排列组合的解题策略

◆马正勋

(榆中县职业教育中心)

排列组合的解题策略

◆马正勋

(榆中县职业教育中心)

排列组合作为高中代数课本的一个独立分支,因为极具抽象性而成为“教”与“学”难点。有相当一部分题目,教者很难用比较清晰简洁的语言讲给学生听,有的即使教者觉得讲清楚了,但是由于学生的认知水平,思维能力在一定程度上受到限制,还不太适应。从而导致学生对题目一知半解,甚至觉得“云里雾里”。针对这一现象,笔者在日常教学过程中经过尝试,总结出一下方法。

笔者认为,之所以学生“怕”学排列组合,主要还是因为排列组合的抽象性。那么,解决问题的关键就是将抽象问题具体化,我们不妨将原题进行一下转换,让学生走进题目当中,成为“演员”,成为解决问题的决策者。这样做不仅激发了学生的学习兴趣,活跃了课堂气氛,还充分发挥学生的主体意识和主观能动性,能让学生从具体问题的分析过程中得到启发,逐步适应排列组合题的解题规律,从而做到以不变应万变。当然,在具体的教学过程中,教师一定要注意题目转换的等价性,可操作性。

下面,笔者将就教学过程中的两个难点通过两个特例作进一步的说明。

1 .占位子问题

例 1.将编号为 1、2、3、4、5的 5个小球放进编号为 1、2、3、4、5的 5个盒子中,要求只有两个小球与其所在的盒子编号相同,问有多少种不同的方法?

(1)仔细审题。在转换题目之前,先让学生仔细审题,从重点词语小球和盒子都已“编号”着手,清楚这是一个“排列问题”,然后对题目进行等价转换。

(2)转换题目。在审题的基础上,为了激发学生兴趣进入角色,我将题目转换为:让学号为 1、2、3、4、5的学生坐到编号为 1、2、3、4、5的 5张凳子上(已准备好放在讲台前),要求只有两个学生与其所坐的凳子编号相同,问有多少种不同的坐法?

(3)解决问题。这时,我在选另一名学生来安排这 5位学生坐位子(学生争着上台,积极性已经得到了极大的提高),班上其他同学也都积极思考(充分发挥了学生的主体地位和主观能动性),努力地“出谋划策”,不到两分钟的时间,同学们有了统一的看法:先选定符合题目特殊条件“两个学生与其所坐的凳子编号相同”的两位同学,有 C种方法,让他们坐到与自己编号相同的凳子上,然后剩下的 3位同学不坐编号相同的凳子有 2种排法,最后根据乘法原理得到结果为 2×C=20(种)。这样,原题也就得到了解决。

(4)学生小结。接着,我让学生之间互相讨论,根据自己的分析方法,对这一类问题提出一个好的解决方案 (课堂气氛又一次活跃起来)。

(5)老师总结。对于这一类占位子问题,关键是抓住题目中的特殊条件,先从特殊对象或者特殊位子入手,再考虑一般对象,从而最终解决问题。

2 .分组问题

例 2.从 1、3、5、7、9和 2、4、6、8两组数中分别选出 3个和 2个数组成 5位数,问这样的 5位数有几个?

(本题我是先让学生计算,有很多同学得出的结论是 P×P。)

(1)仔细审题。先由学生审题,明确组成 5位数是一个排列问题,但是由于这五个数来自两个不同的组,因此是一个“分组排列问题”,然后对题目进行等价转换。

(2)转换题目。在学生充分审题后,我让学生自己对题目进行等价转换,有一位同学 A将题目转换如下:从班级的第一组 (12人)和第二组(10人)中分别选 3位和 2位同学分别去参加苏州市举办的语文、数学、英语、物理、化学竞赛,问有多少种不同的选法?

(3)解决问题。接着,我就让同学A来提出选人的方案同学A说:先从第一组的 12个人中选出 3人参加其中的 3科竞赛,有 P× P种选法;再从第二组的10人中选出2人参加其中 2科竞赛有 P× P种选法;最后由乘法原理得出结论为 (P×P)×(P×P)(种)(这时同学B表示反对)。

同学B说:如果第一组的 3个人先选了 3门科目,那么第二组的 2人就没有选择的余地。所以第二步应该是 P×P(同学们都表示同意,但是同学C说太繁)。

同学 C说:可以先分别从两组中把 5个人选出来,然后将这 5个人在 5门学科中排列,他列出的计算式是 C×C×P(种)(再次通过互相讨论,都表示赞赏)。

这样原题的解答结果就"浮现"出来 C×C×P(种)。

(4)老师总结。针对这样的“分组排列”题,我们多采用“先选后排”的方法:先将需要排列的对象选定,再对它们进行排列。

以上是我一节课两个例题的分析过程,旨在通过这种方法的尝试 (教学效果比较明显),进一步活跃课堂气氛,更全面地调动学生的学习积极性,发挥教师的主导作用和学生的主体作用,让学生在互相讨论的过程中学会自己分析转换问题,解决问题。