数学猜想在概率论教学中的应用

王新春，金殿川，姜君娜

(河北理工大学理学院，河北唐山063009)

数学猜想在概率论教学中的应用

王新春，金殿川，姜君娜

(河北理工大学理学院，河北唐山063009)

数学猜想;类比性猜想;归纳性猜想;推广性猜想

阐述了数学猜想的概念及其作用，列举了历史上著名的一些数学猜想，同时指出概率论的教学中需要数学猜想，并介绍了常见的数学猜想在概率论教学中的应用。

一 数学猜想

1 数学猜想的概念及其意义

数学猜想是根据已知的事实材料与数学知识，通过理论思维的能动作用对未知的量及其关系所作出的一种似真推断。数学的各个分支都有许多数学猜想，数学猜想广泛分布于各数学领域。数学猜想不仅存在于概率论与数理统计中，也存在于数论、代数，集合论、微分方程等诸多领域。

通过数学猜想，能使学生更好地把握概念的本质特征，建构良好的认知结构，使知识在脑海中以体系形式呈现。研究合理猜想的规律和方法，对于培养和发展思维有着重要的意义。对很多知识，采用先引导学生形成猜想然后加以论证的作法符合人们对数学知识的认知规律，顺应学生思维的自然。数学猜想对启发解题思路、提高解题能力也是很有帮助的。

2 历史上的数学猜想

1664年，法国数学家费尔马(Fermat，1601～1665)提出的“费尔马猜想”:当n自然数时，形如F(n)=22n+1的数均为素数。

1742年，德国数学家哥德巴赫 (Goldbach，1690～1764)提出的“哥德巴赫猜想”:任何不小于4的偶数均可以表示成两个奇素数之和，任何不小于9的奇数均可以表示成三个素数之和。

四色猜想的提出来自英国，1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格里斯来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象:每幅地图都可用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。这个结论能不能从数学上加以证明呢?1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题。于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。此后，便展开了四色猜想的证明大战。直到1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在伊利诺大学两台不同的电子计算机上，用了1200小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。

此外还有“伯特兰猜想”、“杰波夫猜想”、“孪生素数猜想”等等。

波利亚指出:“只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话，那么就应当让猜想、合情推理占有适当的位置。”

3 概率论教学中需要数学猜想

在概率论教学过程中，我们讲课时不必面面俱到，应该重点难点突出，要有重点地精讲一部分知识，然后将有些知识点采用平移与猜想的方法，让学生理解和接受。同时我们可适时地列举历史上的源于直觉或猜想的数学发现。概率论这门学科发展比较完善，知识比较系统。为了让学生对所学知识以体系形式在脑海中呈现，唯有让学生参与猜想。在教学过程中，重视数学的思想方法，创设源于生活或源于数学自身的问题情境，引起学生的认知冲突，诱发质疑猜想［1］，把鼓励学生进行大胆的知识猜想作为教学的重点。在教学中应多给学生提供猜想的机会、培养他们进行猜想的习惯、教给他们猜想的方法。

二 进行数学猜想的逻辑基础

1 数学猜想的知识准备

教学中，学生是学习和猜想的主体，要学生合情推理、形成猜想，就要贯彻学习准备性原则，使他们作好知识准备和心理准备。教师的作用就是把学生导入准备状态。其一，要帮助学生唤醒和提取相关的知识信息;其二，要设置悬念，明确目标，激发兴趣，激起学生组织材料进行猜想的心向。其三，要重视关联性知识的学习，注意在数学教学中有机渗透数学发展的历史以扩大学生的知识面，开拓学生的智力，适时地向学生介绍一些历史上著名的数学命题(如费马大定理、四色定理、黎曼猜想、孪生数猜想，3n+1猜想等)，以激发学生学习数学的热情。

2 观察和直觉思维的运用

观察是作出合理猜想的基础。人们所熟悉的数的许多性质，几乎都是通过观察所发现的。此外，直觉思维是数学发现中的关键因素，是数学发现过程中的创造性思维。数学的直觉思维是人脑对数学对象及其结构关系的一种迅速的判断与敏锐的想象。数学猜想是猜想者运用分析、综合、演绎、归纳、类比等科学发现的思维方法，通过对数学对象和客观现象的洞察而预测新的数学事实与规律［2］。一个人数学思维判断能力的高低，主要取决于直觉思维能力的高低，而数学直觉思维可以通过训练来提高。

3 养成数学猜想的思维习惯

要学会从整体考察问题，注意挖掘问题内部的本质联系，借助简单性、统一性、对称性和奇异性等数学美的基本特征去引导学生理解和欣赏数学美感，引导学生养成数学的思维和数学的反思的习惯，引导学生能通过合情推理与演绎推理探寻解决问题的道路。在讲定理、公式时激发猜想找联系;做习题时找思路常反思。这样可使学生的猜想活动由不自觉或盲目的状态，发展为有意识、有目的的创造活动，从而能够激发学生的学习兴趣，为整个教学在良好的气氛中进行营造条件。提出数学猜想不仅需要具备宽广而深厚的数学理论素养，较强的想象力与直觉思维能力和提出问题的意识与习惯，而且还需要熟练掌握与灵活运用行之有效的数学与科学研究方法，尤其应掌握提出数学猜想的方法。

三 概率论教学中常用的数学猜想方法

概率论课程具有系统性强的特点，因此在概率论学习中可采用类比性猜想、归纳性猜想、推广性猜想等数学猜想方法，以增进学习效果。

1 类比性猜想

类比就是某种类型的相似性。类比是抓住事物间的相似特征进行比较、对照的一种思维方法。类比方法具有启迪思路、提供线索、举一反三、触类旁通的作用。类比是一种逻辑推理的方法，又是一种科学研究的方法，它是人们思考和处理问题的主要手段，是发明创造的金钥匙。在数学中，类比法也是最常用、最有效的思维方法之一。运用类比猜想法，往往能够得到一些新的结论或发现一些新的问题，从而促使人们进一步地去追根究底，推理论证。

在概率论的教学中，可多次使用类比法。譬如:比较一维随机变量及其分布与多维随机变量及其分布两部分知识可发现，有许多平行甚至本质上一致的内容，如离散型和连续型随机变量的概念，分布函数的定义，分布律、密度函数、随机变量间的独立性，等等，都可以由一维的情形类比推广出二维、甚至多维的结论。这样在介绍多维随机变量及其分布时，可对比一维随机变量的相应知识点，对每一个知识点教师可不必急着合盘推出，应引导学生对所涉及的概念如多维随机变量的概念、多维随机变量的分类、多维随机变量的分布函数、分布律、概率密度等知识与一维随机变量进行对比性猜测，这便形成了对比性猜想。再比如，在介绍样本的各阶矩(包括原点矩和中心矩)时，可对比前面讲过的总体的各阶矩，它们在形式和意义上非常相似。这样做一方面容易接受新的概念和公式，另一方面也为后面章节要介绍的矩估计法埋下伏笔，可起到一举两得的作用。

事实上，让学生对新的知识进行猜想，不管结果正确与否，都能使学生的思维积极活跃起来，充分挖掘学生个人的潜力。因此，运用类比性猜想，是概率论教学中的重要方法，它是将知识由已知通向未知的桥梁。

2 推广性猜想

推广性猜想是指猜测一个定理所设计的数量关系或空间形式在个数、维数、适用范围等方面在一般情况下也成立的一种方法，这是从特殊到特殊的思维方法［3］。在概率论中，当介绍过二维随机变量及其分布后，让学生试着猜想一下三维、四维乃至更高维随机变量的相应概念及其分布，这便形成了推广性猜想。若学生猜想正确，教师再强调一下，若学生猜想错误，教师需予以纠正。

3 归纳性猜想

归纳性猜想是指对研究的问题从一定数量的特例出发，进行观察、分析，启发归纳出有关命题的形式、结论或方法的猜想。这是一种从个别到一般，从试验事实到理论的一种寻找真理和发现真理的手段。在概率论中，讲随机变量的数字特征这部分知识后，把随机变量的期望、方差、协方差、矩等数字特征放到一起，要求学生归纳一下其共性。学生的归纳结果是:这几个数字特征都可以用数学期望来表示，另外，矩是一般式或通式，期望、方差和协方差都是矩的特殊情形，这便形成了归纳性猜想。

以上这几种形式的数学猜想都起到了以点带面，将知识系统化的作用。通过数学猜想，可使学生更好地把握概念的本质特征，建构良好的认知结构，使知识在脑海中以体系形式呈现。

四 结束语

通过概率论的教学实例，可以清楚地看到，现有知识的熟练掌握和理解对提出数学猜想起着至关重要的作用.纵观数学发展史，很多定理都是由最初的数学猜想转化而来的。正如数学家G.波利亚说:“假如你希望用一句话来说明什么是科学的方法，那么我提议它是‘猜测和检验’［4］”。牛顿也预言:“没有大胆的猜想，就没有伟大的发现”，数学家们发现数学规律的过程，往往是先有一个猜想，而后对猜想进行验证或修正的过程。数学猜想不但促进了数学理论发展，而且也促进了数学方法的研究和数学家之间的学术交流，我们知道，一个学科只有大量的问题推出，才能使他永葆青春，猜想的诞生就预示着数学发现，从而推动了数学的不断发展［5］。总之，数学猜想是数学发现的重要方法，有利于培养学习者的创新精神和实践能力。数学猜想的方法在其它学科的研究中也有广泛的应用。

［1］ 王玉敏，王黎辉.大学数学教学提高创新能力的策略［J］.中国成人教育，2006(5).

［2］ 庞坤，李明振.数学猜想及其方法论意义［J］.科学技术与辩证法，2006.

［3］ 张亚静.试论数学中的合情推测［J］.教学与管理，2006.

［4］ G.波利亚.数学的发现［M］.刘景麟等译.呼和浩特:内蒙古人民出版社，1981.

［5］ 刘兴祥，刘康波.数学猜想的类型、方法及其对数学发展的影响［J］.延安大学学报，2007.

Key words:mathematical conjecture;analogic conjecture;inductive conjecture;promotion of conjecture

Abstract:The paper elaborated on the concept and role of mathematical conjecture，listed some famous mathematical conjecture of the history.At the same time，the paper pointed out the teaching of probability theory need mathematical conjecture，then introduced some application of mathematical conjecture in the teaching of probability theory.

An Application of Mathematical Conjecture in the Teaching of Probability Theory

WANG Xin-chun，JIN Dian-chun，JIANG Jun-na
(College of Science，Hebei Polytechnic University，Tangshan Hebei 063009，China)

H 642.41

A

1673-2804(2010)06-0132-03

2010-01-04

河北省教育科学研究十一五规划课题，编号:06020499