多项式互素的等价条件

张景晓

（德州学院 数学系，山东 德州 253023）

多项式互素的等价条件

张景晓

（德州学院 数学系，山东 德州 253023）

多项式的互素是多项式理论的重要内容.本文利用反证法证明了有关多项式互素的若干等价条件.

分块行列式；分块加边法；矩阵

多项式理论是代数学的重要内容之一，多项式的互素是多项式理论的重要概念，本文在人们对多项式互素性质研究的基础上做了更深入的探讨，利用反证法证明了有关多项式互素的若干充要条件.

性质1设f(x)，g(x)∈P[x]，则(f(x)，g(x))=1的充要条件是(f(x)，f(x)+g(x))=1

证明必要性，反证，若(f(x)，f(x)+g(x))=d(x)≠1，则d(x)的次数大于1，且d(x)整除f(x)，d(x)整除f(x) +g(x)，从而d(x)整除g(x)，故d(x)整除f(x)与g(x)的最大公因式1，这与d(x)的次数大于1矛盾，因此(f(x)，f(x)+g(x))=1.

充分性:反证，若(f(x)，g(x))=d(x)≠1，则d(x)的次数大于1，且d(x)整除f(x)，d(x)整除g(x)，从而d(x)整除f(x)+g(x)，故d(x)整除f(x)与f(x)+g(x)的最大公因式1，这与d(x)的次数大于1矛盾，因此(f(x)，g(x))=1.

性质2设f(x)，g(x)∈P[x]，则(f(x)，g(x))=1的充要条件是(f(x)+g(x)，f(x)-g(x))=1.

证明必要性，反证，若(f(x)+g(x)，f(x)-g(x))=d(x)≠1，则d(x)的次数大于1，且d(x)整除f(x)+g(x)，d(x)整除f(x)-g(x)，可推知d(x)整除f(x)，d(x)整除g(x)，故d(x)整除f(x)与g(x)的最大公因式1，这与d(x)的次数大于1矛盾，因此(f(x)+g(x)，f(x)-g(x))=1.

充分性:反证，若(f(x)，g(x))=d(x)≠1，则d(x)的次数大于1，且d(x)整除f(x)，d(x)整除g(x)，从而d(x)整除f(x)+g(x)，且d(x)整除f(x)-g(x)故d(x)整除f(x)+g(x)与f(x)-g(x)的最大公因式1，这与d(x)的次数大于1矛盾，因此(f(x)，g(x))=1.

性质3设f(x)，g(x)，h(x)∈P[x]，则(f(x)，g(x))=1的充要条件是(f(x)，f(x)h(x)+g(x))=1.

证明必要性，反证，若(f(x)，f(x)h(x)+g(x))=d(x)≠1，则d(x)的次数大于1，且d(x)整除f(x)，d(x)整除f(x)h(x)+g(x)，可推知d(x)整除g(x)，故d(x)整除f(x)与g(x)的最大公因式1，这与d(x)的次数大于1矛盾，因此(f(x)，f(x)h(x)+g(x))=1.

充分性:反证，若(f(x)，g(x))=d(x)≠1，则d(x)的次数大于1，且d(x)整除f(x)，d(x)整除g(x)，从而d(x)整除f(x)h(x)+g(x)，故d(x)整除f(x)与f(x)h(x)+g(x)的最大公因式1，这与d(x)的次数大于1矛盾，因此(f(x)，g(x))=1.

性质4设f(x)，g(x)∈P[x]，m、n是正整数，则(f (x)，g(x))=1的充要条件是(fm(x)，gn(x))=1.

证明 必要性，反证，若(fm(x)，gn(x))=d(x)≠1，则d(x)的次数大于1，取d(x)的一个不可约因式p(x)，则p(x)的次数大于1，且p(x)整除d(x)，从而p(x)整除fm(x)，p(x)整除gn(x)，由于p(x)不可约，由不可约多项式的性质知，p(x)整除f(x)，且p(x)整除g(x)，故p(x)整除f(x)与g(x)的最大公因式1，这与p(x)的次数大于1矛盾，因此(fm(x)，gn(x))=1.

充分性:反证，若(f(x)，g(x))=d(x)≠1，则d(x)的次数大于1，且d(x)整除f(x)，d(x)整除g(x)，从而d(x)整除fm(x)，d(x)整除gn(x)，故d(x)整除fm(x)与gn(x)的最大公因式1，这与d(x)的次数大于1矛盾，因此(f(x)， g(x))=1.

性质5设f(x)，g(x)∈P[x]，m、n是正整数，则(f (x)，g(x))=1的充要条件是((f(x)+g(x))m，(f(x)-g(x))n)=1.

证明必要性，反证，若((f(x)+g(x))m，(f(x)-g(x))n) =d(x)≠1，则d(x)的次数大于1，取d(x)的一个不可约因式p(x)，则p(x)的次数大于1，且p(x)整除d(x)，从而p(x)整除(f(x)+g(x))m，p(x)整除(f(x)-g(x))n，由于p (x)不可约，由不可约多项式的性质知，p(x)必整除f (x)+g(x)，且p(x)整除f(x)-g(x)，故可推知p(x)整除f (x)，且p(x)整除g(x)，故p(x)必整除f(x)与g(x)的最大公因式1，这与p(x)的次数大于1矛盾，因此((f(x)+g (x))m，(f(x)-g(x))n)=1.

充分性:反证，若(f(x)，g(x))=d(x)≠1，则d(x)的次数大于1，且d(x)整除f(x)，d(x)整除g(x)，从而d(x)整除f(x)+g(x)，d(x)整除f(x)-g(x)，从而d(x)整除(f(x) +g(x))m，d(x)整除(f(x)-g(x))n，故d(x)整除(f(x)+g(x))m与(f(x)-g(x))n的最大公因式1，这与d(x)的次数大于1矛盾，因此(f(x)，g(x))=1.

性质6设f(x)，g(x)∈P[x]，则(f(x)，g(x))=1的充要条件是((f(x)g(x)，f(x)g(x)+f(x)+g(x))=1.

证明必要性，反证，若(f(x)g(x)，f(x)g(x)+f(x)+g (x))=d(x)≠1，则d(x)的次数大于1，取d(x)的一个不可约因式p(x)，则p(x)的次数大于1，且p(x)整除d (x)，从而p(x)整除f(x)g(x)，p(x)整除f(x)g(x)+f(x)+g(x)，由于p(x)不可约，由不可约多项式的性质知，p(x)必整除f(x)与g(x)中的一个多项式，若p(x)整除f(x)，又因为p(x)整除f(x)g(x)+f(x)+g(x)，可推知p(x)整除g (x)，故p(x)整除f(x)与g(x)的最大公因式1，这与p(x)的次数大于1矛盾，因此((f(x)g(x)，f(x)g(x)+f(x)+g(x)) =1.

充分性:反证，若(f(x)，g(x))=d(x)≠1，则d(x)的次数大于1，且d(x)整除f(x)，d(x)整除g(x)，从而d(x)整除f(x)g(x)，d(x)整除f(x)g(x)+f(x)+g(x)，从而d(x)整除f (x)g(x)与f(x)g(x)+f(x)+g(x)的最大公因式1，这与d(x)的次数大于1矛盾，因此(f(x)，g(x))=1.

性质7设f(x)，g(x)∈P[x]，m、n、k都是正整数，则(f(x)，g(x))=1的充要条件是((fm(x)gn(x)，(f(x) +g(x))k)=1.

证明必要性，反证，若((fm(x)gn(x)，(f(x)+g(x))k)=d (x)≠1，则d(x)的次数大于1，取d(x)的一个不可约因式p(x)，则p(x)的次数大于1，且p(x)整除d(x)，从而p(x)整除fm(x)gn(x)，p(x)整除(f(x)+g(x))k，由于p(x)不可约，由不可约多项式的性质知，p(x)必整除f(x)与g(x)其中之一，且p(x)整除f(x)+g(x)，故可推知p(x)整除f(x)，且p(x)整除g(x)，故p(x)必整除f(x)与g(x)的最大公因式1，这与p(x)的次数大于1矛盾，因此( (fm(x)gn(x)，(f(x)+g(x))k)=1.

充分性:反证，若(f(x)，g(x))=d(x)≠1，则d(x)的次数大于1，且d(x)整除f(x)，d(x)整除g(x)，从而d(x)整除f(x)g(x)，d(x)整除f(x)+g(x)，因此d(x)整除fm(x)gn(x)，d(x)整除(f(x)+g(x))k，故d(x)整除fm(x)gn(x)与(f(x)+g(x))k的最大公因式1，这与d(x)的次数大于1矛盾,因此(f(x),g(x))=1.

〔1〕北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

〔2〕杨子胥.高等代数习题解[M].济南：山东科学技术出版社，2002.

〔3〕姚慕生.高等代数学[M].复旦大学出版社，2008.

〔4〕周亚兰.高等代数学习指导书[M].西北大学出版社，2007.

O151.1

A

1673-260X（2010）08-0001-02