布临界值表”得kp=tp（veff）。也可采用如下式（4）、式（5）简单计算包含因子[3]：

有效自由度veff一般根据A类标准不确定度自由度vA与B类标准不确定度自由度vB，按韦尔-萨特思韦特公式计算veff的。A类标准不确定度自由度vA=n-1，B类vB根据经验数据与可靠程度进行人为估计的。因此，实际评定测量不确定度时，要判定vmin是否大于10，主要看A类标准不确定度自由度vA是否大于10，即可识别是否采用简单方法。若A类标准不确定度评定采用贝塞尔公式计算，且测量次数大于10，基本能满足veff＞10；若采用测量次数极少的极差法/或残差法/或误差法等进行评估，一般不能满足veff＞10。

五、举例说明

在环境温度为20℃下，用游标卡尺直接测量标准值为50mm的圆柱形工件的直径，测量12次。（工件和卡尺随温度变化、工件的圆度等对测量值的影响均可忽略不计）。

其标准不确定度分量及自由度计算结果见表2：

vmin=11根据式（3）得veff＞10。可由简单方法选取k值。若要求置信概率在p=95%，取k=2，则扩展不确定度为

U95 =k·uc(y)＝2×0.0128＝0.0256mm （6）

若按k95=t95（293）=t95（∞）=1.960，则扩展不确定度为

U95=k·uc(y)＝1.960×0.0128＝0.0251mm（7）

式（6）比式（7）扩大2%，这是允许。更何况是扩大地保守给出扩展不确定度的计算值。

六、结束语

通过本文对测量不确定度包含因子的选择进行分析探讨，对日常检测与校准及计量标准技术报告中对测量不确定度的评定，可采用《测量不确定度表达指南》中提供的简单方法选择包含因子：

1、评定vmin是否满足vmin≥10，若满足可对于p=95%，取k＝2；对于p=99%，取k＝3。

2、若vmin不满足vmin≥10（即vmin≤10）时，则不能采用《测量不确定度表达指南》简单方法直接取包含因子k=2或3，应根据JJF 1059规定的韦尔-萨特思韦特公式计算有效自由度veff，查“t分布临界值表”得kp=tp（veff）或采用本文提供的式（4）、式（5）计算kp。

[1]JJF 1059-1999《测量不确定度评定与表示》.北京：中国计量出版社，1999.

[2]刘智敏，刘增明.测量不确定度表示指南.石家庄：标准化文摘杂志社，1995.

[3]王中宇，刘智敏，夏新涛，祝连庆.测量误差与不确定度评定.北京：科学出版社，2008.