高中数学中数形结合思想的应用研究

肖军委

（河南省临颍县第三高级中学，河南 临颍 462600）

在第一章集合与逻辑中，我们在研究点集合之间的关系时会用到数形结合的思想，通常是运用图像来做，下面我们看一例题

例1设M，P是两个非空集合，定义两集合的差M-p={x|x∈M且x埸P}则M-(M-p)等于

A P B M∩P C MUP D M

解本题运用集合的文氏图来做，直接了当得到答案为B同时是对新概念的理解的考察。

在数列这章中我们在处理等差数列与等比数列的通项和求和时会用到二次函数和指数函数类型的图象，现举一例

例2已知{an}是递增数列，且对任意的正自然数n都有an=n2+αn恒成立。则实数α的取值范围为解本题可以利用函数的图像来做，将数列的通项看为n的二次函数，只需对称轴比大即可，得到实数 的范围为，也可利用函数的单调性定义来做差求解，注意本题不可用导数求解（想想为什么?）。

在对三角函数的性质的研究时，我们通常利用函数的图像来帮助研究函数的对称轴、周期、单调区间等。

例 3 已知三角方程 sinx+2｜sinx｜-k=0 x∈[0,2π]的解有且仅有两个时的k的取值范围是什么？

解本题从方程求解来看比较复杂，若用数形结合思想就简单多了，将它们看为两个函数f(x)=sinx+2｜sinx｜,x∈[0,2π]的图像与函数 y=k 的图像有且仅有两个不同的交点的问题，易得k的取值范围是0

在向量这一章中，数形结合的思想得到了充分的利用，因为向量本身就是数与形的一个载体，具有形的运算，也有坐标的运算（数的运算），我们在处理该类型的问题时一定要注意结合。

解若运用向量的夹角公式去求较复杂，若用图形去做知它们的终点在单位圆上，并且和向量为菱形的对角线，向量与向量的夹角为故与的夹角应为对角线与边的夹角为

在不等式这一章中，我们在处理不等式的证明与解不等式时会用到数形结合的思想，特别是含根号的类型和两边式子看为函数时类型不一样经常用到该思。比如例如

证明该不等式就可以联想到两点之间的距离公式，不等式的左端看为点(a,b)和点(c,d)到原点(0,0)的距离和，而右端看为点(a,b)与点(c,d)的距离，显然当它们共线时可取等号，若不共线两边之和大于第三边即得证，相比其它方法来讲计算量最小。

在直线与圆的方程这一章中，特别是直线与圆的位置关系的问题和线性规划问题，都突出了数形结合的思想，当然在直线的最值问题（直线上动点到两定点距离的和差最值及到定点距离最小等）的研究时也时常用到。

例6若方程x2+ax+b-2=0在（-∞，-2）u(2,+∞)上有实根，则a2+b2的最小值

解本题若用方程根角度来考虑，可能需要分情况来处理，现在我们发现所求的式子具有明显的几何意义，即为点（a,b)到点(0，0)的距离平方，因此将原方程看为二元方程（直线方程）xa+b+x2-2=0时，点在该直线上移动，故最小值应为点(0，0)到直线距离最小其中x的取值范围为（-∞，-2）∪(2,+∞)得函数具有单调性为增函数，故的，所以即为所求。

在圆锥曲线这一章中，数形结合思想也有重要的应用，特别是与向量结合时会用到图形的性质，在研究直线与圆锥曲线的位置关系时有充分的利用，下面我们看一小题。

本题若用方程的根的思想时，计算量稍大一些，若用数形结合时思想计算量较小，我们发现动直线过定点（0，1），要使有公共点，只需定点在椭圆的内部或在椭圆上即可，将定点代入椭圆方程小于等于1即可得m>1，注意椭圆方程的要求m≠5即可。

在函数与导数结合设计的大题中，我们经常用数形结合的思想来研究方程的根与一些式子的范围，当然函数的图像的考察也经常体现出来，下面我们来看一高考试题。

例8设函数f(x)=x3+3bx2+3cx在两个极值点x1，x2且 x1∈[-1,0]，x2∈[1,2]。

（I）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点(b、c)的区域；

分析（I）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。

大部分考生有思路并能够得分。f'(x)=3x2+6bx+3c由题意知方程f'(x)=0有两个根x1、x2且x1∈[-1，0]，x2∈[1,2].

则有 f'(-1)叟0

右图中阴影部分即是满足这些条件的点的区域。

(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标f(x2)=x23+3bx22+3cx2中的b，（如果消c会较繁琐）再利用x2的范围，并借助（I）中的约束条件得 c∈[-2，0]进而求解，有较强的技巧性。

又 ∵x2∈[1,2]，且 c∈[-2，0]∴-10燮f(x2)燮-通过这一高考试题来看在大题中，该思想也是非常重要，望大家多总结，能够熟练的掌握该思想，在数学的学习中得以应用。最后用华罗庚的名言：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”来提醒大家，数形结合数是基础，是关键，既要以形助数，又要以数定形。复习中应提高用数形结合的思想解题的意识，画图不能太草，要善于用特殊数或特殊点来精确确定图形间的位置关系。

[1]钟健.数形结合思想的教学个案测评与分析研究[J].广西教育学院学报，2006-05-10.