浅论数学建模思想在高等数学教学中的运用

汪立新

（周口师范学院 数学系，河南 周口 466001）

浅论数学建模思想在高等数学教学中的运用

汪立新

（周口师范学院 数学系，河南 周口 466001）

在高等数学教学中运用数学建模思想，对培养学生的数学应用能力、实践能力和创新能力是一条有效的途径。把数学建模思想融入高等数学教学可以从分析处理教材、组织教学内容、教学方法和学法指导、知识应用过程等方面着手。

数学建模；高等数学；运用

高等数学是高校数学及理工专业的一门重要的基础课和工具课，教学中一个很突出的任务就是培养学生的应用能力。数学模型是沟通实际问题与数学工具之间的桥梁，建立和处理数学模型的过程，实际上就是将数学理论知识应用于实际的过程。在高数教学过程中恰当地运用数学建模的思想，介绍并运用数学建模的基本方法，对培养学生的数学应用能力、实践能力和创新能力将是一条有效的途径。

一、在分析处理教材时采用数学建模的观点

用数学建模的观点分析高等数学教材，不难发现其中蕴涵着丰富的数学建模素材，从知识点的引入、理论体系的建立、知识的应用等各个方面，均体现了数学建模的过程和思想方法，数学建模的教学与现行的高等数学教学秩序并不矛盾。关键是教师要转变观念，把数学建模的观点恰当地融入教学之中，从全新的角度组织教学体系，为课堂教学注入新的生机和活力。

在处理教材中应注意到以下几个方面：注重以实例引入知识点，并最终回到数学应用，体现数学建模的过程和数学应用的思想；注重基本概念和基本方法的教学，培养学生用数学原理和方法分析和解决实际问题的能力；遵循基础理论知识以必需够用为度的原则，不过分追求理论上的严密性，适度注意保持数学自身的系统性与逻辑性；结合具体教学内容，适当安排用数学软件包Mathematica进行相应数学运算的内容。

二、在组织教学内容过程中贯穿数学建模思想

注重概念的形成过程，通过用学生熟知的、贴近生活的实例引入概念，让学生从多方面、多角度体会概念是从客观事物的数量关系中抽象出来的数学模型，还原概念的本质。例如，在讲授分段函数时，可以从实际中一些分段函数引入，诸如：邮资函数、电话计费函数、出租车计费函数、个人所得税纳税额度函数等，让学生充分理解这些实际背景，有利于学生对分段函数这一概念的理解和掌握，更便于掌握其相应的性质及左右极限、左右连续的概念。再如，导数的概念，其实质就是一个相对变化率的极限问题，教学中除了引用经典的例子：变速直线运动的瞬时速度、平面曲线的切线斜率外，还引入了电流强度、密度、化学反应速度、成本变化率、需求量对价格的弹性等常见的实际问题。通过对照这些实际原型并从中筛选有用的信息和数据，建立数学模型，进而解决问题。不仅使学生加深了对导数概念本质的理解，而且认识到数学不是孤立的，它与其他领域存在着紧密的联系。

挖掘数学课程中蕴涵的丰富的数学建模素材，应适当穿插介绍数学建模思想方法，对某些数学问题改用构建模型来解决，要通过建模展示数学思想的形成过程，淡化严格的形式化和推理过程，注重实际应用，这也是高等数学教学改革中的一个方向。如，在讲解重要极限时，尤其是重要极限学生往往会产生疑惑：这种类型的函数极限作用究竟在哪里？学它干吗？事实上，该极限就是连续复利函数的模型。设本金为A，年利率为r，如果以复利计息，t年末的本利和为Ar，则这是一年计息1期，t年末的本利和公式。如果一年计息不是1期，而是计息n期，则每期利息为于是 t年末的本利和为如果每年计息周期无限缩短，从而计息次数n→∞，这种情况就是连续复利问题，从而得到t年末的本利和这样，通过与实际应用问题的联系，把枯燥、抽象的数学概念具体化、问题化、实用化，便于学生的理解和掌握，也增强了学生学习高等数学的兴趣和热情。

教学中还可以适当增加一些数学建模的经典范例，范围可从几何、物理领域扩充到诸如工程、人口、经济、生物、医药、日常生活特别是专业领域。通过这些实例的研究，使学生真切感受数学知识在各个领域中的应用，深刻认识数学的价值，并学会用数学化思维解决实际问题，以增强学生数学应用能力和创新能力。

三、在教学方法和学法指导上体现数学建模的思想

课堂教学中应充分发挥学生的主体作用和教师的主导功能。教师一定要克服过去的“一言堂”，而要做到讲练结合，运用提问、讨论多种方式进行教学，注重引导学生掌握正确的学习方法、分析问题和解决问题的方法，充分展现数学发现的思维过程。要变以教师为中心为以学生为中心，充分调动学生的主观能动性和思维的积极性，培养创新意识和创新能力以及自我更新知识的能力。

如在学习空间平面曲线的一般方程时，如果严格按照教材中的方法和步骤讲解，学生会感到抽象、不易理解且枯燥乏味，在这里教师可以通过引导学生自己构造数学模型的办法，如提出两个问题：1．请说出平面曲线圆、椭圆、双曲线、抛物线的来由（高中学习的内容）；2．平面、球、圆锥、圆柱的方程分别如何（上一节课的内容）？问题一经提出，学生思维便会相当活跃，纷纷发言。（1）圆可由球与平面相交得到或由圆锥与平面相交得到；（2）椭圆可由圆柱与平面相交得到或由圆锥与平面相交得到；（3）双曲线可由圆锥与平面相交得到；（4）抛物线可由圆锥与平面相交得到。从以上知识可看出，圆锥与平面相交可得到四种平面曲线，不同平面曲线的得到和平面与圆锥的相对位置有关（图略）。接着学生就可以自己构造对应曲线的方程组，如：

另外，教师应自主开发和利用数学软件和教学软件进行教学，这样不但能使教学过程生动活泼，激发学生的学习主动性，也能加快教学进程，解决课时偏少的矛盾。

四、在知识的应用过程中突出数学建模思想

要根据教学内容的特点，精心组织、科学设计，从数学应用的角度处理数学、阐释数学、呈现数学，必须加强数学应用环节的实践，注重学生的亲身实践，注重用数学解决学生身边的问题，用学生容易接受的方式展开教学，重视在应用数学中传授数学思想和方法，把培养学生解决实际问题的能力作为教学内容的主线。

如在学习一元函数介值定理时引入下例：某人第一天上午8点由山下出发，下午15点抵达山顶；第二天上午8点由山顶出发按原路返回，并于下午15点回到山下原出发点。已知连续函数且.求证：存在点使得

解决这个问题，教师可以按照“问题情景—建立模型—解释与应用”的模式进行分析，该例子对应着以下数学模型：

通过对这个问题的证明，不但使学生看到了如何利用抽象的介值定理来解决实际问题的方法，开阔了学生的思路，而且启迪了学生如何观察生活，如何用数学语言描述实际生活中的现象并用数学工具对它进行证明，培养了学生的数学抽象能力。

由于目前高等数学教材中涉及应用方面的习题较少，课后作业基本上是套用定义、定理和公式解决问题。为此，可补充一些建模素材作为课后练习题，通过完成这种作业，使学生进一步认识数学、体验数学，感受到数学应用之所在，从而提高对所学知识的理解和掌握，培养学生探究与解决问题的能力。

最后需要指出的是，高等数学是数学建模的重要工具，扎实的高等数学功底是搞好数学建模的基础，而数学建模思想的培养有利于培养学生的创新能力，二者相辅相成，相互促进。因此，在实施数学建模教学的同时，绝不能淡化高等数学知识的教学，否则适得其反。

[1] 金辉．数学建模与高等数学教学改革[J]. 江苏经贸职业技术学院学报，2006，（4）．

[2] 许先云，杨永清．突出数学建模思想 培养学生创新能力[J]. 大学数学，2007，（4）．

[3] 姜启源. 数学模型（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，2005.

Application of Mathematical Modeling Thought in Advanced Mathematics Teaching

WANG Li-xin

It will be an effective way for cultivating students’ ability of mathematical application, practice and innovation to apply mathematical modeling thought in advanced mathematics teaching. The application can realized by analyzing teaching materials, organizing teaching contents, giving guidance for teaching and learning methods, and applying knowledge.

mathematical modeling, advanced mathematics, application

G42

A

1008-7427（2010）05-0121-02

2010-03-07